巧用數(shù)形結(jié)合打開思維之窗

劉萍

[摘要]數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，應(yīng)適當(dāng)利用數(shù)形結(jié)合思想，把握好數(shù)形結(jié)合之度，化難為易，化繁為簡(jiǎn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，發(fā)展學(xué)生的思維能力。

[關(guān)鍵詞]數(shù)形結(jié)合;理解算理;數(shù)量關(guān)系;解決問(wèn)題

[中圖分類號(hào)]G623.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1007-9068（2020）23-0063-03

數(shù)形結(jié)合是通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決問(wèn)題的一種思想方法。著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：.“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。”在實(shí)際教學(xué)中，“數(shù)”輔助“形”，可將“數(shù)”形象化;“形”輔助“數(shù)”，可使“數(shù)”直觀化。學(xué)生在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，由數(shù)思形，見形思數(shù)，可有效解決問(wèn)題。數(shù)形結(jié)合是一種常用的數(shù)學(xué)思想方法，在教學(xué)中適時(shí)地滲透數(shù)形結(jié)合思想，往往會(huì)達(dá)到事半功倍的效果。下面筆者結(jié)合一些教學(xué)案例，談?wù)剶?shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透。

一、數(shù)形結(jié)合，幫助學(xué)生理解算理

算理是計(jì)算教學(xué)的難點(diǎn)，學(xué)生只有真正理解算理，才能牢固掌握算法。因此，如何讓學(xué)生更好地理.解算理是教師在計(jì)算教學(xué)中要特別重視的問(wèn)題。算理很抽象，難以理解，可通過(guò)數(shù)形結(jié)合把它簡(jiǎn)單地呈現(xiàn)出來(lái)。

[例1]在教學(xué)“連續(xù)進(jìn)位加法”時(shí)，要筆算“376+284"的結(jié)果。如果單純地講哪一位上的數(shù)字相加滿十就要向前一位進(jìn)一，學(xué)生會(huì)感到困惑，甚至對(duì)算理產(chǎn)生懷疑。教師若能利用“格子圖”來(lái)輔助講解，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解，同時(shí)也能讓學(xué)生參與到知識(shí)的發(fā)現(xiàn)和形成過(guò)程中，從而對(duì)知識(shí)的理解更加深刻。

教師出示圖1，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行計(jì)算，先算6個(gè)小方格加4個(gè)小方格，即10個(gè)小方格，這樣就和整十的方格放一起，也就增加了1個(gè)十。教師問(wèn)：“單個(gè)的小方格還有沒有剩下的？”生：“沒有。”教師追問(wèn)：“那個(gè)位上的數(shù)應(yīng)該寫0了，再看有幾個(gè)表示十的方格？”學(xué)生觀察圖形，共同得出：除了原有的7個(gè)和8個(gè)，剛才又加了1個(gè)，一共有16個(gè)十。可把10個(gè)十換成1個(gè)百，給前面的整百加1，剩的6個(gè)十，就在十位上寫6。再引導(dǎo)學(xué)生觀察整百的方格，原來(lái)是3個(gè)百加2個(gè)百，再.加上1個(gè)百就是6個(gè)百，百位上是6，結(jié)果就是660。

教師結(jié)合圖2引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出“相同數(shù)位數(shù)字相加滿十就向前一位進(jìn)一”，這樣學(xué)生對(duì)算理的理解就更透徹了。

[例2]一位教師在講過(guò)2、5.3的倍數(shù)的特征后，有學(xué)生質(zhì)疑：“為什么2、5只判斷個(gè)位，而3則需要各個(gè)數(shù)位上的數(shù)加起來(lái)才可以判斷呢？”因?yàn)檎當(dāng)?shù)肯定都是2、5的倍數(shù)，所以只要看個(gè)位即可，這個(gè)學(xué)生不難理解。而3的倍數(shù)怎樣判斷呢？教師以54為例：54里面有5個(gè)十和4個(gè)一，而判斷它是否為3的倍數(shù)，只要把5和4加起來(lái)就行了，找一找5個(gè)一藏在哪里？學(xué)生百思不得其解，這時(shí)教師借助正方體圖很好地解決了這個(gè)問(wèn)題。教師出示了5個(gè)十加4個(gè)一：每個(gè)十都分成3個(gè)3，余1，5個(gè)十就余5。這時(shí)只要判斷這5個(gè)正方體加上原來(lái)的4個(gè)是不是3的倍數(shù)即可。（如圖3）

教師接著引導(dǎo)學(xué)生思考：判斷一個(gè)三位數(shù)是不是3的倍數(shù)，為什么只要看百位、十位、個(gè)位上的數(shù)相加的和是否為3的倍數(shù)就可以了？再次引發(fā)學(xué)生的思考。

至此，數(shù)形結(jié)合，通俗易懂，形象直觀，使學(xué)生對(duì)3的倍數(shù)的特征不僅知其然還知其所以然，將學(xué)生的思維引向深處。

二、數(shù)形結(jié)合，幫助學(xué)生直觀地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題

學(xué)生由于年齡的局限，他們對(duì)符號(hào)、運(yùn)算性質(zhì)的推理可能會(huì)產(chǎn)生一些困難，如果適時(shí)地讓學(xué)生自己在紙上涂一涂、畫一畫，可以拓展學(xué)生解決問(wèn)題的思路。數(shù)形結(jié)合能夠把一些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題具體化，把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，幫助學(xué)生找到解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

[例3]在二年級(jí)下冊(cè)，學(xué)完“有余數(shù)的除法”后，讓學(xué)生用這一知識(shí)來(lái)解決按規(guī)律排列的問(wèn)題。在解決這類問(wèn)題時(shí)，更需要關(guān)心的不是商，而是余數(shù)。怎樣讓學(xué)生理解余數(shù)1的含義呢？這里就需要結(jié)合圖示來(lái)引導(dǎo)學(xué)生理解。

當(dāng)學(xué)生用除法計(jì)算出結(jié)果后，結(jié)合直觀圖（如圖4）讓學(xué)生理解：余數(shù)是1時(shí)，對(duì)應(yīng)著一組小旗中的第1面旗，根據(jù)排列規(guī)律，這面小旗應(yīng)該是黃色的;余數(shù)是2時(shí)，對(duì)應(yīng)著一組小旗中的第2面旗，根據(jù)排列規(guī)律這面小旗應(yīng)該是紅色的;余數(shù)是0，也就是整除時(shí)，對(duì)應(yīng)著一組小旗中的最后1面，根據(jù)規(guī)律這面旗是紅色的。這樣通過(guò)數(shù)形結(jié)合，可讓學(xué)生理解余數(shù)與旗子顏色的關(guān)系，進(jìn)而建立解決問(wèn)題的模型。

[例4]對(duì)于“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”，教材是在看圖的基礎(chǔ)上對(duì)分?jǐn)?shù)進(jìn)行描述的。有這樣的一道題：媽媽買回一塊蛋糕，弟弟吃了這塊蛋糕的二，哥哥吃了剩下的二，兄弟倆都說(shuō)對(duì)方吃得多，你認(rèn)為呢？如果讓學(xué)生通過(guò)計(jì)算去解決，在現(xiàn)階段是做不到的，此時(shí)不妨引導(dǎo)學(xué)生用畫圖的方法來(lái)解決。畫一個(gè)圓形表示蛋糕，弟弟吃了二，就是要將這個(gè)圓平均分成5份，弟弟吃了其中的2份，先將它涂上顏色。那還剩下3份，哥哥吃了，3份中取2份，結(jié)果很清楚了：兩人吃得同樣多。

通過(guò)數(shù)形結(jié)合，把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單明了，從而輕松解決問(wèn)題。

三、數(shù)形結(jié)合，使概念掌握得更扎實(shí)

對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)，許多數(shù)學(xué)概念比較抽象，很難理解，對(duì)此，教師可通過(guò)數(shù)形結(jié)合展開概念的教學(xué)，利用圖形創(chuàng)設(shè)一定的問(wèn)題情境，通過(guò)對(duì)圖形的分析，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念。

[例5]在“質(zhì)數(shù)與合數(shù)”的教學(xué)中，許多學(xué)生對(duì)質(zhì)數(shù)和合數(shù)概念的理解比較模糊，在判斷時(shí)容易混淆。若僅憑教師的告知，而沒有讓學(xué)生親身經(jīng)歷概念的生成過(guò)程，那么學(xué)生對(duì)質(zhì)數(shù)與合數(shù)的理解會(huì)比較膚淺。因此在教學(xué)中，教師要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，采取數(shù)形結(jié)合的教學(xué)策略，讓學(xué)生“人人都動(dòng)手，動(dòng)手有收獲”，引導(dǎo)學(xué)生積極思考、踴躍辯論，促進(jìn)學(xué)生對(duì)質(zhì)數(shù)和合數(shù)深刻理解與主動(dòng)建構(gòu)。

比如，在講質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念時(shí)，教師安排了小組合作拼長(zhǎng)方形的活動(dòng)。首先為每個(gè)小組提供不同數(shù)量的小正方形（如3個(gè)、7個(gè)、8個(gè)、11個(gè)、12個(gè)、16個(gè)、20個(gè)、24個(gè)），讓學(xué)生擺出長(zhǎng)方形。

通過(guò)操作實(shí)踐，讓學(xué)生從拼長(zhǎng)方形個(gè)數(shù)的“形”的分類過(guò)渡到按一個(gè)數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)分類的“數(shù)”的分類上來(lái)，感悟圖形操作與數(shù)字之間蘊(yùn)含的聯(lián)系，既實(shí)現(xiàn)質(zhì)數(shù)和合數(shù)判斷方法的教學(xué)，又滲透“在實(shí)踐中感悟數(shù)學(xué)問(wèn)題”和“借助數(shù)形結(jié)合的直觀操作探索抽象數(shù)學(xué)問(wèn)題”的思想。通過(guò)這種數(shù)與形的結(jié)合，幫助學(xué)生豐富“質(zhì)數(shù)與合數(shù)”概念的理解，不再是教師硬邦邦地把知識(shí)灌輸給學(xué)生，而是讓學(xué)生在動(dòng)手操作中理解概念。

[例6]在教學(xué)“分?jǐn)?shù)的意義”時(shí)，教師要為學(xué)生創(chuàng)造探究的條件，讓學(xué)生在動(dòng)手折一折、涂一涂的過(guò)程中進(jìn)一步探究分?jǐn)?shù)的意義，使學(xué)生獲得直接的感官認(rèn)識(shí)。在認(rèn)識(shí)一時(shí)，學(xué)生通過(guò)分月餅初步感知了一的意義后，教師再安排一個(gè)找圓的二的活動(dòng)，讓學(xué)生從觀察實(shí)物上升到抽象圖形的認(rèn)識(shí)。認(rèn)識(shí)一時(shí)，讓學(xué)生利用一張正方形紙來(lái)折一折、涂一涂。學(xué)生根據(jù)不同的折法，所呈現(xiàn)的這張紙的一也不同。通過(guò)這種方式可發(fā)展學(xué)生的求異思維，拓寬學(xué)生的解題思路。同時(shí)讓學(xué)生感悟：盡管折法不同，但都是把同一張紙平均分成了4份，其中的1份用一表示。

學(xué)生在探究中手腦并用，建立起清晰的表象，“數(shù)”的思考，“形”的創(chuàng)設(shè)，既激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又有效地提高了學(xué)生的思維水平。

四、數(shù)形結(jié)合，幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)量關(guān)系對(duì)于一些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，教師如果只是一味地讓學(xué)生分析題意，用語(yǔ)言表達(dá)數(shù)量關(guān)系，即使教師講得天花亂墜，學(xué)生也只是一頭霧水，難以明白。如何突破學(xué)生的認(rèn)知障礙呢？教師應(yīng)針對(duì)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和思維特點(diǎn)，引導(dǎo)他們充分利用直觀的“形”，把抽象的數(shù)量關(guān)系形象具體化，從而理解抽象的數(shù)量關(guān)系。

[例7]二年級(jí)下冊(cè)第五單元“混合運(yùn)算”的一道題：“一共要烤90個(gè)面包，已經(jīng)烤了36個(gè)，每次能烤9個(gè)。剩下的還要烤幾次？”對(duì)于二年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，題目信息復(fù)雜，一時(shí)難以下手。教學(xué)中，教師可用色條圖（如圖6）表示出信息和問(wèn)題，幫助學(xué)生直觀理解問(wèn)題，梳理信息，為后面學(xué)習(xí)用線段圖表示信息和問(wèn)題做好鋪墊。

在“怎樣解答”環(huán)節(jié)中，進(jìn)一步借助色條圖分析數(shù)量間的關(guān)系，簡(jiǎn)明而直觀地了解“要解決問(wèn)題，必須要先解決隱藏的問(wèn)題（中間問(wèn)題）一“剩下多少個(gè)面包需要烤？”然后再解決“每次烤9個(gè)，烤幾次？”最后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解決策略的總結(jié)：想好先算什么，即找出中間問(wèn)題。通過(guò)數(shù)形結(jié)合，呈現(xiàn)較為具體直觀的數(shù)學(xué)符號(hào)，有利于分析題中的數(shù)量關(guān)系，迅速找到解決問(wèn)題的方法，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

[例8]學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)應(yīng)用題”時(shí)，有這樣的一道題：姐妹倆共有故事書52本，姐姐的本數(shù)的二和妹妹的本數(shù)的一相等，姐妹倆各有故事書多少本？這是一道題中出現(xiàn)了不同單位“1”的分?jǐn)?shù)問(wèn)題，對(duì)學(xué)生的思維具有挑戰(zhàn)性。教師可引導(dǎo)學(xué)生利用線段圖（如圖7）梳理數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化單位“1”，用分?jǐn)?shù)來(lái)解答問(wèn)題。

利用圖形分析和解決問(wèn)題事半功倍，原因在于它能使抽象的數(shù)量關(guān)系形象化，同時(shí)使得學(xué)生理解了題中的數(shù)量關(guān)系，提高了解題的正確率，提升了思維水平。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果教師能適當(dāng)利用數(shù)形結(jié)合思想，把握好數(shù)形結(jié)合之度，不但能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能化難為易、化繁為簡(jiǎn)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，發(fā)展學(xué)生的思維能力。在教學(xué)中，教師要注意數(shù)形結(jié)合思想的滲透，為學(xué)生尋得一枝合適的“長(zhǎng)篙”，引領(lǐng)學(xué)生的思維向更深處漫溯，讓他們?cè)跀?shù)學(xué)的世界里快樂地歌唱！

（責(zé)編 黃春香）