基于排隊理論的自動化物流倉儲系統規劃研究

章俊哲，李金村，徐 健，楊 驍，蔡 靖

（1.北京機械工業自動化研究所，北京 100120；2.北自所（北京）科技發展有限公司，北京 100120）

0 引言

國家的立國之本在于制造業，制造業的蓬勃發展意味著國家經濟的突飛猛進。在制造業自動化生產的過程中，產生了一些新的問題，比如輸送、倉儲等。美國的福特汽車公司曾經做出過調查，生產工藝只花費了大概5%的時間，而95%的時間花在了零件的搬運和成品貨物的倉儲，大大浪費了成本。從中可以看出，越來越多的企業選擇自動化物流倉儲系統作為企業構成的重要環節[1]。

隨著自動化物流倉儲系統應用越來越廣泛，很多學者開始對其進行研究和優化。薛亞莉通過對遺傳算法和模擬退火算法[2]進行改進和融合，優化了立體倉庫的貨位。劉愷文等人為了合理進行貨位的分配，研究了定位存儲和隨機存儲兩種入庫策略[3]。Banu.Y.Ekren通過穿梭式儲存和檢索系統[4]對自動化立體庫進行設計，克服了由于電商增加而導致的問題，具有更高的處理訂單效率。褚東亮等人通過計算機仿真軟件Flexsim對某物流企業的自動化立體倉庫進行動態建模仿真，研究人員效率、設備利用率是否能達到預期的效果[5]。以往的學者對物流倉儲系統中的自動化立體倉庫進行了優化，但是對自動化物流倉儲系統整體布局和規劃分析的較少。

本文應用排隊理論對自動化物流倉儲系統進行數學模型的抽象研究，推算出評價參數來合理地規劃物流設備數量，保證在投入成本最小的情況下得到最優的方案。確定方案以后進行仿真，驗證該物流方案。

1 自動化物流倉儲系統的排隊模型

1.1 系統概述

圖1是A廠的自動化物流倉儲系統流程圖，主要設備包括貨架、堆垛機、機器人、輸送線等。

圖1 A廠自動化物流倉儲系統流程圖

機器人進行對貨物的碼垛和拆垛，每次抓取1件貨物。立體倉庫中每個巷道均有左右兩排貨架，具有多層多列，每個貨位可存放一個托盤；堆垛機是完成托盤在庫內存取，并與輸送線交互實現托盤的出入庫的設備；輸送線的作用是將貨物或者托盤在各個環節之間進行傳送。

1.2 排隊理論概述

排隊理論是解決現實中的“服務問題”的一種方法，是一種研究系統由于各種隨機因素導致整個系統出現堵塞的現象，從而通過調節一些因素來減少堵塞現象的理論，一般模型如圖2所示。排隊理論可以通過設定參數，建立模型，來模擬實際情況。再通過計算，得到一些指標參數，優化與分析整個系統。

圖2 排隊模型框圖

1.3 排隊模型建立

根據排隊理論對A廠的物流系統各環節進行建模：

1）入庫前，顧客流為單件貨物，碼垛機器人為服務機構，單件貨物通過輸送線運送至碼垛機器人進行碼垛，6件貨物碼放為一垛，碼垛完畢視為服務結束，即顧客離去。

2）入庫時，顧客流為托盤，服務機構為堆垛機，堆垛機將托盤存入相應的貨位后，視為服務結束。

3）出庫時，顧客流為托盤，服務機構為堆垛機，托盤被堆垛機運送至出庫端放置完畢后，視為服務結束。

4）出庫后，托盤被運送至拆垛機器人，顧客流為托盤，服務機構為拆垛機器人，拆垛機器人進行拆垛，拆垛完成以后，視為服務結束。

結合排隊理論，根據A廠的設計參數，對系統做出模型的約束松弛條件：

1）所有的顧客流均服從先到先服務（FCFS）原則：

2）顧客的到達數量無限且相互獨立，單個顧客到達服務臺的過程服從泊松分布，顧客到達時間間隔服從負指數分布；

3）系統中各服務臺的服務時間相互獨立，服務臺的作業時間服從負指數分布；

4）整個系統不存在等待損失。

根據以上的約束松弛條件可知，系統符合多服務臺等待制排隊模型。

多服務臺等待制排隊模型可以分為兩類：多隊列多服務臺等待制排隊模型，即s個M/M/1排隊模型；單隊列多服務臺等待制排隊模型，即M/M/s排隊模型。根據文獻[6]可知1個M/M/s系統的工作效率要比s個M/M/1系統的工作效率高，因此要根據M/M/s排隊模型對物流倉儲系統進行規劃。如圖3所示，M/M/s模型的顧客都會排成一隊，當有服務臺處于空閑時，顧客進入服務臺進行服務。

圖3 單隊列多服務臺等待制排隊模型框圖

1.4 系統運行指標

圖4是基于多服務臺等待制M/M/s排隊模型的A廠物流系統流程圖。

圖4 A廠多服務臺等待制M/M/s排隊模型

設系統各環節的顧客到達過程服從參數為λi的泊松分布，各環節的服務臺服務時間服從參數為μi的負指數分布，其中i=1，2，3，4。M/M/s的排隊理論模型評價指標的計算方法[7]如下：

1）系統服務強度為：

2）系統中所有服務臺都空閑的概率為：

3）平均隊長為：

4）平均正在服務窗口：

5）系統隊長：

6）貨物的平均等待時間：

7）系統內貨物必須排隊的概率：

8）服務臺的運行效率：

2 實例分析

2.1 根據需求計算出入庫流量

1）碼垛入庫系統的流量計算

根據A廠廠商計劃，預計到2030年產量最高會達到1520萬件，每年工作300天，每天工作16個小時，一個托盤存放6件貨物，可以計算出每小時的入庫量為3166件/h，即527托盤/h。

2）出庫系統的流量計算

通過對零售和電商的出庫數據進行處理分析，并考慮企業發展規劃，對未來物流中心零售業務的物流需求進行預測，當前規劃的日出庫目標值為50000件，出庫系統每天工作24小時，即347托盤/h。

2.2 各環節排隊模型輸入參數確定

1）碼垛系統

設定碼垛機器人的碼垛能力μ1為大約10s抓取一件貨物，即μ1=60托盤/h；已知系統的入庫流量λ1為527托盤/h，即λ1=527托盤/h。根據以上參數，可以得到系統服務強度：ρ1=λ1/μ1=8.78。故碼垛機器人的數量需要大于等于9臺。

2）入庫、出庫系統

碼垛機器人碼放完畢以后，托盤通過輸送線運送至堆垛機，執行入庫流程。根據出庫訂單，堆垛機執行出庫任務取貨，將托盤出庫。立體倉庫作為系統的中間環節，需要對堆垛機的數量進行優化。

對于單臺堆垛機，單一平均作業效率δsin為1.47分鐘/盤，即40盤/小時，復合平均作業效率δcom為2.23分鐘/2盤，即53盤/小時。根據出入庫實際數據可知，堆垛機的單一作業概率sin為11%，復合作業概率com為89%，堆垛機空閑率π為15%。單臺堆垛機系統綜合出入庫作業能力ω定義為：

單臺堆垛機的入庫能力μ2和出庫能力μ3分別定義為：

由于入庫流量λ2為527托盤/h，出庫流量λ3為347托盤/h，所以可以得到：ω=43.8盤/小時，μ2=26.4托盤/h，μ3=17.3托盤/h。由式(1)得系統服務強度ρ2=19.9，ρ3=20.05，故堆垛機的數量應該大于等于21臺。

3）拆垛系統

出庫系統得出庫流量即為拆垛系統的輸入流量λ4為347托盤/h，拆垛機器人的拆垛能力μ4為9s處理1件貨物，即μ4=66.6托盤/h，所以可得系統的服務強度ρ4為5.21。故拆垛機器人的數量需要大于等于6臺。

2.3 各環節排隊模型數據分析

如圖5所示，根據式(7)和式(9)計算出各環節服務臺數量變化時的貨物平均等待時間和服務臺運行效率。值的注意的是，式(4)平均隊長和平均等待時間成正比，系數為λ，曲線趨勢完全一致，故不畫出。

如圖5(a)所示，服務臺數量為10臺時是曲線的拐點，此時ρs1＜1，碼垛系統穩定；如圖5(b)所示，服務臺數量為22臺時是曲線的拐點，此時ρs2＜1且ρs3＜1，入庫、出庫系統穩定；如圖5(c)所示，服務臺數量為7臺時是曲線的拐點，此時ρs4＜1，拆垛系統穩定。

圖5 物流倉儲系統各環節不同數量服務臺曲線圖

表1 物流倉儲系統各環節排隊模型參數

各環節服務臺數量在拐點附近確定。根據式(1)～式(9)計算出各環節拐點附近部分服務臺數量的評價指標數據，如表1所示

1）碼垛系統

當碼垛機器人數量為10臺時，平均隊長Lq為4.38個托盤（26.28件貨物），貨物的平均等待時間Wq為29.9s。對于碼垛系統來說，輸入端堵塞的是貨物，不是托盤，系統擁堵情況有點嚴重，等待時間過長，會影響效率，所以需要通過增加碼垛機器人來優化排隊系統，減少排隊隊長和排隊時間。碼垛機器人增加至11臺時，平均隊長Lq為1.52托盤（9.12個貨物），貨物的平均等待時間Wq為10.41s，與10臺相比，明顯減少了排隊擁堵和等待時間，提升了整體運行效率。

2）入庫、出庫系統

堆垛機數量為22臺時，等待時間過長影響效率。堆垛機增加至23臺時，入庫、出庫等待時間分別減少了50.94%和46.15%。堆垛機增加至24臺時，入庫、出庫等待時間分別減少了73.58%和74.05%。并且綜合考慮到堆垛機系統的容錯率，堆垛機為24臺時，顯著地減少了等待時間，優化了出入庫系統。

3）拆垛系統

考慮到系統的容錯性和冗余量，當拆垛機器人數量為7臺或8臺時，平均隊長和等待時間與6臺相比有明顯提升，并且7臺和8臺效果差距不大。因此A廠可結合投入預算，自行選擇7臺或8臺拆垛機器人。

3 仿真分析

3.1 仿真建立

建立物流倉儲系統動態模型，設仿真時間為t，在t時間內，顧客到達總量為m。顧客的到達過程服從泊松分布，第n個顧客的到達時間間隔為an。服務臺的服務時間服從負指數分布，服務臺為第n個顧客服務的服務時間為sn。第n個顧客到達系統的時間間隔為An，系統為第n個顧客開始服務的時間為Bn，第n個顧客離開系統的時間為Cn。有公式：

第n個顧客的到達時刻An為：

系統為第n個顧客開始服務的時間Bn為：

系統中所有顧客的平均等待時間Wq為：

3.2 仿真數據

采用3.1節中建立的仿真模型對碼垛系統進行仿真，仿真結果如圖8、圖9所示。當碼垛機器人數量設置為11臺，貨物數量為200件時，得到平均等待時間為10.05s，平均隊長為1.47件。例如，第101件貨物的到達時間為585.8s，服務時間為14.6s，等待時間為10.6s，當前排隊數量為8件，離開時間為611.1s。

10臺和11臺碼垛機器人進行15次仿真實驗，貨物數量為5000件的數據如表2所示。

圖8 11臺碼垛機器人等待時間仿真圖

圖9 11臺碼垛機器人隊長仿真圖

表2 碼垛系統仿真數據

表2（續）

樣本數據服從正態分布，運用數理統計計算出樣本的平均值、標準差和95%置信區間。10臺碼垛機器人時，平均排隊時間的理論值為29.9s，樣本得出的95%置信區間范圍為（28.54，30.17），理論值在置信區間內，說明排隊理論運用在碼垛系統中合理。11臺碼垛機器人同理。

出入庫系統和拆垛系統仿真結果如表3所示。各系統的理論值均在95%置信區間內，說明排隊理論運用在各系統合理。

表3 出入庫和拆垛系統仿真數據

4 結語

本文提出了一種基于排隊理論規劃自動化物流倉儲系統的方法，并針對系統各環節進行分析。通過數學建模得出指標參數，求出最優方案。通過仿真驗證排隊理論運用在該系統的合理性。同時為A廠節約了成本投入，提高了物流效率。

自動化物流倉儲系統還有許多其他的環節，例如環穿車系統、AGV系統等。鑒于篇幅有限，其他環節也可用類似的方法進行研究，因此本文不再贅述。