工科線性代數教學的一點思考

姜威

摘 要 線性代數是一門理論性與應用性都比較強的學科，是工科專業基礎課中十分重要的課程之一。教授這門課的教師應該加強其基本理論的教學，尤其要加強矩陣相關理論的教學。本文就矩陣乘法、矩陣秩與矩陣行列式的教學方法給出了自己的一點想法，希望對學習這門課的學生與教授這門課的教師有所幫助。

關鍵詞 線性代數教學的思想 矩陣的秩 行列式 矩陣乘法

中圖分類號：G420 文獻標識碼：A

0引言

線性代數是一門理論性比較強的學科， 線性代數的主要研究對象是線性空間及其線性空間之間的線性映射。該課程的主要特點是概念眾多，知識點環環相扣。該課程的教學難點是如何提高學生們的抽象思維能力和類比歸納能力。學生難學、教師難教是在教學過程中普遍存在的現象。工科線性代數的教學一般只有48學時，如何在這有限的學時里，使得學生們能夠較為容易地掌握線性代數這門課的主要思想與方法是每一個從事線性代數這門課教學的教師要思考的一個嚴肅問題。在教學過程中，應該突出具體的n維歐式空間Rn的教學，也應該突出矩陣相關理論的教學，例如矩陣的秩、矩陣的列空間、矩陣的零空間等知識點都是要重點講解的內容。

1線性代數教學的一點體會

1.1線性代數的教學安排

同濟大學版教材線性代數首先介紹行列式的相關理論，然后介紹矩陣的基本計算，緊接著介紹線性方程組的一般理論與向量組的線性相關性，最后介紹二次型、矩陣的特征值、線性空間與線性變換。 美國麻省理工學院的Gilbert Strang教授編寫的英文版教科書Introduction to Linear Algebra是一本經典教材。此教材首先介紹向量與矩陣的一些預備知識，這些知識點與高中數學鏈接比較緊密，然后講解了線性方程組的一般理論、向量空間及其子空間，緊接著講解了正交性的相關知識點與行列式，最后介紹了矩陣的特征值、奇異值分解、線性變換等知識點。我更喜歡Gilbert Strang教授所著教材的安排，因為Strang教授所著教材與高中數學的知識銜接得更加緊密些，更加適合工科學生的學習。

1.2矩陣乘法的教學思考

設，，

逐元素定義法：定義且。

分塊列定義法： 設，是矩陣A與C的列分塊，這里的與都是m維的列向量。定義。

分塊行定義法：設，是矩陣B與C的行分塊，這里的與都是n維的行向量。定義。

這三種定義方式是等價的，分塊列定義法與分塊行定義法體現了整體的思想。可以看出矩陣C的每個列向量是矩陣A中列向量的線性組合，矩陣C的每個行向量是矩陣B中行向量的線性組合。這三種定義應該在教學中都體現出來，不能只講逐元素定義法，而不教分塊列定義法與分塊行定義法。碩士研究生數學一考試中常常涉及到這個考點，2020年的碩士研究生數學一考試就考到了這個知識點。

1.3矩陣秩的教學思考

線性方程組的一般理論是線性代數中十分重要的知識點， 線性方程組有解的充要條件是線性方程組系數矩陣的秩等于增廣矩陣的秩。m行n列的矩陣全體按照矩陣秩可以分成若干個矩陣等價類。 矩陣等價類中每個矩陣的秩是相等的，不同的矩陣等價類的秩是不相等的。上面這些理論結果都涉及到了矩陣的秩，這是線性代數課程中的一個核心概念，因此在教學過程中，應該突出矩陣秩的教學。下面簡單談下矩陣秩的教學，使得這個概念能夠讓學生很好理解。

由于大一理工科新生在高中階段接觸過空間解析幾何的相關知識點，建立空間直角坐標系方法的主要好處是在求解立體幾何問題中不用添加必要的輔助線，這對于空間想象能力不好的學生是一個不小的挑戰。大一新生學過R2中平面向量的相關知識，知道平面上任意兩個向量只有平行與相交這兩種位置關系。那么很自然可以提出，在三維R3空間中，任意的三個空間向量存在幾種位置關系呢？很明顯，三個空間向量不共面與共面是兩種特別重要的情況。 當三個空間向量共面時，可以看出至少有一個向量可以通過剩余兩個向量的分解表示出來。 當三個空間向量不共面時，可以看出這三個向量中任意一個向量都不能夠通過剩余兩個向量的分解表示出來。通過這個具體的例子引出R3空間中向量組線性相關與線性無關的概念。然后通過類比的方法把R3空間中向量組線性相關與線性無關的概念推廣到Rn的情況。在此過程中需要引入有限個向量的線性組合這個基本概念。 順便引入由有限個向量生成的線性子空間這個概念，接著定義線性子空間的維數與基這兩個重要的概念。事實上，大一新生對于維數與基這兩個概念是有所接觸。經過上面這些概念的引入，學生就會對線性子空間的維數與基有一個初步的認識，在上課的過程中，教師應該結合相關的具體例子，使得學生加深對線性子空間的維數與基的理解。

有了上面這些知識點的鋪墊，利用線性子空間的維數定義向量組的秩。設V是中由向量組生成的線性子空間，其維數為，即，那么定義。如果，那么向量組是線性無關的;如果，那么向量組是線性相關的。矩陣按照列向量分組，很顯然可以定義矩陣中列向量組的秩，這稱為矩陣的列秩;類似的，矩陣按照行向量分組，很顯然可以定義矩陣中行向量組的秩，這稱為矩陣的行秩。可以證明矩陣的行秩與列秩相等，因此這個相等的值就統稱為矩陣的秩。

當然矩陣秩的定義還有其他方式，例如北京大學版高等代數第三版中，矩陣秩的定義和上面定義方式幾乎一致，只是在定義向量組秩的方法有所不同。在同濟大學版線性代數中，矩陣秩的定義與矩陣中方塊子矩陣的行列式是否為零有關。事實上，可以證明這三種矩陣秩的定義方式是等價的。

1.4行列式的教學思考

同濟大學版教材線性代數的第一章講解的是行列式的理論，首先使用一個綜合的式子定義n階行列式。然后利用此定義證明了n階行列式的幾個性質，利用這幾個有用的性質

就可以計算n階行列式的值。n階行列式的定義是所有來自不同行不同列元素的代數和。此定義是十分復雜的，因為里面還要涉及到逆序數的概念。學生們對于行列式的這個定義是不容易掌握的，往往只記得n階行列式的幾個性質。因為我們可以反其道而行之，利用幾個性質來定義行列式。事實上，行列式可以理解為在n階方陣全體上的一個函數det，即：det：，此函數只需要滿足以下三個性質就完全可以刻畫矩陣的行列式。設n階方陣的列分塊為，這里的都是n維的列向量，考慮如下性質的函數：

（1），這就是交換矩陣的任意兩列，那么矩陣的行列式的值改變符號。

（2），這就是行列式關于矩陣列是多重線性的。

（3），這里的E是n階單位矩陣。

以上就是n階方陣的行列式的一種公理化定義，行列式的其他性質都可以由上面的三個性質推理得到。可以證明滿足以上三個性質的函數det的具體表達式就是同濟大學版線性代數教科書中行列式的定義。

2結語

本文就線性代數教學談了點個人的教學體會，目的只有一個，那就是使得學習線性代數這門課的學生能夠很好的掌握這門的基本思想與方法。在教學過程中，應該強化矩陣相關理論的教學，因為現代理工科學生常常需要與矩陣打交道。另外，采用先具體后抽象的教學方法可以使得學生逐步提高抽象思維能力;適當運用類比的思想來教學也可以起到較好的效果。在教學過程中，應該突出線性代數基本理論的教學，減少一些復雜運算過程的教學。因為學生只要掌握了一些基本的計算方法，具體實施過程可以交給數值軟件MATLAB來處理，這樣可以讓學生從繁雜的計算過程中解脫出來，以免學生產生討厭學習這門課的想法。

參考文獻

[1] 同濟大學數學系.線性代數（第六版）[M].高等教育出版社，2013.