直線與平面平行的創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)

◇ 山東 姜連娜

“直線與平面平行”是人教B版《必修2》1.2.2的內(nèi)容.本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容是對(duì)直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理的探究、歸納與理解,難點(diǎn)是如何由平行公理以及其他基本性質(zhì),推出空間線面平行的判定定理和性質(zhì)定理,并掌握這些定理的應(yīng)用.

本文對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行了重組,通過生活中的實(shí)例,得到了直線與平面的三種位置關(guān)系(通過房門的開關(guān)以及動(dòng)手操作梯形卡片讓學(xué)生自己構(gòu)建得到結(jié)論).最后通過邏輯推理得到了直線與平面平行的判定定理,并讓學(xué)生運(yùn)用所得的結(jié)論解決問題,培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象的能力.

1 課標(biāo)要求

1)通過直觀感知、操作確認(rèn),歸納出線面平行的定義及判定定理;

2)能運(yùn)用判定定理證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.

2 學(xué)習(xí)目標(biāo)

1)通過對(duì)圖片、實(shí)例的觀察及實(shí)物操作,能正確闡述直線與平面的位置關(guān)系;

2)通過直觀感知和實(shí)驗(yàn)演示,猜想、歸納出直線與平面平行的判定定理,并能正確辨析定理的條件和結(jié)論;

3)通過對(duì)例題及變式訓(xùn)練的學(xué)習(xí)與遷移應(yīng)用,能正確運(yùn)用判定定理和性質(zhì)定理證明空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題,增強(qiáng)空間想象能力.

3 教學(xué)方法

本節(jié)課需遵循從具體到抽象的原則,教師應(yīng)適當(dāng)運(yùn)用多媒體輔助教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生借助實(shí)物模型,通過直觀感知、動(dòng)手體驗(yàn)、操作確認(rèn)等方式,歸納出線面平行的判定定理和性質(zhì)定理.結(jié)合教材的特點(diǎn),為了充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,在課堂教學(xué)中應(yīng)采取“問題探究式”的教學(xué)方法.學(xué)生在問題的帶動(dòng)下,主動(dòng)進(jìn)行思考,經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出幾何圖形和幾何問題的過程,體會(huì)轉(zhuǎn)化、歸納、類比、猜想等數(shù)學(xué)思想和方法在解決問題中的作用,發(fā)展學(xué)生的合情推理能力和空間想象能力.

4 教學(xué)過程設(shè)計(jì)

課前準(zhǔn)備：教師準(zhǔn)備硬紙板、毛筆、筆簾、答題卡、導(dǎo)學(xué)案,學(xué)生需要準(zhǔn)備習(xí)題本、直尺.

4.1 直線與平面的位置關(guān)系

通過觀看一段小魔術(shù),提出問題：假定魔術(shù)棒代表直線a,它與手面、桌面、墻面分別是什么位置關(guān)系?引導(dǎo)學(xué)生從直線與平面交點(diǎn)的個(gè)數(shù)分析,從而得出直線與平面的三種位置關(guān)系及符號(hào)表示,再通過多媒體展示,使學(xué)生更直觀地理解這三種關(guān)系.直線與平面平行的定義是直線與平面沒有公共點(diǎn),由于直線是無限延伸的,平面是無限延展的,要說明二者沒有公共點(diǎn)不容易做到,從而引出新的問題,即如何證明直線與平面平行.

設(shè)計(jì)意圖：魔術(shù)作為課堂的引入,能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的興趣和積極性,把數(shù)學(xué)融入生活,讓學(xué)生尋找生活中的直線與平面平行的實(shí)例,并為后續(xù)講解判定定理進(jìn)行鋪墊.

4.2 直線與平面平行的判定定理

通過我們熟悉的生活實(shí)例——關(guān)門開門,設(shè)計(jì)一系列的問題：“門的兩邊是什么位置關(guān)系? 當(dāng)門轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),門轉(zhuǎn)動(dòng)的一邊a與門框所在的平面α是什么位置關(guān)系? 當(dāng)門關(guān)上的時(shí)候,門轉(zhuǎn)動(dòng)的一邊a與門框所在的平面α是什么關(guān)系”等,引導(dǎo)學(xué)生思考,得到直線與平面平行、直線在面內(nèi)的相關(guān)結(jié)論,從而提出問題：“當(dāng)直線滿足什么條件時(shí),直線與平面是平行的?”再通過動(dòng)手實(shí)驗(yàn),讓學(xué)生自己動(dòng)手操作來答疑解惑.例如,學(xué)生用答題卡自己動(dòng)手制作一個(gè)直角梯形,小組合作,當(dāng)梯形的一條底邊在桌面上,轉(zhuǎn)動(dòng)梯形,則另一條底邊所在的直線和桌面是什么關(guān)系? 當(dāng)梯形的一條腰放在桌面上,轉(zhuǎn)動(dòng)梯形,則另一條腰所在的直線和桌面是什么關(guān)系? 學(xué)生小組合作,得到了不在平面內(nèi)的直線和平面內(nèi)的直線平行則直線和平面平行的結(jié)論.此結(jié)論是學(xué)生通過數(shù)學(xué)抽象得出的結(jié)論,而數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?再引導(dǎo)學(xué)生思考如何證明這個(gè)結(jié)論.不在平面內(nèi)的直線是指直線與平面要么平行要么相交,新大綱刪除了反證法,因此可以采用問題探究的方式,若直線與平面相交推導(dǎo)出兩條直線是相交的,與已知兩條直線平行矛盾,降低了邏輯思維的難度,使學(xué)生可以逐步解決問題,從而得到直線與平面平行的判定定理.師生共同完成定理證明,指導(dǎo)學(xué)生正確使用符號(hào)語言,從而引出了定理的文字語言、圖形語言、符號(hào)語言.在概念辨析中采用搶答的方式激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)證明線面平行必須具備的三個(gè)條件的認(rèn)識(shí),避免了學(xué)生進(jìn)行推理論證時(shí)不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)默F(xiàn)象.

設(shè)計(jì)意圖：通過多媒體展示直線無限延伸、平面無限延展的現(xiàn)象,學(xué)生更容易理解可以用定義判斷線面關(guān)系,但不方便,由此引發(fā)探索判定定理的需要.(開門見山地引出課題,聚焦研究中心,提高課堂教學(xué)效率.)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直觀感知以及已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行合情推理,獲得判定定理.設(shè)置這樣動(dòng)手實(shí)踐的情境,是為了讓學(xué)生更清楚地看到線面平行與否的關(guān)鍵因素是什么,領(lǐng)悟空間圖形的性質(zhì).

定理的發(fā)現(xiàn)采用“直觀感知—操作確認(rèn)—?dú)w納提煉”的過程,讓學(xué)生清楚地認(rèn)識(shí)到線面平行的關(guān)鍵因素,讓學(xué)生在自主探究和合作中,通過問題引導(dǎo)思維逐步深入、層層設(shè)問,降低了證明的難度,學(xué)生容易理解.

4.3 直線與平面平行的性質(zhì)定理

學(xué)習(xí)了直線與平面平行的判定定理,利用逆向思維,若直線與平面平行會(huì)得到什么結(jié)論呢? 利用問題開門見山,指出了探究的方向.利用學(xué)生生活中的實(shí)例鋼筆,把鋼筆看成一條直線,平行移動(dòng)鋼筆保證鋼筆所在的面是一個(gè)平面,當(dāng)鋼筆的一端與桌面重合時(shí),平移鋼筆,得到的直線與鋼筆另一端得到的直線平行.還可以通過問題引導(dǎo)層層設(shè)問,引導(dǎo)學(xué)生思考,通過小組討論最終得到定理的證明.(思考1：如果直線a與平面α平行,直線a與平面α有沒有公共點(diǎn)?思考2：直線a與直線b有沒有公共點(diǎn)? 思考3：直線a與直線b都在平面β內(nèi)嗎?)

圖1

設(shè)計(jì)意圖：要找到平面內(nèi)的直線,必須先找到經(jīng)過已知直線的平面,通過鋼筆的平行移動(dòng),構(gòu)成一個(gè)平面,學(xué)生容易理解實(shí)物演示在抽象的數(shù)學(xué)思維面前起著具體化和加深理解的作用.教師通過問題引入,引導(dǎo)學(xué)生選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄗC明.學(xué)生小組討論,教師巡查小組討論情況,可以適當(dāng)?shù)刂笇?dǎo),保證每一位學(xué)生都參與其中,最后由小組代表發(fā)言,師生共同探討.

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)充分體現(xiàn)了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》的課程理念,通過創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境,啟發(fā)學(xué)生思考,引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).采取不同的教學(xué)方式,激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,促進(jìn)學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展.在教學(xué)中筆者既關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果,又重視學(xué)生學(xué)習(xí)的過程,取得了良好的教學(xué)效果.