多級(jí)圓柱直齒輪輪系傳動(dòng)比優(yōu)化設(shè)計(jì)研究

王寶超，張培培，孫浩溈，尚鵬飛

（1.中機(jī)生產(chǎn)力促進(jìn)中心，北京 100044；2.電子科技大學(xué)，成都 611731）

0 引言

輪系傳動(dòng)比分配方法一般是設(shè)計(jì)者根據(jù)已知的各種裝置工況，在機(jī)械設(shè)計(jì)手冊(cè)所推薦的范圍內(nèi)選擇一組合適的傳動(dòng)比，這樣往往主觀(guān)性太強(qiáng)，使得設(shè)計(jì)隨意性和誤差較大。設(shè)計(jì)者所選擇的傳動(dòng)比是否為最優(yōu)，并沒(méi)有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)驗(yàn)證和實(shí)際的工程驗(yàn)證。與傳統(tǒng)的盲目選擇傳動(dòng)比相比，已有很多關(guān)于傳動(dòng)比和傳動(dòng)級(jí)數(shù)選擇優(yōu)化的研究工作。比較早的研究是余茂芃[1]和齊人光[2]，他們進(jìn)行了詳細(xì)的模型推導(dǎo)。羅登峰[3]和范舟[4]在輪系設(shè)計(jì)方法提出了優(yōu)化思想。廖仁文等[5]和朱文峰[6]在輪系傳動(dòng)比分配中提出了多目標(biāo)優(yōu)化的方法。李阿楠[7]和關(guān)維娟[8]等將輪系優(yōu)化設(shè)計(jì)在MATLAB中實(shí)現(xiàn)，實(shí)現(xiàn)了模型和優(yōu)化算法結(jié)合。

另外Thompson等人[9]是以變速器體積最小為優(yōu)化目標(biāo)，以滿(mǎn)足表面接觸強(qiáng)度的基本要求出發(fā)建立數(shù)學(xué)模型，通過(guò)模型求得最優(yōu)的傳動(dòng)級(jí)數(shù)和各級(jí)傳動(dòng)比。Chong等[10]從輪系的傳動(dòng)誤差的最大值出發(fā)建立數(shù)學(xué)模型，在分析齒輪固有誤差，安裝誤差以及回轉(zhuǎn)誤差對(duì)運(yùn)動(dòng)精度的影響下，以輪系在嚙合傳動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角誤差與傳動(dòng)比的關(guān)系來(lái)求得最優(yōu)的傳動(dòng)比分配方案。

這些文獻(xiàn)很多都是運(yùn)用輪系的總體積，總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，總轉(zhuǎn)動(dòng)誤差進(jìn)行優(yōu)化。但是在關(guān)于輪系傳動(dòng)比分配方案，一般遵循的原則是，使得輪系外輪廓尺寸較小，結(jié)構(gòu)較緊湊，重量輕，有足夠的承載能力且轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較小，傳動(dòng)誤差小，傳動(dòng)精度高，傳動(dòng)平穩(wěn)等。

因此文本未直接運(yùn)用輪系的總體積，總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，總轉(zhuǎn)動(dòng)誤差，而是從設(shè)計(jì)原則出發(fā)，設(shè)置了三個(gè)無(wú)因次變量，即體積比V，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比J，以及轉(zhuǎn)角誤差比β，建立其傳動(dòng)級(jí)數(shù)和傳動(dòng)比之間的數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行優(yōu)化，從而得到設(shè)計(jì)輪系需要最優(yōu)級(jí)數(shù)和傳動(dòng)比。

論文安排如下：第1部分為輪系傳動(dòng)比分配數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建；第2部分為傳動(dòng)比分配的優(yōu)化和結(jié)果分析；第3部分為總結(jié)。

1 輪系傳動(dòng)比分配數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建

1.1 多級(jí)圓柱直齒輪輪系分析

多級(jí)圓柱直齒輪輪系傳動(dòng)裝置（如圖1所示），總傳動(dòng)比為I，傳動(dòng)的總級(jí)數(shù)為N，且任意一級(jí)的小齒輪齒數(shù)相差不大。要求設(shè)計(jì)出一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J較小，結(jié)構(gòu)較緊湊，且傳動(dòng)誤差較小，傳動(dòng)精度高的多級(jí)圓柱直齒輪輪系。

圖1 n級(jí)定軸輪系示意圖

首先設(shè)立數(shù)學(xué)模型中的變量：已知該多級(jí)圓柱直齒輪輪系的傳動(dòng)總級(jí)數(shù)為N，所以自變量為每一級(jí)的傳動(dòng)比，將每一級(jí)的傳動(dòng)比假設(shè)為：Xj（j=1，2，3，…，n），其為第j級(jí)的傳動(dòng)比。

根據(jù)多級(jí)圓柱直齒輪定軸輪系的傳動(dòng)特點(diǎn)得到如下約束：

其中，1-Xj·＜ 0，j=1，2，…，n。

從模型構(gòu)建的出發(fā)點(diǎn)來(lái)看，為了實(shí)現(xiàn)多級(jí)輪系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比J小，結(jié)構(gòu)緊湊也就意味著體積比V最小，還有就是傳動(dòng)誤差比β小即傳動(dòng)的精度高。

為了統(tǒng)一目標(biāo)，運(yùn)用線(xiàn)性加權(quán)將三者合起來(lái)，即：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比J，體積比V，傳動(dòng)誤差比β，得到多級(jí)圓柱直齒輪輪系最優(yōu)的傳動(dòng)級(jí)數(shù)以及最優(yōu)的各級(jí)的傳動(dòng)比。

1.2 傳動(dòng)級(jí)數(shù)和各級(jí)傳動(dòng)比與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比的單一模型

前提假設(shè)為：各小齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相同；軸和軸承的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量忽略；各個(gè)齒輪均是實(shí)心圓柱體便于計(jì)算而且齒寬和材料相同。

設(shè)：Je為等效到輸入軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；J1為主動(dòng)齒輪相對(duì)于自身的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；J2為從動(dòng)齒輪相對(duì)于自身的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

對(duì)于n級(jí)圓柱齒輪傳動(dòng)，第k級(jí)的傳動(dòng)比為：

式中用xk表示傳動(dòng)比ik，所以輪系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比與輪系的傳動(dòng)比建立的目標(biāo)函數(shù)為：

1.3 傳動(dòng)級(jí)數(shù)和各級(jí)傳動(dòng)比與體積比的單一模型

前提假設(shè)為：每一級(jí)小齒輪體積相差不大，也就是說(shuō)質(zhì)量相近。每一個(gè)齒輪為實(shí)心圓柱體便于計(jì)算而且齒寬和材料都相同。由于第一個(gè)和第二個(gè)齒輪體積為v1和v2（式(1)和式(2)），根據(jù)其傳動(dòng)比，換算得到第二個(gè)和第三個(gè)齒輪的體積（式(6)和式(7)）。

所以輪系的總體積為：

體積比即體積的無(wú)因次系數(shù)：

V為總體積與第一個(gè)齒輪體積的比值，為體積的無(wú)因次系數(shù)。所以輪系的體積比與輪系各級(jí)的傳動(dòng)比建立的目標(biāo)函數(shù)為：

1.4 傳動(dòng)級(jí)數(shù)和各級(jí)傳動(dòng)比與傳動(dòng)誤差比的單一模型

對(duì)于表示圓柱直齒輪輪系的傳動(dòng)精度，因?yàn)槊恳患?jí)都會(huì)存在轉(zhuǎn)角誤差，而總系統(tǒng)的誤差是由于各級(jí)輪系從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)角誤差疊加造成的，如果假設(shè)圓柱直齒輪傳動(dòng)輪系中各級(jí)從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)角誤差均相等的話(huà)，可以根據(jù)之前的假設(shè)推出：

一級(jí)齒輪傳動(dòng)的轉(zhuǎn)角誤差β1：

二級(jí)齒輪傳動(dòng)的轉(zhuǎn)角誤差：β1+β1i1；

三級(jí)齒輪傳動(dòng)的轉(zhuǎn)角誤差：β1+β1i1+β1i1i2；

n級(jí)齒輪傳動(dòng)的轉(zhuǎn)角誤差：

式中的β為類(lèi)似于之前提到的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比J以及體積比V的轉(zhuǎn)角的無(wú)因次系數(shù)；βt為圓柱齒輪輪系的總的轉(zhuǎn)角誤差；β1為第一級(jí)傳動(dòng)的轉(zhuǎn)角誤差。所以圓柱直齒輪輪系傳動(dòng)比與輪系的轉(zhuǎn)動(dòng)誤差比，轉(zhuǎn)動(dòng)精度建立的目標(biāo)函數(shù)為：

1.5 傳動(dòng)級(jí)數(shù)和各級(jí)傳動(dòng)比與三個(gè)無(wú)因次變量的耦合模型

基于所建立的三個(gè)目標(biāo)函數(shù)，可以分別討論圓柱直齒輪輪系中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比J與各級(jí)傳動(dòng)比，體積比V與各級(jí)傳動(dòng)比，以及傳動(dòng)誤差比β與各級(jí)傳動(dòng)比的關(guān)系，但為了使研究?jī)?yōu)化的結(jié)果更為精確更符合實(shí)際情況且達(dá)到最優(yōu)的效果，本文采取綜合考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比J，體積比V還有轉(zhuǎn)動(dòng)誤差比β三者與輪系的傳動(dòng)級(jí)數(shù)n各級(jí)的傳動(dòng)比ik的關(guān)系。

設(shè)總的目標(biāo)函數(shù)為F為F（x1，x2，…，xn）即變量為總級(jí)數(shù)n以及每一級(jí)的傳動(dòng)比ik。

設(shè)a1為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比的線(xiàn)性加權(quán)系數(shù)，a2為體積比的線(xiàn)性加權(quán)系數(shù)，a3為傳動(dòng)誤差比的線(xiàn)性加權(quán)系數(shù)，其總和為1（a1+a2+a3=1），于是總的目標(biāo)函數(shù)（要求最?。┛梢员硎緸椋?/p>

2 優(yōu)化結(jié)果和分析

2.1 優(yōu)化過(guò)程說(shuō)明

若多級(jí)輪系的總的傳動(dòng)比為I，傳動(dòng)級(jí)數(shù)N，假設(shè)每一級(jí)的小齒輪的齒數(shù)z相同，求解并且設(shè)計(jì)的多級(jí)傳動(dòng)裝置的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比J最小、結(jié)構(gòu)最緊湊而且傳動(dòng)精度最高傳動(dòng)誤差最小的多級(jí)定軸圓柱齒輪傳動(dòng)的輪系。為了研究各個(gè)目標(biāo)與級(jí)數(shù)n還有每一級(jí)傳動(dòng)比ik的大小是否有關(guān)系，研究過(guò)程分為：?jiǎn)为?dú)研究轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比即轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的無(wú)因次系數(shù)與傳動(dòng)比的關(guān)系；單獨(dú)研究多級(jí)輪系的結(jié)構(gòu)是否緊湊與傳動(dòng)比的關(guān)系，用體積比V來(lái)表示，這里的體積比為多級(jí)圓柱直齒輪輪系的總體積與第一級(jí)中的小齒輪的體積的比值，為一個(gè)無(wú)因次無(wú)單位的系數(shù)；單獨(dú)研究多級(jí)輪系的傳動(dòng)誤差即傳動(dòng)精度與傳動(dòng)比的關(guān)系，轉(zhuǎn)動(dòng)誤差可以用傳動(dòng)的轉(zhuǎn)角誤差β來(lái)表示；得到每一個(gè)分目標(biāo)函數(shù)與傳動(dòng)級(jí)數(shù)n以及各級(jí)傳動(dòng)比ik的關(guān)系之后將三個(gè)分目標(biāo)函數(shù)結(jié)合成一個(gè)總的目標(biāo)函數(shù)，即每一個(gè)分目標(biāo)函數(shù)前面乘上相關(guān)的系數(shù)，之后求和從而得到總的目標(biāo)函數(shù)，然后再分析優(yōu)化總目標(biāo)函數(shù)與傳動(dòng)級(jí)數(shù)n和各級(jí)傳動(dòng)比ik的關(guān)系，最終得出最優(yōu)的結(jié)果，即在多級(jí)圓柱直齒輪輪系總傳動(dòng)比為一個(gè)定值時(shí)，得出最優(yōu)的傳動(dòng)級(jí)數(shù)n，并且求得每一級(jí)的傳動(dòng)比ik，最優(yōu)的級(jí)數(shù)以及每一級(jí)的傳動(dòng)比確定后，應(yīng)用于到實(shí)際的多級(jí)圓柱直齒輪輪系的設(shè)計(jì)中去，從而為實(shí)際生產(chǎn)實(shí)踐提供最優(yōu)的參考。

2.2 傳動(dòng)級(jí)數(shù)和各級(jí)傳動(dòng)比與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比的單目標(biāo)優(yōu)化

對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比J與傳動(dòng)級(jí)數(shù)n以及各級(jí)傳動(dòng)比ik，為了使多級(jí)圓柱直齒輪輪系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比J最小，可求解得除最優(yōu)的級(jí)數(shù)n和各級(jí)傳動(dòng)比ik的大小。

假設(shè)多級(jí)圓柱直齒齒輪輪系總傳動(dòng)比為I=100，運(yùn)用序列規(guī)劃方法（SQP）求解目標(biāo)函數(shù)（如式(3)所示），最后結(jié)果得出最優(yōu)級(jí)數(shù)為8級(jí)，每一級(jí)的傳動(dòng)比如表1所示。

表1 基于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比各級(jí)傳動(dòng)比

傳動(dòng)級(jí)數(shù)是影響轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的一個(gè)因素，圖2給出了多級(jí)圓柱直齒輪輪系傳動(dòng)級(jí)數(shù)n與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比J的關(guān)系。

圖2 傳動(dòng)級(jí)數(shù)n與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比J的關(guān)系

從圖2可以看出，目標(biāo)函數(shù)多級(jí)圓柱直齒輪輪系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比J與傳動(dòng)的級(jí)數(shù)n的關(guān)系，可以用一個(gè)類(lèi)似于開(kāi)口向上的的拋物線(xiàn)來(lái)表示，在多級(jí)輪系的傳動(dòng)級(jí)數(shù)小于8級(jí)時(shí)，隨著傳動(dòng)級(jí)數(shù)的增加，該多級(jí)圓柱直齒輪輪系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比是逐漸減小的，而且下降趨勢(shì)是十分明顯的，而當(dāng)多級(jí)輪系的傳動(dòng)比大于8級(jí)的時(shí)候，隨著輪系的傳動(dòng)級(jí)數(shù)的增加，該多級(jí)圓柱直齒輪輪系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比又是逐漸增加的，而且增加的十分緩慢，并且最終由變?yōu)橐粭l定轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比的直線(xiàn)的趨勢(shì)。而在輪系的傳動(dòng)級(jí)數(shù)為8的時(shí)候，輪系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比J處在圖中的極小值點(diǎn)，即為最小，再觀(guān)察這8級(jí)每一級(jí)的傳動(dòng)比，每一級(jí)相比于前一級(jí)的傳動(dòng)比略有增大，而通過(guò)計(jì)算出來(lái)的結(jié)果可以得知，傳動(dòng)級(jí)數(shù)為8級(jí)時(shí)，此時(shí)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量無(wú)因次系數(shù)J的值確實(shí)為最小，則此時(shí)輪系總傳動(dòng)比為100時(shí)，單看轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可以得到最優(yōu)的級(jí)數(shù)為8級(jí)，因此便于設(shè)計(jì)者的實(shí)際規(guī)劃級(jí)數(shù)n。

2.3 傳動(dòng)級(jí)數(shù)和各級(jí)傳動(dòng)比與體積比的單目標(biāo)優(yōu)化

對(duì)于分析多級(jí)圓柱直齒輪輪系的體積比V與傳動(dòng)級(jí)數(shù)n以及各級(jí)傳動(dòng)比ik的關(guān)系，目的就是通過(guò)構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型求得最優(yōu)的級(jí)數(shù)和各級(jí)傳動(dòng)比的大小，從而使的多級(jí)輪系的結(jié)構(gòu)最為緊湊。假設(shè)所設(shè)置的多級(jí)圓柱直齒輪輪系總傳動(dòng)比為100，運(yùn)用序列規(guī)劃方法（SQP）求解目標(biāo)函數(shù)（如式(10)所示）。最后結(jié)果得出最優(yōu)級(jí)數(shù)為5級(jí)，每一級(jí)的傳動(dòng)比如表2所示。

表2 基于體積比各級(jí)傳動(dòng)比

傳動(dòng)級(jí)數(shù)是影響體積比的一個(gè)因素，圖3給出了多級(jí)圓柱直齒輪輪系傳動(dòng)級(jí)數(shù)n與體積比V的關(guān)系。

圖3 傳動(dòng)級(jí)數(shù)n與體積比V的關(guān)系

由圖3可以看出，目標(biāo)函數(shù)多級(jí)圓柱直齒輪輪系的體積比V與傳動(dòng)的級(jí)數(shù)n的關(guān)系，可以用一個(gè)類(lèi)似開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)來(lái)表示，類(lèi)似于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比J與傳動(dòng)級(jí)數(shù)的趨勢(shì)，由圖可看出，當(dāng)傳動(dòng)級(jí)數(shù)n為5時(shí)，體積比V的值為最小，而在傳動(dòng)級(jí)數(shù)小于5的情況下，多級(jí)輪系的體積比下降的十分明顯，而當(dāng)傳動(dòng)級(jí)數(shù)大于5時(shí)，由圖可看出，該多級(jí)圓柱直齒輪輪系的體積比近似為一條直線(xiàn)，即體積比近似于一個(gè)定值，由所繪制的求每一級(jí)的傳動(dòng)比的公式，得到的每一級(jí)的傳動(dòng)比，可以看出每一級(jí)相比于前一級(jí)的傳動(dòng)比略有增大，每一級(jí)相比于前一級(jí)傳動(dòng)比增大差不多0.2左右。當(dāng)所設(shè)置的多級(jí)圓柱齒輪輪系總傳動(dòng)比為100時(shí)，單看體積比V可以得到最優(yōu)的級(jí)數(shù)為5級(jí)，因此便于設(shè)計(jì)者的實(shí)際規(guī)劃級(jí)數(shù)。

2.4 傳動(dòng)級(jí)數(shù)和各級(jí)傳動(dòng)比與傳動(dòng)誤差比的單目標(biāo)優(yōu)化

對(duì)于傳動(dòng)誤差，用傳動(dòng)誤差β來(lái)表示，研究其與傳動(dòng)級(jí)數(shù)以及各級(jí)傳動(dòng)比關(guān)系，是為了求得多級(jí)輪系的最優(yōu)的傳動(dòng)級(jí)數(shù)n和每一級(jí)的傳動(dòng)比ik的大小使的多級(jí)圓柱直齒齒輪輪系的傳動(dòng)精度最高，傳動(dòng)誤差最小。

假設(shè)所設(shè)置的多級(jí)圓柱直齒輪輪系總傳動(dòng)比為100，運(yùn)用序列規(guī)劃方法（SQP）求解目標(biāo)函數(shù)（如式(11)所示）。最后結(jié)果得出最優(yōu)級(jí)數(shù)為8級(jí)，每一級(jí)的傳動(dòng)比如表3所示。

表3 基于轉(zhuǎn)動(dòng)誤差比各級(jí)傳動(dòng)比

傳動(dòng)級(jí)數(shù)是影響傳動(dòng)誤差的一個(gè)因素，圖4給出了多級(jí)圓柱直齒輪輪系傳動(dòng)級(jí)數(shù)n與轉(zhuǎn)動(dòng)誤差比β的關(guān)系。

圖4 傳動(dòng)級(jí)數(shù)n與轉(zhuǎn)動(dòng)誤差比β的關(guān)系

由圖4可以看出，其實(shí)傳動(dòng)比的級(jí)數(shù)n與轉(zhuǎn)角誤差β的關(guān)系其實(shí)并不是很大，沒(méi)有明顯的關(guān)系，由圖可得當(dāng)所設(shè)的傳動(dòng)級(jí)數(shù)在3級(jí)到50級(jí)進(jìn)行變化時(shí)，目標(biāo)函數(shù)β的變化量在很小，而且觀(guān)察所求出來(lái)的傳動(dòng)級(jí)數(shù)在4左右，而由計(jì)算出來(lái)的結(jié)果可以知道，當(dāng)輪系的總傳動(dòng)比為100，最優(yōu)的級(jí)數(shù)確實(shí)為4級(jí)，也就是說(shuō)在多級(jí)圓柱直齒輪輪系的總傳動(dòng)比為100的情況下，當(dāng)傳動(dòng)級(jí)數(shù)為4級(jí)的時(shí)候，該輪系的傳動(dòng)誤差比β達(dá)到最小，即輪系的傳動(dòng)精度最高。若想確定，其他大小的總的傳動(dòng)比下，最優(yōu)的級(jí)數(shù)n，只需改變程序中的總的傳動(dòng)比大小，即可以求得該總傳動(dòng)比下最優(yōu)的級(jí)數(shù)，而且代入求各級(jí)傳動(dòng)比的程序中，即可求出每一級(jí)的傳動(dòng)比大小。

2.5 傳動(dòng)級(jí)數(shù)和各級(jí)傳動(dòng)比與三個(gè)無(wú)因次變量的多目標(biāo)優(yōu)化

為了得到多級(jí)圓柱直齒輪輪系的傳動(dòng)級(jí)數(shù)n與輪系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比J，體積比V，傳動(dòng)精度（用轉(zhuǎn)動(dòng)誤差比β表征）三者結(jié)合的關(guān)系，可以建立輪系傳動(dòng)級(jí)數(shù)n與三者總目標(biāo)函數(shù)F的關(guān)系，并且求得并分析二者的關(guān)系，進(jìn)而求解出當(dāng)多級(jí)輪系的傳動(dòng)級(jí)數(shù)為n時(shí)，使得目標(biāo)函數(shù)F能達(dá)到最小值，則在該級(jí)數(shù)的情況下，該多級(jí)輪系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比J最小，體積比V最小，傳動(dòng)裝置的結(jié)構(gòu)最為緊湊，而且多級(jí)輪系的傳動(dòng)誤差β最小，輪系的傳動(dòng)的精度最高。

假設(shè)所設(shè)置的多級(jí)圓柱直齒齒輪輪系總傳動(dòng)比為I=100，運(yùn)用序列規(guī)劃方法（SQP）求解目標(biāo)函數(shù)（如式(12)所示）。加權(quán)系數(shù)設(shè)置為：a1=0.5954；a2=0.1282；a3=0.2764。最后結(jié)果得出最優(yōu)級(jí)數(shù)為5級(jí)，每一級(jí)的傳動(dòng)比如表4所示。

表4 基于多目標(biāo)的各級(jí)傳動(dòng)比

傳動(dòng)級(jí)數(shù)與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比J，體積比V，傳動(dòng)精度β三者之間彼此影響。圖5給出了傳動(dòng)級(jí)數(shù)n與總目標(biāo)函數(shù)F的關(guān)系。

圖5 傳動(dòng)級(jí)數(shù)n與總目標(biāo)函數(shù)F的關(guān)系

由求解出的結(jié)果以及圖5可以看出，在多級(jí)輪系的總傳動(dòng)比為一個(gè)定值的情況下，傳動(dòng)的級(jí)數(shù)n與目標(biāo)函數(shù)F為一個(gè)類(lèi)似于開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，圖形類(lèi)似于單獨(dú)分析轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比J與傳動(dòng)級(jí)數(shù)n，單獨(dú)分析體積比V與傳動(dòng)級(jí)數(shù)n的圖像，由圖5可以看出當(dāng)傳動(dòng)級(jí)數(shù)小于5級(jí)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)隨著級(jí)數(shù)的增加而減小，而當(dāng)傳動(dòng)的級(jí)數(shù)大于5級(jí)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)會(huì)隨著級(jí)數(shù)的增加而增加，當(dāng)級(jí)數(shù)為5級(jí)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小值，所以最優(yōu)的傳動(dòng)級(jí)數(shù)為5級(jí)，這與表4顯示的結(jié)果一致，但綜合考慮并對(duì)比與之前三個(gè)單獨(dú)目標(biāo)函數(shù)的分析結(jié)果，此總目數(shù)優(yōu)化得到的最優(yōu)級(jí)數(shù)更符合實(shí)際的情況，設(shè)計(jì)的傳動(dòng)的級(jí)數(shù)以及優(yōu)化的結(jié)果是充分考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比小，結(jié)構(gòu)較為緊湊，以及傳動(dòng)誤差最小傳動(dòng)的精度最高的要求。這為傳動(dòng)裝置輪系的優(yōu)化提供了方便，在工程實(shí)踐中有重要意義。綜上可以得出，本文所構(gòu)建的多級(jí)圓柱直齒輪傳動(dòng)比優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型準(zhǔn)確性和有效性，優(yōu)化出來(lái)的結(jié)果可以使多級(jí)圓柱直齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量達(dá)到了最小，體積結(jié)構(gòu)變得緊湊，傳動(dòng)誤差變小，傳動(dòng)的精度大大提高。

3 結(jié)語(yǔ)

對(duì)于構(gòu)建的多級(jí)圓柱直齒輪輪系傳動(dòng)比分配的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析，運(yùn)用序列規(guī)劃方法進(jìn)行優(yōu)化，當(dāng)輪系的總傳動(dòng)比為一個(gè)定值的情況下，可以得到輪系的體積比V，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比J，相對(duì)于輪系的傳動(dòng)級(jí)數(shù)的圖形為一條近似開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，觀(guān)察其最低點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的傳動(dòng)級(jí)數(shù)，即為最優(yōu)級(jí)數(shù)。并且還可得出體積比V，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比J，以及轉(zhuǎn)動(dòng)誤差比β三者共同構(gòu)造的目標(biāo)函數(shù)相對(duì)于傳動(dòng)級(jí)數(shù)的圖像也近似為一條開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，其最低點(diǎn)對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)即為最優(yōu)級(jí)數(shù)，在該級(jí)數(shù)下，多級(jí)輪系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小，結(jié)構(gòu)較為緊湊，并且傳動(dòng)的誤差較小，傳動(dòng)的精度較高。相比于之前從單個(gè)目標(biāo)進(jìn)行分析，多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果更符合實(shí)際生產(chǎn)應(yīng)用，故對(duì)生產(chǎn)實(shí)踐提供了理論支撐。