二維空間脈動風場波數-頻率聯合功率譜表達的FFT模擬

宋玉鵬 陳建兵 彭勇波

摘要： 針對二維空間縱向脈動風場模擬問題，采用多維隨機場理論，基于Davenport脈動風速譜和相干函數模型，導出了二維空間均勻脈動風場的波數-頻率聯合功率譜。通過諧波疊加直接獲得二維空間均勻脈動風場，避免了經典譜表達方法在脈動風場模擬時的空間離散和互功率譜矩陣的Cholesky分解或本征正交分解（POD）。為了進一步提高風場模擬的效率，在數值程序中引入了快速Fourier變換（FFT）技術。最后，對風力機槳葉所在平面進行了二維空間脈動風場模擬，驗證了該方法的準確性和高效性。

關鍵詞： 脈動風場; 波數-頻率聯合功率譜; 二維空間; 譜表達方法; FFT算法

中圖分類號： TU312+.1; O324 文獻標志碼： A 文章編號： 1004-4523（2020）04-0660-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.04.003

引 言

高層建筑、風力發電高塔、大跨屋蓋、輸電塔線體系和橋梁等高柔大跨結構對風荷載往往十分敏感。由于風荷載中的脈動分量具有較強的隨機性，將使上述風敏感性結構發生多種形式的風致振動，甚至可能發生動力失穩，極大降低結構的安全性[1]，因此結構風致響應分析問題一直備受學術界和工程界的關注[2]。結構的隨機動力響應分析一般可在頻域和時域內進行。頻域方法往往較為簡便高效，遺憾的是它只適用于線性系統[3-4]，而大多數結構在強動載條件下將進入非線性階段，甚至一些結構在正常工作條件下就已處于復雜的非線性狀態，如風力發電系統結構[5]。因此時域分析方法是結構非線性隨機動力響應與可靠性分析的必然選擇[6]。在時域分析過程中，脈動隨機風場模擬是其中的首要環節。

空間中任意一點的風速可分解為沿水平方向的平均風速U和沿3個相互垂直方向的脈動風速。對于高柔結構體系，3個脈動分量之間的相關性可以忽略，因此高柔結構的脈動風場模擬可單獨考慮為1個方向的脈動分量[1]。本文以風力發電高塔為分析對象，重點關注順風向分量u。實測表明，u同時隨著時間和空間位置變化。因此，在風場模擬中，通常選取一系列空間點進行脈動風速時程的模擬。這種方法是將脈動風場描述為隨機向量過程。為此需要引入互功率譜密度矩陣以刻畫該隨機向量過程的統計特征[7-8]。基于此，可采用譜表達方法或者線性濾波等方法進行脈動風場的時域模擬。其中，譜表達方法算法簡單且結果精度較高，獲得了廣泛的應用[9-10]。該方法在風場模擬過程中需要針對每個離散頻率點進行互功率譜矩陣的Cholesky分解[11-12]，當離散空間點數較多時，矩陣分解的效率很低，甚至可能出現數值不穩定的問題。雖然國內外學者對此提出了改進措施，如對互功率譜矩陣進行本征正交分解（POD）、引入快速Fourier變換等[13-15]，但仍然難以避免互功率譜矩陣的分解，數值不穩定問題依然存在。

事實上，空間中的風場是一個連續的“時-空”隨機場，由于人為的空間離散，導致了上述互功率譜矩陣分解成為不容回避的問題，且在實際應用中往往需要在獲得時程之后進一步在空間離散點之間進行插值從而引入額外的誤差。早在20世紀70年代，Shinozuka[16]在研究多變量及多維隨機過程問題時，將一維空間中的脈動風場處理為一個二維隨機過程，并獲得了該二維隨機過程的功率譜密度函數的表達形式。該方法在模擬風場時，無需對空間進行離散，因而避免引入互功率譜矩陣及其Cholesky分解或本征正交分解，表達形式簡單。但是，該方法多年來一直未獲得關注。近年來，Benowitz[17]及Benowitz 和 Deodatis[18]采用該方法，將脈動風場考慮為沿時間和空間變化的隨機波，推導了一維空間中均勻脈動風場的波數-頻率聯合功率譜，并利用譜表達方法和二維FFT技術對風場進行了模擬，具有簡便、高效、模擬精度高等優點。由于FFT技術不能模擬空間中非等間距分布點的風場，Peng等[19]在此基礎上引入了基于POD的插值方法，模擬了大跨橋梁水平方向的風場。為了降低該方法中隨機變量的個數，劉章軍等[20]引入了標準正交隨機變量集的隨機函數表達，并模擬了沿水平方向分布的脈動風場。此后，Peng等[21]進一步引入“演變譜”的概念，將該方法拓展于一維空間非均勻脈動風場的模擬，同時還引入了基于POD分解的FFT方法，以提高模擬效率。最近，Chen等[22]和Song等[23] 將該方法進一步拓展至二維空間的均勻與非均勻風場模擬，并提出了結構化非均勻離散策略和基于“舍選法”思想的非均勻離散策略，對波數-頻率域進行非均勻離散以降低計算量。

本文針對二維空間均勻脈動風場的模擬問題，首先簡要介紹波數-頻率聯合功率譜的推導過程。在此基礎上，進一步構造出基于聯合譜的脈動風場模擬的快速Fourier變換形式。應用該方法，對5 MW風力機標準模型槳葉所在平面進行了均勻脈動風場的模擬，驗證了該方法的優越性。

從圖3-5可以看到，基于樣本估計獲得的自功率譜密度函數、互相關函數和相干函數與目標值均吻合良好。可見，基于本文的二維空間均勻脈動風場模擬方法具有很好的精度，能夠滿足實際工程需要。

從圖3-5也可以看到，本文方法的模擬精度和經典方法的模擬精度幾乎相同。為了檢驗本文方法的模擬效率，進一步比較了經典方法和本文方法在模擬風力機風輪平面風場的耗費時間。對于該5 MW風機的風輪平面，大約需要模擬250個空間點處的脈動風速[31]。基于經典的風場模擬方法模擬250個點處的脈動風速時程，耗時約為640 s。而本文方法實際上同時在169萬個點處進行了模擬，耗時僅約為180 s。因此，本文方法在模擬大型二維均勻脈動風場時效率更高，且避免了可能的數值奇異，不需要對模擬結果進行空間插值。同時值得指出，對于海上風機槳葉旋轉問題，采用波數-頻率聯合功率譜可以方便地通過空-時轉換實現旋轉槳葉各點的風速采樣，同樣不需要進行空間插值[32]。但相應的FFT模擬算法尚需進一步研究。

4 結 論

脈動風速場的模擬對于高層、高聳和大跨結構的設計至關重要。本文針對二維空間均勻脈動風場的模擬問題，基于波數-頻率聯合功率譜方法，引入三維快速Fourier變換技術代替譜表達方法中的三重求和，極大地提高了計算效率。通過模擬5 MW風力機標準模型風輪平面的脈動風速場，對該方法進行了驗證。結論如下：

（1）基于波數-頻率聯合功率譜的風場模擬方法，不需要對空間進行離散，從而避免引入互功率譜矩陣及其分解，理論基礎嚴密，實施更為便捷。

（2）基于聯合功率譜方法的二維空間風場模擬需要在波數-頻率內進行三重求和，導致了巨大的計算量。引入FFT技術后極大地提高了計算速度，適合實際工程應用。

值得指出，本文僅考察了二維空間中均勻平穩的脈動風速場模擬，其基本思想可以通過進一步引入演變譜的概念推廣到非均勻非平穩脈動風速場的模擬中。

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Abstract： The wind field in space is essentially a continuous temporal-spatial random field. In this paper， the wavenumber-frequency joint power spectrum based on the multi-dimensional random field theory for the simulation of the longitudinal homogeneous fluctuating wind speed field in two-spatial dimensions is adopted， involving the utilization of Davenport spectrum and coherence model. Benefiting from the spectrum representation method （SRM）， the fluctuating wind speed field is then obtained directly by the summation of a series of harmonic components， which avoids the spatial discretization and the Cholesky decomposition or the proper orthogonal decomposition （POD） of the cross power spectrum density matrix in the classical spectrum representation method. Furthermore， the fast Fourier transform （FFT） technique is adopted to further enhance the simulation speed. For illustrative purposes， the simulation of a fluctuating wind speed field in two-spatial dimensions for the blades of a wind turbine is addressed. Numerical results reveal the accuracy and efficiency of the proposed method.

Key words： fluctuating wind speed field; wavenumber-frequency joint power spectrum; two-spatial dimensions; spectrum representation method; FFT algorithm