一類有理函數不定積分的求解

◎徐英杰 范海寧 （中國礦業大學數學學院，江蘇 徐州 221116）

不定積分是微積分中的重要內容，有理函數不定積分是其中的一個難點．對于分母次數較高的有理函數不定積分，利用傳統的待定系數法求解時需要確定多個系數的值，因而計算量較大．本文將針對分母最高次項為4 次的一類有理函數不定積分，通過配項與湊微分［1］的方法來簡化運算．這種方法的主要思想是通過配湊出合理的微分，將其轉化為形式簡單的、熟悉的不定積分來計算，從而減少計算量．

在下文中，筆者將以華東師范大學數學系編寫的《數學分析上冊（第四版）》中的一道題目為例進行分析，并針對這類問題的一般形式給出通解公式．

一、兩種求解方法的對比及推廣

問題一［2］求解不定積分

分析1首先將分母因式分解為然后利用待定系數法，確定系數后進行求解．

可以看出，利用常規的待定系數法需要確定4 個系數的值，計算量較大．下面我們利用配項與湊微分的方法來簡化這個不定積分的運算．

分析2首先來看兩個不定積分．

問題二求解不定積分

分析將分子、分母同時除以x2，可以配湊出這樣一組微分，然后求解，即

我們還可以進一步將分母推廣為更復雜的形式a4x4＋b4x2＋c4，如下．

問題三求解不定積分

分 析將 分 子、 分 母 同 時 除 以x2， 可 以 配 湊 出這樣一組微分，然后求解，即

我們進一步將分子推廣為更復雜的形式d4x2＋e4，如下．

問題四求解不定積分

分析我們仍然可以將分子、分母同時除以x2，然后配湊出這樣一組微分，不過此題更為復雜，需要先利用待定系數法確定兩個系數再求解，即

二、結 論

對于有理函數不定積分的求解，傳統的方法是待定系數法，但分母次數較高時采用此方法計算量較大．本文通過分析華東師范大學數學系編寫的《數學分析上冊（第四版）》中的一道題目，對待定系數法進行了改進，并將其推廣，給出了該類有理函數不定積分更一般形式的通解公式．由計算過程可以看到，綜合運用配項與湊微分的方法，即把分子配湊成分母因子的組合，能夠將復雜的不定積分轉化為我們熟悉的、較為簡單的不定積分，從而降低計算的難度．從計算過程來看，配湊出一個合適的微分對計算的簡化有重要作用．