推理：讓數學思考言而有據

強振宇

[摘要]推理是學生在數學學習中內隱性思維的主要形式，它包括直覺性的合情推理和邏輯性的演繹推理，其中合情推理又是學生推理的主要方式。教學“面積單位進率”時，通過鼓勵學生觀察、歸納、猜想、計算等活動，在情境中誘發合情推理，在多元表征中發展演繹思維，在拓展中合演互動，不斷培養學生推理能力，幫助學生積累數學學習活動經驗。

[關鍵詞]推理能力;合情推理;演繹推理

[中圖分類號]G623.5

[文獻標識碼]A

[文章編號]1007-9068（2020）23-0030-02

推理能力是《義務教育數學課程標準（2011年版）》的一個核心概念，“推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式”。學習數學就是學習推理，培養學生一定的推理能力是培育學生數學素養的重要內容。下面以“面積單位的進率”教學為例，談談培養推理能力貫穿在整個教學環節中的實踐與思考。

一、基于現實：在情境中誘發合情推理

合情推理是指從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果。它不是憑空想象，而是根據一定的事實、情境，基于一定的知識經驗做出的探索性的判斷，是數學猜想，是一種創造性的思維活動。因此，在數學學習中，要給學生提供必要的數學事實，鼓勵學生大膽提出猜想。

[教學片段1]

師：公園里有一塊長方形草坪，從數學角度看草坪的介紹，缺了些什么？

生：介紹不完整，數字后面缺單位。

師（出示：米、分米、平方米）：請在括號里填上合適的單位。

師：米、分米，還有厘米，都是我們認識的長度單位。每相鄰兩個長度單位之間的進率是10。平方米、平方分米、平方厘米是我們剛學習的面積單位。對照長度單位，你們有什么問題？

生：面積單位有沒有進率？

生。：每相鄰兩個面積單位之間的進率是多少？師：面積單位也有進率。這節課我們就一起研究“面積單位進率”。先猜一猜1平方分米等于多少平方厘米。

生4：1平方分米=10平方厘米。

生s：1平方分米=100平方厘米。

教學時有意識地創設問題情境，引導學生回憶所學的長度單位，啟發學生主動想到面積單位之間的進率關系，把平面圖形的學習經驗遷移過來，激發學生“無疑有疑，有疑而思解”，達到“解疑而心悅”。喚起學生對面積單位進率的猜想，是順應學生憑借“線”到“面”的直覺和經驗做出的合情數學表達，消除多數學生對學習進率產生的困惑，自然引發學生合乎邏輯的主動學習。正如波利亞所言：“只要數學學習的過程稍能反映出數學的發明創造的話，那么就應當讓猜測、合情推理占有適當的位置。

二、多元表征：在活動中發展演繹推理

《義務教育數學課程標準（2011年版）》強調通過多樣化的活動培養學生的推理能力，提出：在觀察、實驗、驗證等活動中，發展演繹推理，學生能進行有條理地思考，能比較清楚地表達自己的思考過程與結果，將內在的思維活動與外部的數學表達能力結合起來。因此，教師要立足教材，留足空間，引導學生通過觀察、比較、計算、推理等多種活動，自主驗證猜想進而發現相鄰面積單位之間的進率。這樣既發展學生的演繹推理能力，又激發學生的數學學習興趣。

[教學片段2]

師：對于面積單位平方分米與平方厘米之間的進率，有說是10的，也有說是100的，這只是我們的猜想，要知道哪個猜想正確，需用事實說話。看，這是一個邊長1分米的正方形，它的面積是多少？（1x1=1平方分米）如果用平方厘米做單位，你們有辦法知道它的面積是多少平方厘米嗎？比一比誰的方法多。

表征1（擺一擺）：用面積1平方厘米的小正方形擺。沿著橫邊一排可以擺10個，沿著豎邊擺10排，共擺了10x10=100（個）。因此面積1平方分米就是100平方厘米。

表征2（量一量）：用直尺量正方形的邊長，邊長是10厘米。因此這個正方形的面積也就是10x10=100（平方厘米）。

表征3（換算）：正方形的邊長是1分米，因為1分米=10厘米，所以這個正方形也就是邊長10厘米的正方形，面積是10x10=100（平方厘米）。

師：老師要為你們點贊。你們用了不同的數學方法得到相同的結果，那就是邊長1分米的正方形面積.是1平方分米，也就是100平方厘米。

師：誰能很快說出1平方米=（）平方分米？

生：正方形的邊長是1米，面積是1平方米。因為1米=10分米，所以這個正方形也就是邊長10分米的正方形，正方形面積10x10=100（平方分米）。

師：老師這里就有一個邊長1米的正方形，它的面積就是1平方米。我們一起用面積單位1平方分米的小正方形擺一擺，沿橫邊一排可以擺10個，沿豎邊擺這樣的10排，一共就可以擺10x10=100（個）。因此面積1平方米就是100平方分米。

師：面積單位從大到小排列是平方米、平方分米、平方厘米，通過剛才的研究，能發現什么？

生：相鄰兩個面積單位之間的進率是100。

師：相鄰兩個長度單位之間的進率是多少？與相鄰兩個面積單位之間的進率相比，要注意什么？

學生聯系相鄰的兩個長度單位之間的進率，對相鄰兩個面積單位平方分米、平方厘米之間的進率進行猜測后，教師就放手讓學生進行操作交流，鼓勵學生用自己的方法、學習經驗來證明進率關系。結果，學生有的根據長方形和正方形面積公式推導，有的想到擺的方法，有的想到量邊長計算面積，還有的想到直接將1分米換算成10厘米進行面積計算。這些方法不僅有助于學生確信一個事實“1平方分米=100平方厘米”，更重要的學生在主動探索1平方分米等于多少平方厘米過程中，演繹推理過程有理有據，可視可感，不同思維程度的學生能找到不同的表征方式，從而增加了合情推理結論的“可靠性”。同時，這對接下來類比遷移推理學習1平方米等于多少平方分米也十分有利。

三、遷移延伸：在拓展中合演互動

數學發現過程是一個不斷提出猜想、驗證猜想的過程，是合情推理和演繹推理相輔相成、相互為用的過程。合情推理為演繹推理確定目標和方向，演繹推理為合情推理提供保障。教師不但要學生能夠大膽猜想探索新知的合情推理，更要小心驗證、仔細論證的演繹推理，讓學生積累數學活動經驗，提升數學素養。

[教學片段3]

師：相鄰兩個面積單位之間的進率是100，那面積單位平方米與平方厘米之間又有怎樣的關系？

生：面積單位平方米到平方分米進率是100，平方分米到平方厘米又是100，所以面積單位平方米到平方厘米進率肯定不是100了，是100個100，就是10000。

生2：1平方米=10000平方厘米。正方形的邊長是1米，面積是1平方米。因為1米=100厘米，所以這個正方形也就是邊長100厘米的正方形，正方形面積為100x100=10000平方厘米。

師：對著面積1平方米的正方形，一起想象100個100是什么意思。

生g：就是100個100平方厘米的小正方形。

師：對！要注意平方米與平方厘米之間的關系不是100。現在我們知道了1平方分米是等于100平方厘米。如果用100個1平方厘米的小正方形擺成一行是什么圖形？面積是多少？圖形的長是多少？寬是多少？

為了防止學生的思維定式和探索欲望的下降，拓展延伸階段分別提出了兩個現實的、富有挑戰性的數學問題，進一步激發學生的推理和思考。學生利用合情推理發現的結論“1平方米=100平方分米，1平方分米=100平方厘米，得出1平方米=10000平方厘米”是一個典型的三段式推理。學生將1米換算成100厘米進行面積的計算，對著面積1平方米的正方形一起想象，又增加了演繹推理結果的正確性，合情演繹有根有據。“擺成的是一個長1米、寬1厘米的長方形，面積是100平方厘米”，再次呈現長度與面積之間測量的對應關系及二維空間觀念的培養，幫助學生進一步明晰“形變面積不變”的面積二維計算道理。

史寧中教授認為：實施智慧教育就是要重視過程的教學，而推理的過程就是其中的一個方面。作為數學課程標準十大核心概念之一的“推理能力”，教師要時刻針對教學內容精心設計引發思考的數學問題，巧妙設計學習環節，充分尊重學生，安排好各種學生活動，讓學生展現思維，感悟道理、規律和方法，逐步到達推理能力的培養目標——言必有據，合乎邏輯。

（責編 金鈴）