淺談列方程解應用題

在小學數學的學習中，學生學過各類應用題的算術解法，如百分數問題，相遇問題，追趕問題等等。中學數學，從一元一次方程開始，也會不斷遇到各類應用題，但初中開始一般是要求列方程來解應用題。

用算術方法來解應用題，實際上是通過推理得到一個用運算符號聯系起已知數字的式子，用它來表示所求的未知數。在一些條件比較復雜或者條件不太明顯的問題中，要列出這樣的式子，就比較困難了。而用方程來解應用題，就克服了這個難點，我們只要假設一兩個未知數，就可以直接或比較直接的把題中的條件用直譯的方式列出等式，進而解出未知數，完成應用題。

在學習列一元一次方程解應用題時，我們也是詳細分了許多類型：幾何問題，配套問題，分配問題，行程問題，追趕問題等等。實際上這些問題我們常使用的就是兩種方法，一種是列表法，一種的線段圖法。

一、列表法

列方程解應用題，首先在審題時把題目里的已知量、未知量以及它們間存在的數量關系整理出來。當題目兩個或兩個以上主體時，我們經常采用表格的形式來把題目中的條件整理出來，這樣往往會給我們的解題帶來便利。在我們常見的題目中，根據題意常列有3×4，4×4等表格。

一般表格的第一行與第一列，分別標記為公式的關系量，及題目主體名稱。接下來把已知的數據條件填入表格對應位置，余下的未知量需要用未知數來填充，至于設哪個量為未知數，表格中的未知量均可作為選擇，但我們一般情況下是題目要求哪個未知量，就設它為未知數。若要求多個未知量，先選設其中一個。

例1：學校田徑隊的小剛在400米跑測試時，先以6米/秒的平均速度跑了大部分路程，最后以8米/秒的速度沖刺到達終點，成績為1分零5秒.問小剛在沖刺階段花了多少時間？

跑步問題涉及的是路程、速度、時間三個關系量，題中跑步過程分為大部分路程與沖刺兩部分主體。我們據此可得表格，并填入已知數據：

題中的等量關系有：

（1）大部分路程+沖刺路程=400米;

（2）大部分時間+沖刺時間=1.05秒;

（3）路程=速度×時間。

表格中一共有4個未知量，由于題目要求的是沖刺時間，因此，我們用x來表示未知量，從對應的的等量關系（2）表示出大部分路程的時間，為1.05-x。接下來，由關系（3），可表示出兩部分路程分別為6（1.05-x），8x，到此，可把表格補充完整。

此時，我們可以發現，還有一個等量關系沒有用到，即關系（1）：大部分路程+沖刺路程=400米，最后我們根據這個關系來列得方程：6（1.05-x）+8x=400。也就是，把表格中最后得到的一組量代入未用到的等量關系里，可列得方程。

解：設沖刺時間為x秒，

依題可得：6（1.05-x）+8x=400

……

例2：一個兩位數，十位上的數字比個位上的數字大5，如果把十位上的數字與個位上的數字交換位置，那么得到的新兩位數比原來的兩位數的一半少9，求這個兩位數。

題中的等量關系有：

（1）十位的數字比個位的數字大5;

（2）新兩位數比原兩位數的一半小9;

（3）十位數字×10+個位數字=兩位數。

此題中，如果直接把要求的兩位數設為x，會發現列出的方程就比較復雜。此時，我們就需要間接設元。

用等量關系（1）（3）可表示出表格中的量，再依據余下的等量關系（2）列方程，可得：

解：設個位數字為x，則十位數字為x+5

……

借助表格列方程，首先找出題中的量，及等量關系（包挌公式）。用多數的等量關系填充表格，再根據余下的一個等量關系來列出方程，進而求解。

二、線段圖法（圖示法）

在一些應用題中，等量關系是不容易得到，用列表法來分析時，有可能因找不出其中的等量關系而束手無策。此時，可以用線段來對題目做進一步的分析。

例3：某車間有22名工人生產螺釘和螺母，每人每天平均可生產螺釘1200個或螺母2000個，一個螺釘要配兩個螺母，為了使每天生產的產品剛好配套，應該分配多少名工人生產螺釘，多少名工人生產螺母？

第一個等量關系：生產螺釘的人數+生產螺母的人數=22;第二個關系“一個螺釘要配兩個螺母”，易誤解成“螺釘的數量=2倍螺母的數量”。我們用線段圖來表示一螺釘對兩螺母，可得這其中的數量關系：螺母的數量是螺釘的數量的2倍。

由此可確定題中的兩個等量關系：

（1）生產螺釘的人數+生產螺母的人數=22

（2）螺母的數量=螺釘的數量×2

關系（1）用來設未知數，再由關系（2）列方程。

解：設x人生產螺釘，則（22-x）人生產螺母。

依題得：

……

當題目中的比例關系多而雜時，也可以選擇用線段圖來分析題目。

例4：某音樂廳五月初決定在暑假期間舉辦學生專場音樂會，入場券分為團體票和零售票，其中團體票占總票數的，若提前購票，則給予不同程度的優惠。在五月份內，團體票每張12元，共售出團體票的，零售票每張16元，共售出零售票的一半;如果在六月份內，團體票按每張16元出售，零售票按每張21元出售，并計劃在六月份內售出全部余票，那么，預計本次售票總收入為13710元。請你根據以上信息，求出本次演唱會的總票數。

這個題目，看起來比較繁瑣，但是如果利用線段圖示來分析，每一次的售票情況就一目了然：從圖里可以看出，四部分的售票總和即為總票數，且各部分的比例也能清楚的體現出來。

由此，我們可以得到如下方程：

解：設本次演唱會的總票數為x張，

依題得：……

例5：A、B兩地相距12千米，甲從A地到B地，在B地停留半小時后，又從B地返回A地。乙從B地到A地，在A地停留40分鐘后，又從A地返回B地。已知兩人同時分別從A、B兩地出發，經過4小時后，在他們各自返回的路上相遇。如果甲的速度比乙的速度每小時快千米，求兩人的速度。

這個問題看起來條件也比較復雜，我們還是畫一個線段圖來分析：

從圖里可以看出，當兩人相遇時，兩人的路程之和為A、B兩地距離的3倍，即：

甲的路程+乙的路程=12×3。

根據：路程=速度×時間，我們可以設出速度，由題中條件算得時間，即可表示出甲、乙兩人的路程，代入即可得到方程。

解：設甲的速度為x千米/小時，則乙的速度為（）千米/小時。

依題得：

……

列表法與線段圖法，掌握了這兩種應用的分析方法，在今后學習其他類型的方程，如方程組，分式方程是，就會感覺到更加的游刃有余。

作者簡介

萬啊瓊（1986.2-）女，漢，福建泉州籍貫，中學二級，本科學歷;研究方向：為中學數學教學。