超流體陀螺靈敏度和分辨率研究

鄭睿， 李方東， 趙傳超

(1.安徽師范大學 物理與電子信息學院， 安徽 蕪湖 241002； 2.東南大學 儀器科學與工程學院， 江蘇 南京 210096；3.安徽省智能機器人信息融合與控制工程實驗室， 安徽 蕪湖 241002)

0 引言

基于物質波薩格納克效應，超流體4He物質波干涉式陀螺儀(以下簡稱超流體陀螺)對旋轉有極高的靈敏度，理論比光學陀螺儀的靈敏度高10個數量級[1]。與另一種主流的物質波干涉式陀螺——冷原子陀螺比較，超流體陀螺具有物質波產生簡單、體積小、工作溫度易實現、感應面積可增大等突出特點和技術優勢[2-4]，今后有望應用于宇航、深空探測、地震學測量、探測引力波等具有長期高精度要求的領域[5-8]。

靈敏度和分辨率是超流體陀螺的重要性能指標，二者之間互有關聯，反映了陀螺的精度。靈敏度反映陀螺輸出信號相對于輸入信號(角速度)的變化率。文獻[9]提出，由于超流體陀螺的工作曲線(描述了陀螺輸入與輸出關系的曲線)是非線性的，因此陀螺的靈敏度在不受控制情況下是變化的。但文獻[9]僅開展了定性分析，陀螺靈敏度與其影響因素之間的定量關系尚不清楚。超流體陀螺在工作過程中，其工作點(工作曲線上的點)通常是被鎖定的[4]，這時陀螺的靈敏度將是恒定值。因此只有精確獲得陀螺靈敏度的數學模型，才能把工作點鎖定在最佳位置，確保陀螺在高靈敏度的狀態下工作，使陀螺能分辨更小的角速度變化。

角速度引起超流體陀螺的輸出變化，陀螺中的噪聲同樣也能引起輸出變化，因此陀螺的分辨率(最小可以分辨的角速度變化)不僅與靈敏度相關，還與其噪聲密切相關[10-12]。相關研究工作已探明了陀螺的噪聲來源，分析了噪聲類型，研究噪聲的變化規律[13-14]。在此基礎上，還需進一步分析噪聲與分辨率之間的關系，并針對與陀螺分辨率相關的噪聲開展深入研究。

基于超流體陀螺的工作機理，研究超流體陀螺靈敏度與其工作點之間的關系；推導超流體陀螺噪聲方程，構建其分辨率的數學模型。通過對超流體陀螺靈敏度和分辨率間關聯研究，確定陀螺的最佳工作點，并開展在最佳工作點時的陀螺靈敏度和分辨率分析，對于開發超流體陀螺高測量精度的潛力有重要意義。

1 超流體陀螺的靈敏度研究

超流體陀螺的結構和原理如圖1所示，白色部分內充滿4He超流體，“×”的位置是弱連接，由數千個孔徑為幾十納米的微孔構成。圖1(a)中，薄膜和弱連接之間的超流體構成內腔，其余部分超流體構成外腔，R1和R2為精密電阻。圖1(b)表示超流體物質波干涉原理，超流體管路被等效為環形，Ω為角速度矢量，I1和I2為流過兩個弱連接的超流體質量流量，I為環路中的總質量流量(干涉流量)。

圖1 超流體陀螺結構和原理圖Fig.1 Schematic diagrams of structure and principle of superfluid gyroscope

采用R1進行加熱，使得內腔、外腔之間的溫度和壓力發生變化。內腔與外腔之間的溫度差ΔT和壓力差Δp共同產生化學勢能差Δμ=m4(Δp/ρ-sΔT)，其中m4為4He原子的質量，ρ為超流體密度，s為熵密度。在化學勢能差作用下，超流體在弱連接處發生約瑟夫森效應，產生兩路物質波I1和I2[10]：

I1=Ic1sin(2πfJt)，
I2=Ic2sin(2πfJt+Δφe)，

(1)

式中：Ic1和Ic2分別為I1和I2的最大值；Δφe為超流體相移；fJ為約瑟夫森頻率；t為時間。在角速度矢量Ω和熱相移的作用下，超流體相移Δφe[10]為

(2)

式中：Δφ1、Δφ2分別為兩個弱連接兩側的相位差；Δφs為角速度矢量產生的薩格納克相移，Δφh為由熱阻R2加熱產生的熱相移；κ4=h/m4，h是普朗克常數；A為感應面積矢量，其方向是感應面積法線方向；Ω的方向為旋轉軸的指向。A與Ω之間關系表示為

Ω·A=ΩAcosθ，

(3)

式中：A和Ω分別為矢量A和Ω的大小；θ為矢量A和Ω間的夾角。由圖1(b)可知，I=I1+I2，因此干涉流量呈現正弦變化的規律，其幅值Im[10]為

(4)

式中：Ict=Ic1+Ic2；γ是雙弱連接的非對稱因子，γ=(Ic1-Ic2)/(Ic1+Ic2). 由Δφe和Im所決定的曲線被稱為超流體陀螺的工作曲線，該曲線上的點即為陀螺工作點。

從超流體陀螺的工作原理可以看出，超流體陀螺敏感的輸入量是超流體相移，輸出為干涉流量的幅值，因此定義Im變化與Δφe變化之比超流體陀螺的靈敏度S，即

(5)

Im單位為kg/s，Δφe單位為rad，則(5)式中超流體陀螺的靈敏度單位為kg/(s·rad-1)。由(5)式可以看出，超流體陀螺的靈敏度不僅與其結構參數γ和Ict相關，還與Δφe相關，因此與其工作點的位置相關。

2 超流體陀螺的分辨率研究

在超流體陀螺靈敏度研究的基礎上，進一步開展其分辨率的研究。

超流體陀螺的分辨率與其噪聲有密切相關的聯系。一般情況下，可認為噪聲決定了陀螺的分辨率[12-13]。超流體陀螺噪聲類型主要有：由熱能量引起的熱噪聲、由超流體溫度變化引起的溫度波動噪聲，由化學勢能差變化引起的約瑟夫森頻率波動噪聲、由測量薄膜位移裝置引起的檢測元件噪聲等組成。由于檢測元件噪聲的數量級要高于其他類型的噪聲，是最為主要的[11]，因此超流體陀螺的分辨率主要由檢測元件噪聲所決定。

超流體陀螺是超高精度的新型慣性傳感器，其極限測量能力同樣受到關注。在上述噪聲中，由于熱噪聲是由熱能量引起，它是一直存在、不可消除的[15]，因此它決定了超流體陀螺的極限分辨率。

以下分別推導超流體陀螺的檢測元件噪聲和熱噪聲方程，從而構建其分辨率以及極限分辨率的數學模型。

2.1 超流體陀螺分辨率的數學模型

超流體流過弱連接引起薄膜位移變化，通過高精度的位移檢測系統測量薄膜位移，這樣就可以監測到超流體流量。超流體陀螺薄膜腔體的示意如圖2所示。

圖2 超流體陀螺薄膜腔體示意圖Fig.2 Schematic diagram of membrane chamber in superfluid gyroscope

在圖2中，雙弱連接被等效為一個小孔。由圖2可知，超流體通過小孔會引起薄膜偏離其初始位置，引起腔體內流體體積V變化。因此，V的變化與薄膜位移x的變化是呈正比的：

(6)

式中：Ad為薄膜的表面積。由(5)式和(6)式可知，薄膜位移與總流量的積分呈正比，因此有

(7)

由(7)式可知，超流性成分的約瑟夫森效應引起了薄膜發生周期為fJ的振蕩，其振蕩的幅值xm為

(8)

設位移檢測系統在測量薄膜位移時產生了δxmn的噪聲，由(4)式和(8)式可知，角速度測量值Ωd與xm之間呈現非線性函數關系。根據非線性隨機變量的方差求解方法[16]，位移檢測系統噪聲引起Ωd波動的噪聲Ωdn為

(9)

檢測元件噪聲決定了超流體陀螺的分辨率，因此由(5)式和(9)式可得，超流體陀螺的分辨率δΩmin為

(10)

2.2 超流體陀螺極限分辨率的數學模型

隨著技術的發展，溫度波動噪聲、約瑟夫森頻率波動噪聲、檢測元件噪聲等都還有進一步減小趨勢和可能性。但受到超流體陀螺工作溫度范圍的限制，熱能量被限制在一定的范圍內，不可能無限減小。如果由于上述噪聲源足夠小，使得熱噪聲的數量級最高，那么陀螺噪聲將由熱噪聲所決定。因此熱噪聲決定了超流體陀螺的極限分辨率。

在單一微孔情況下，超流體的動能EJ和熱能量ET[10]可以分別表示為

(11)

式中：ρs為超流體中超流性成分的密度；a為微孔孔徑；τ為微孔連接的厚度；vs為超流體的流速；KB為玻爾茲曼常數；T是當前溫度。

由于超流體流速vs與弱連接兩側相位差Δφ的關系[17]為

(12)

把超流體的熱能量折算為其動能，令ET=EJ，并結合(12)式可得由熱能量引起的相位波動為

(13)

(14)

圖3 弱連接處微孔陣列的示意圖Fig.3 Schematic diagram of aperture arrays at the weak link

由(2)式可知，當熱相移Δφn=0時，Δφs=Δφ1-Δφ2，所以Δφs是隨機變量。雙弱連接在位置上相互獨立，因此Δφ1和Δφ2相互獨立，其標準偏差由(14)式決定。那么，熱能量引起Δφs波動的噪聲Δφsn為

試驗結果表明：新品種科河699和大民3307在正常栽培條件下，產量高于常規品種先玉335。抗病性和適應性強，產量高，適宜于民勤縣種植，建議今后在民勤縣沙漠灌溉區大面積推廣種植。

(15)

由(2)式可知,當熱相移Δφn=0時，Ωd與Δφs之間呈現線性的函數關系，那么熱能量引起Ωd波動的噪聲ΩdTn為

(16)

(16)式描述了熱噪聲與其影響因素之間的關系。因此超流體陀螺的極限分辨率δΩmin，l為

δΩmin，l=ΩdTn.

(17)

(17)式描述了超流體陀螺的極限分辨率與其影響因素之間的關系，是其極限分辨率的數學模型。由(16)式和(17)式可知，超流體陀螺的極限分辨率只與其結構參數和工作溫度有關。

3 半物理仿真實驗與分析

在理論研究的基礎上，利用超流體陀螺半物理仿真實驗平臺，開展超流體陀螺的靈敏度和分辨率的分析。

3.1 超流體陀螺半物理仿真實驗平臺

超流體陀螺半物理仿真實驗平臺的結構如圖4所示。在該平臺中，基于大量的實測數據，模擬超流體干涉儀的工作過程，包括熱驅動模塊、熱相移輸入模塊、角速度敏感模塊和薄膜位移產生模塊4個部分。超流體陀螺的相移控制系統則由硬件實現，包括角速度信息提取模塊、高精度反饋熱相移處理電路和熱相移控制電路3個部分。平臺中各部分之間的關聯如圖4中箭頭指向所示。

圖4 超流體陀螺仿真實驗平臺結構框圖Fig.4 Structure block diagram of superfluid gyroscope simulation experimental platform

3.2 工作曲線的周期內靈敏度和分辨率分析

由(5)式和(9)式可知，超流體陀螺的靈敏度和分辨率與其工作點的位置相關。而超流體陀螺工作過程中，其工作點是要被實時鎖定的，因此，在實驗平臺中通過相移控制系統，取超流體陀螺工作曲線的一個周期，在該范圍內開展靈敏度和分辨率分析，獲取靈敏度和分辨率的變化規律，并確定陀螺的最佳工作點。

實驗平臺中的基本參數設置[10]為：

1) 結構參數：面積矢量大小A=5×10-4m2, 角速度矢量與面積矢量的夾角θ=0 rad，弱連接處的微孔數量N=5 625, 微孔孔徑a=10-7m,微孔連接的厚度τ=8×10-9m，雙弱連接非對稱因子γ=0.3，薄膜面積Ad=5×10-5m2，Ict=1.1×10-11kg/s(Ict與微孔陣列參數相關，屬于結構參數)。

2) 工作參數：工作溫度T=2.167 K, 約瑟夫森頻率fJ=700 Hz.

4) 工作曲線：超流體陀螺的工作曲線周期性變化，因此只取工作曲線的一個周期開展研究，即設置超流體相移Δφe的變化范圍是0 ～2π rad.

根據設置的參數可得，工作曲線周期內超流體陀螺的靈敏度和分辨率如圖5所示。

圖5 工作點變化范圍內靈敏度和分辨率曲線Fig.5 Curves of sensitivity and resolution in the changing range of working point

由圖5可知，當超流體相移由0 rad變化到2πrad，超流體陀螺工作曲線經歷了一個周期。在此期間，超流體陀螺的靈敏度呈現先增大、再減小，隨后又增大、再次減小的變化規律。由于超流體陀螺的分辨率與其靈敏度呈反比，因此其分辨率呈現先減小、再增大，隨后又減小、再次增大的變化規律。而超流體陀螺的極限分辨率與其靈敏度無關，始終保持恒定。

由圖5可以分析出，當超流體相移為2.1 rad和4.1 rad時，超流體陀螺靈敏度達到最大值，此時超流體陀螺可分辨最小的角速度變化。因此根據本文的通用參數，超流體相移為2.1 rad和4.1 rad是陀螺的最佳工作點。

3.3 被鎖定在最佳工作點時靈敏度和分辨率分析

利用仿真實驗平臺中的相移控制系統，把超流體陀螺的工作點鎖定在Δφe=2.1 rad的最佳工作點，其他參數同3.2節的設置，此時超流體陀螺工作點的鎖定值及工作點的變化范圍如圖6所示。

圖6 工作點的鎖定值及變化范圍曲線Fig.6 Locking value and varying range of working point

3.4 角速度輸入情況下超流體陀螺的靈敏度分析

為進一步驗證超流體陀螺的分辨率，在兩類典型的角速度情況下，研究超流體陀螺的噪聲大小。研究參數同3.2節中的設置，并且把超流體陀螺的工作點鎖定在最佳工作點。輸入角速度設置為兩種典型類型：第1種是恒定角速度，Ω=2×10-6rad/s；第2種是正弦輸入角速度，Ω=2×10-6sin(2πt)rad/s. 角速度輸入的時間為1 s.

根據仿真實驗平臺中超流體陀螺的工作過程，可得輸入角速度恒定時的角速度測量值、角速度測量值誤差分別如圖7、圖8所示。輸入角速度正弦變化時的角速度測量值、角速度測量值誤差分別如圖9和圖10所示。

圖7 角速度測量值(輸入角速度恒定)Fig.7 Measured value of angular velocity (constant input angular velocity)

圖8 角速度測量值的誤差(輸入角速度恒定)Fig.8 Error of measured value of angular velocity (constant input angular velocity)

圖9 角速度測量值(輸入角速度正弦變化)Fig.9 Measured value of angular velocity (sinusoidal input angular velocity)

圖10 角速度測量值的誤差(輸入角速度正弦變化)Fig.10 Rrror of measured value of angular velocity (sinusoidal input angular velocity)

4 結論

為研究新型超流體陀螺的靈敏度和分辨率，本文在分析其靈敏度與工作曲線之間關系的基礎上，對陀螺的噪聲進行分析，構建其分辨率的數學模型。得出以下主要結論：

1) 超流體陀螺靈敏度與其工作點的位置相關，其分辨率由檢測元件噪聲所決定，其極限分辨率由熱噪聲所決定。

2) 在工作曲線的周期內，超流體陀螺靈敏度和分辨率呈現周期性的變化，其極限分辨率保持恒定。