以玩助學，滲透化歸思想

婁棟榮

[摘要]以漢諾塔游戲為載體，從“化繁為簡，構建數學模型”“化異為同，推理數學規律”“化生為熟，拓展數學應用”三個方面滲透化歸思想，讓學生能夠在興趣盎然的狀態下體會“化歸”這一重要的數學思想。

[關鍵詞]漢諾塔游戲;化歸思想;化繁為簡;化異為同;化生為熟

[中圖分類號]G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號]1007-9068（2020）23-0055-02

化歸思想是一種重要的數學思想方法。在小學數學中經常會用到化歸思想來進行新知識的教學，如小數乘整數、平面圖形面積的推導、植樹問題等，但是學生大多是在枯燥的學習中被動地接受化歸思想，沒有充分體會到化歸思想的價值，在碰到問題時也不會主動地應用化歸思想。愛玩是兒童的天性，兒童對具體形象的內容易于理解，對生動活潑的形式比較喜愛，對新奇的事物比較敏感，對能演示的過程更感興趣。而現代教育理論強調“要讓學生做科學，而不是用耳朵去聽科學”。因此，筆者嘗試以“漢諾塔游戲”為載體來滲透化歸思想漢諾塔是由8個彩色圓環按大小依次疊放在有三根立柱的支架上組成，因其形如塔狀而得名。它是人們研究算法邏輯的啟發源，更是一款經典的益智玩具。它所設置的問題困境在于：如何借助“過渡柱”把“起始柱”上的圓環依次移到“目標柱”上（如圖1）。規則是：一片一片地移，在移的過程中不可以大片壓到小片上。

下面以筆者在2019年南方六省（區）益智課堂階段性成果展示觀摩會上的示范課“漢諾塔”為例，談談如何借助漢諾塔游戲滲透化歸思想。

一、化繁為簡，構建數學模型

將復雜的數學問題簡化為易懂的數學問題，正是“化繁為簡”思想的體現，也是教師需要對學生進行強化訓練的數學技能之一。

[課堂實錄1]

教師利用音頻介紹漢諾塔游戲的背景及規則（涉及的漢諾塔有64個圓環）。

師：今天，老師帶來了一個簡易的漢諾塔，上面一共有8個圓環。請動手試著將這8個圓環從a柱移到c柱。（如圖2）

（學生動手嘗試，有人表示“太難了”。）

師：剛才有同學說太難了，怎么辦？

生：：可以簡化。

師：怎么簡化？

生：8個圓環太難了，我覺得若拿掉幾個，簡化后就容易多了。

師：你為什么想著簡化？簡化成8個圓環對研究移動有什么幫助？

生：數量少了以后，所需要移動的次數也會少，我們就知道該怎么移動了。

師：簡化后的數量和原來的不同了，有什么還是相同的？

生：移動規則。

生：漢諾塔的游戲原理。

師：太棒了！你們說的其實就是數學上一個很重要的思想一化繁為簡（板書），我們可以將復雜的數學問題簡化成一個簡單的數學模型，它看似變成了不同的，但其內在的數學原理卻依然相同，那么我們就可從中去尋找規律，從而有效解決問題。

在這樣的師生問答中，學生逐漸知道“化繁為簡就是數學建模”這一本質，并能夠通過相同原理的模型去尋找復雜問題當中的規律，從而有效解決問題。

二、化異為同，推理數學規律

《義務教育數學課程標準》中指出：“推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式。其中合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果。”化異為同，就是把不同的問題、事物，通過合情推理轉化后，從中探尋規律，解決問題。

[課堂實錄2]

師：那你想從幾個圓環開始研究呢？（1個）

師：1個圓環的移動，需要幾次？

師：現在能找到規律嗎？（不能）怎么辦？

生4：增加到兩個圓環，再試試。

師：好。請同學們將a柱上的兩個圓環依次移到c柱上。（如圖3）

師：（1）這兩個圓環到達c柱的順序是怎樣的？（先大圓環后小圓環）（2）第一個圓環先拿出來的目的是什么？（給大圓環讓路）（3）小圓環為什么先放在b柱而不是c柱上？（為了讓大圓環先到達c柱）

師：你們會移了嗎？那a柱到c柱會移了，c柱到b柱你會移嗎？試試看。

師：想想看，這兩次的移動有什么不同？

生：起始柱、目標柱過渡柱都不相同了。

師：那這樣的不同當中，有沒有什么是相同的？

生：第一個圓環都是先放在過渡柱上，第二個圓環都是先放在目標柱上。

師：觀察得真仔細，移動的方法看似不同，其實相同！師：下面我們要開始幾個圓環的移動？（3個）好，請試著移，并在學習單，上做好記錄。

師：（1）你能說說這三個圓環最終到達c柱的順序嗎？（2）怎樣讓第三個圓環到達c柱？（也就是說前兩個圓環的目標轉換成了b柱）（3）前兩個圓環我們是怎么移到b柱的？跟之前兩個圓環的移動有沒有相同的地方？

生，：將最上面兩個圓環看作一個整體，其實就是兩個圓環的移動，將這個整體先移動到b柱和之前兩個圓環的移動一樣。

師：3個圓環和2個圓環數量不相同，而且剛才同學們移動的過程也不相同，移動次數也不相同，但是什么是相同的？

生：移動的方法、原理是相同的。

師：如果不操作，想想看，4個圓環的移動和之前的3個圓環的移動有什么相同的地方？

生：把最上面的3個圓環看作一個整體，就和3個圓環的移動方法一模一樣了。

師：4個圓環，3個圓環、2個圓環數量各不相同，但卻可以用相同的方法去移動，那你能研究出5個圓環、6個圓環、7個圓環、8個圓環的移動嗎？它們各需要移動多少次？

師：我們在看似不同的數學模型中，探究出了相同的原理和方法，找到了規律，并通過一步步推算，知道64個圓環需移動18446744073709551615次，這需要5000多億年

當通過“化繁為簡"思想構建出數學模型后，要在不同數量的數學模型當中找到相同的原理和方法，通過合情推理找到規律，解決原來的問題，這就是化異為同化“不同”為“相同”。

三、化生為熟，拓展數學應用

《義務教育數學課程標準》中指出：“應用意識的其中一個方面的含義是有意識地利用數學的概念、原理和方法解釋現實世界中的現象，解決現實世界中的問題。”化生為熟，就是將陌生的問題、事物，轉化為熟悉的知識去研究，并且能夠利用得到的結論解決現實世界中的其他問題。

[課堂實錄3]

師：最后，我們一起來聽一個關于國際象棋與米粒的故事。（故事主體內容：在象棋棋盤中的第1格放1粒米，第2格放2粒米，后面每一格都放前面一格的2倍的米粒，一共要放64格……）

師：這個故事和漢諾塔的故事相同嗎？（不相同）

師：那這兩個故事有沒有相同的地方呢？

……

師：這個故事中的答案也是18446744073709551615粒，它們之間是否也存在著相同的原理呢？請同學們研究一下。

師：通過將陌生的故事和熟悉的故事聯系起來，可以發現，國際象棋中前2格的米粒數與漢諾塔當中2個圓環的移動數相同，國際象棋中前3格的米粒數與漢諾塔當中3個圓環的移動數相同……

師：這節課我們都是在不同中找相同，其實在生活中、在學習中也有很多看似不同卻有著聯系的事情或者問題，希望同學們能夠用心去發現、去解決。

當學生能夠準確地找到看似完全不同的事物之間存在的聯系，并能夠利用這種聯系把未知、陌生的問題轉化為已知的、熟悉的問題，一些難題也就能迎刃而解了。引導學生運用“不同當中找相同”的化歸思想去解決生活中的實際問題，也體現了“數學來源于生活，應用于生活”。

綜上，用“化繁為簡”來構建數學模型，用“化異為同”來推理數學規律，用“化生為熟"來拓展數學應用，在“不同”當中有著很大的“相同”。在這樣既有充足的動力又富有思維含量的游戲教學中，學生能夠提升學習數學的興趣，領悟數學思想，提升數學思維。

[參考文獻]

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]李清霞，孫欣.益智課堂，數學核心素養踐行之地：以“漢諾塔”活動課為例[J].中國教師，2017（10）.

（責編 黃春香）