1∶1內共振條件下受基礎激勵屈曲梁的非線性振動和分岔分析

黃建亮 肖龍江

摘要：研究兩端固定屈曲梁這種同時含有2，3次非線性項的系統受基礎簡諧激勵作用下的非線性振動響應及分岔演化過程。對屈曲梁的運動微分方程，利用Galerkin方法分離時間和空間變量，應用增量諧波平衡（IHB）法自動追蹤屈曲梁的非線性振動響應的周期解和倍周期解，并用Floquet理論分析其解的穩定性。研究表明屈曲梁對稱模態的固有頻率隨屈曲程度而變化，反對稱模態的固有頻率保持不變。研究發現基礎簡諧激勵作用下，不同屈曲程度時存在兩種截然不同的非線性現象：1）在非共振時，反對稱模態未能被激發，系統經過發生倍周期分岔通向混沌運動;2）在1∶1內共振條件下，反對稱模態在一定的頻率區間里會被激發，系統發生Hopf分岔導致具有等間距邊頻帶的準周期運動，最后至混沌運動。利用IHB法得到結果與用Runge-Kutta法得到的數值結果一致。

關鍵詞：非線性振動;屈曲梁;分岔;增量諧波平衡法;準周期運動

中圖分類號：O322;TU375.1文獻標志碼：A文章編號：1004-4523（2020）04-0698-11

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.04.007

引言

屈曲梁/板/殼等結構的振動十分普遍，廣泛存在于航空航天、土木、機械、電子等工程中[1-5]。飛機、火箭、導彈、加速推進器、航天結構里的柔性纖維、潛水器等典型例子，其基礎的激勵作用都與結構的橫向振動有關。

由于初始彎曲和中面伸長，屈曲梁的振動方程中同時包含2次和3次非線性項，表現出較為復雜的非線性特性[6-7]。兩端固定屈曲梁，由于邊界條件的特殊性，其振動響應更為復雜[8-9]。Afaneh和Ibrahim利用多尺度法分析了1∶1內共振條件下兩端固定屈曲梁的前兩階的振動響應[8]，發現在此條件下，梁的振動響應會出現周期運動、準周期運動和混沌運動三種形態，并通過實驗進行驗證。Kreider和Nayfeh通過實驗測定[9]，當外激勵的頻率接近于梁的第1階固有頻率時，隨著外激勵的振幅變化會發生倍周期分岔，并且在倍周期分岔的基礎上會發生“不可解釋”的準周期運動，然而沒有給出理論上的分析，只是說明用1階模態計算得到的結果誤差較大。Emam和Nayfeh通過數值計算的方法驗證了上述實驗結果的可靠性[10]，同時他們還用多時間尺度法和打靶法研究了屈曲梁的次諧波響應[11]。在中國，也有相關學者在這領域作了大量而出色的研究工作。曾志剛和葉敏采用實驗建模和多尺度法研究了黏彈性屈曲梁的參數激振[12]，并用數值模擬的方法研究由倍周期分岔通往混沌的道路。陳得良等用實驗研究了脫層屈曲梁在軸向周期激勵作用下的倍周期分岔與混沌運動[13]。

增量諧波平衡法（IHB法）適用于解決強非線性振動問題[14-17]。運用增量諧波平衡法可追蹤振動響應隨著系統參數的變化，有利于研究系統的總體特性。Huang等[18-19]用增量諧波平衡法研究了兩端簡支彎曲梁的振動。Lau等[20-21]把增量諧波平衡法和多時間尺度法結合起來，用于計算系統的準周期運動。Huang和Zhu[22-23]改進了文獻[20-21]的方法，用多時間尺度的增量諧波平衡法研究了一端固定一端簡支的彎曲梁的準周期運動。

本文采用增量諧波平衡法分析兩端固定屈曲梁的非線性振動響應和分岔過程。先用線性化的方法計算梁的固有頻率和模態函數，再通過Galerkin方法對梁的振動偏微分方程進行離散，使其轉化為以時間為變量的常微分方程，然后運用增量諧波平衡法把此常微分方程再次轉化為代數方程求解，得到系統振動的周期解，并通過Floquet理論[24-25]對解進行穩定性分析。研究了彎曲程度不同時，遠離內共振條件下和內共振條件下系統的非線性振動響應和分岔演化過程。

周期解發生倍周期分岔的原因和工況1）不同，在工況1）中是因為對稱模態的響應發生倍周期分岔，而在工況2）中則是因為被激發的反對稱模態與對稱模態中包含不同的頻率成分。

追蹤period-2周期解可發現，在圖6中r點外激勵頻率為45.68處，period-2周期解不穩定。在這一點，Floquet乘子中有一對復共軛特征值與單位圓相交，因此，在這一點period-2周期解發生Hopf分岔導致準周期運動。經過一段穩定的準周期運動，在外激勵頻率為45.6處，準周期運動失穩，演變為混沌運動。與工況1）不同的是，此時產生的混沌運動并不會隨著時間逐漸衰減為周期運動，而是會持續保持下去。

圖7-9反映了在1∶1內共振條件下，圖6中q點附近外激勵頻率接近梁的第1階固有頻率時，梁的振動響應的分岔演化過程。其中圖7（a）為外激勵頻率為45.9處（圖6中q點右側）穩定的period-1周期解的頻譜圖。圖7（b）為外激勵頻率為45.7處（圖6中r點右側）穩定的period-2周期解的頻譜圖，可以看出，與圖7（a）中period-1周期解相比，q1的運動幾乎沒有發生變化，而q2的運動卻從無到有被激發出來，圖8（a）與（d）分別為此時q1與q2的相圖。圖7（c）為外激勵頻率為45.64處準周期運動的頻譜圖，在不穩定的period-2周期解各個諧波項的附近出現了間隔較小的等間距的邊頻帶，邊頻帶中相鄰諧波項的間隔約為4.11，存在等間距邊頻帶為準周期運動頻譜圖所特有的現象[22-23]，圖8（b）和（e）分別為此時q1與q2準周期運動的相圖，圖9（a）和（c）為其龐加萊截面圖。圖8（c）與圖8（f）為外激勵頻率為45.6時，q1與q2混沌運動的相圖，圖9（b）和（d）為其龐加萊截面圖。

當外激勵頻率接近梁的第2階固有頻率時，梁的振動響應的變化和外激勵頻率接近梁的第1階固有頻率。當外激勵頻率從44.68減小至43.68時（圖6中s與t點之間），由period-1周期解發生倍周期分岔產生的period-2周期解穩定。此后隨著外激勵頻率的減小，period-2周期解發生Hopf分岔，產生準周期運動。繼續減小外激勵頻率，準周期運動將失穩變為混沌運動。

5結論

本文用增量諧波平衡法追蹤了在基礎諧波激勵作用下兩端固定屈曲梁的振動響應隨外激勵頻率的變化，并分析了振動響應的穩定性和分岔演化過程。研究發現，在僅有梁的彎曲程度不同的兩種情況中，運動失穩的方式完全不同。

在屈曲程度較小，非共振的條件下，屈曲梁的反對稱模態的振動不會被激發，當外激勵頻率接近梁的第1階固有頻率或其2倍時，梁的對稱模態振動響應不斷發生倍周期分岔，從而依次得到period-2k（k=1，2…）周期解，直到某個period-2k周期解不再發生倍周期分岔而發生鞍結分岔。在鞍結分岔點處period-2k周期解失穩而變為混沌運動，此混沌運動隨著時間的變化逐漸演變為一個穩定的周期運動，這個周期運動為混沌運動中的一個吸引子。

在屈曲程度較大，存在1∶1內共振的條件下，隨著外激勵頻率接近梁的第1階或第2階固有頻率，梁的振動響應也會發生倍周期分岔。但此時振動響應發生倍周期分岔的原因是反對稱模態的振動被激發，而被激發的反對稱模態的振動響應中所含有的頻率成分均為外激勵頻率一半的奇數倍。由于發生倍周期分岔，梁的振動響應變為period-2周期解。隨著外激勵頻率的減小，period-2周期解會發生Hopf分岔，導致含有等間距邊頻帶的準周期運動。繼續減小外激勵的頻率，準周期運動也會失穩而變為混沌運動。

增量諧波平衡法可與Floquet理論相結合，用于定量追蹤非線性系統的分岔演化過程。它的分析結果和數值方法的結果一致。

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Abstract：Thisstudyinvestigatesnonlineardynamicsandbifurcationofafixed-fixedbuckledbeamsubjectedtoauniformbaseharmonicexcitation，whichisgovernedbyacouplednonlinearequationwithbothquadraticandcubicnonlinearities.TheGalerkinmethodisemployedtoseparatetimeandspacevariablesforadifferentialequationofthebuckledbeam，andtheincrementalharmonicbalance（IHB）methodisusedtotrackperiodicandperiodic-doublingsolutionsofnonlinearresponsesofthebuckledbeamautomatically.Inaddition，theFloquettheoryisusedtoanalyzestabilityofthesolutions.Theinvestigationsuggeststhatthenaturalfrequenciesofthesymmetricalmodeofthebuckledbeamvarywiththebucklinglevel，whilethenaturalfrequenciesoftheanti-symmetricmodeareinvariant.Itisfoundthattherearetwodifferentinterestingnonlinearphenomenawithbucklinglevelunderthebaseharmonicexcitation，1）innonresonancecase，theanti-symmetricmodescannotbeexcitedandthesystembifurcatesintoperiod-doublingsolutions;2）in1：1internalresonancecase，theanti-symmetricmodeswillbeexcitedinacertainfrequencyrange，andHopfbifurcationofthesystemwillleadtoquasiperiodicmotionwithuniformsidebands，untilchaosoccurs.Furthermore，theresultsobtainedbytheIHBmethodagreeverywellwiththoseobtainedbythenumericalintegrationusingtheRunge-Kuttamethod.

Keywords：nonlinearvibration;buckledbeam;bifurcation;incrementalharmonicbalancemethod;quasiperiodicmotion