向結(jié)論更深處漫溯 追尋數(shù)學學習的深度和溫度

徐俊

[摘要]在數(shù)學教學中有很多約定俗成的規(guī)定、公式、結(jié)論，往往教師們只注重最后結(jié)論的講授，而忽視了這些耳熟能詳?shù)臄?shù)學結(jié)論背后到底隱藏著怎樣的數(shù)學道理，學生只知其然而不知其所以然，這與現(xiàn)在所提倡的深度學習是背道而馳的。因此，在數(shù)學教學中教師要讓學生多問幾個“為什么”，再帶領(lǐng)學生深入這些結(jié)論的背后，探究其生成的原因，讓這些結(jié)論變得更加生動、鮮活，從而讓學生感受到數(shù)學并不是冰冷的，是有感情和溫度的。

[關(guān)鍵詞]講理 深度學習 數(shù)學溫度

案例背景：

記得第一次教學“3的倍數(shù)的特征”這個內(nèi)容時，我就有這樣的疑問：為什么2和5的倍數(shù)只看個位上的數(shù)，而3的倍數(shù)卻要把各個數(shù)位上的數(shù)字相加來看呢？我猜學生心里也覺得很迷惑，不過當時的課堂教學還沒有給學生提問的機會，也就從來沒有學生向我提出疑問，教參上也沒有進行相應的解釋，我也沒有打破砂鍋問到底的探究精神，所以每次都是照本宣科地講授完規(guī)律后就戛然而止。我心中的疑問一直被擱置在一邊，從未向人提及。

隨著課堂教學模式和教學理念的轉(zhuǎn)變，這樣只“知其然而不知其所以然”的課堂已經(jīng)不能滿足學生對知識的渴求，已經(jīng)無法在當今的數(shù)學課堂立足。于是我有了挑戰(zhàn)自己的想法，在學校的展示課活動中我特意選擇了“3的倍數(shù)的特征”這節(jié)課，希望借這個機會逼著自己好好思考，解開自己心中多年的疑問，讓學生不再像我一樣迷惘，于是有了下面的教學片段。

學生通過一系列的探究活動發(fā)現(xiàn)并通過舉例驗證了3的倍數(shù)的特征，教師進行總結(jié)板書后進行了下面的教學設(shè)計。

教學片段一：

師：大家真了不起，通過游戲竟然能發(fā)現(xiàn)3的倍數(shù)的規(guī)律，大家看看2和5的倍數(shù)的特征和3的倍數(shù)的特征，你有沒有什么疑問？

生：為什么3的倍數(shù)會有這樣的特征呢？

生：為什么3的倍數(shù)要看所有數(shù)位上的數(shù)之和，而2和5的倍數(shù)只要看個位就行了？

師：問得真好！學習需要知其然，更要知其所以然。關(guān)注結(jié)論重要，結(jié)論背后的原因更重要。下面我們來一起研究為什么3的倍數(shù)會有這樣的特征。想知道嗎？

出示PPT

師：判斷12是不是3的倍數(shù)時用1+2=3，你能從圖中看明白這里的l和2分別表示什么意思嗎？獨立思考后和小組的同學交流一下。

小組交流討論后匯報。

生1：這個1代表十位上的1，2就是個位的2。

生2：我覺得不對，我認為這個1是這樣來的，把12分成10和2，因為是除以3，所以把10根小棒每3根分一份，分了9根，還剩1根，這1根再和個位的2根合起來就是3根，3根能再分一份，所以1+2表示的是剩下的小棒的根數(shù)。大家對我的發(fā)言有什么意見嗎？

部分學生若有所思地點點頭，也有一部分學生很迷茫，第一位發(fā)言的學生也在思考。

生3：我認為你的說法是對的，這個1并不代表原來十位上那個1，而是十位的10根小棒分完9根以后剩下的1根。

生4：我也同意這樣的說法。

師：原來3的倍數(shù)特征背后藏著這樣的道理啊，原來1+2=3的1并不是我們看到的表面的那個1，而是十位上3根3根分以后剩下的1根，恰好這個1和原來十位上的數(shù)字1剛好是一樣的，這樣正好總結(jié)成把每個數(shù)位上的數(shù)相加，實際上這是在算什么呢？

生：算剩下小棒的根數(shù)，如果剩下小棒的根數(shù)剛好是3的倍數(shù)，那這個數(shù)肯定就是3的倍數(shù)了。

大部分學生露出了恍然大悟的表情。

教師趁熱打鐵，出示課件：

學生脫離了小棒，在數(shù)的組成的幫助下和教師的講解下再次理解了這背后的道理，思路漸漸變得明晰起來。接著教師出示43。

師：我們判斷43是否是3的倍數(shù)用4+3=7，你能試著分析一下為什么這樣判斷嗎？可以畫一畫，寫一寫。

學生在12的基礎(chǔ)上自己動手寫一寫、畫一畫，再請學生說一說。

[反思：3的倍數(shù)的特征的算理對小學生來說很難理解，但是如果因為這樣就避而不談也不是辦法，學生心里一定會存在這樣的疑惑，因此教師此環(huán)節(jié)引領(lǐng)學生建立執(zhí)果索因的論證方法，讓學生接受知識不是霧里看花，而是要明白規(guī)律背后的真相，從而學得真真切切，明明白白，感受知識之間的內(nèi)在聯(lián)系。通過這種方式獲得的知識學生終生難忘]

教學片段二：

學生了解了背后的道理后，教師出示練習：判斷5169這個數(shù)是否是3的倍數(shù)。

生1：我用5+1+6+9=21，21是3的倍數(shù)，所以5169是3的倍數(shù)。

大部分學生表示同意。

生2：我的方法和他不一樣，我用5+1=6，6是3的倍數(shù)，所以5169是3的倍數(shù)。

其他學生疑惑不解。

生2解釋：因為5169的個位和十位上是60和9，他們3個3個分都已經(jīng)能分完了，那么只要看百位和千位上的數(shù)就行了。

全班響起了熱烈的掌聲。

[反思：有了上面環(huán)節(jié)的設(shè)計，才有了這道題精彩的發(fā)言，學生能夠利用這規(guī)律背后的道理來巧妙簡潔地解決問題，對算理的再認知和運用，使看似獨立的內(nèi)容融會貫通，讓本節(jié)課更為豐滿和厚重]

教學片段三：

一節(jié)課結(jié)束了，但研究還沒有結(jié)束，課后我給學生布置了課堂作業(yè)：

（1）為什么2和5的倍數(shù)只看個位上的數(shù)就可以了？把你的想法寫一寫，畫一畫。

（2）找找9的倍數(shù)的特征，并說明為什么會有這樣的特征。

學生們有了課堂上的研究經(jīng)驗，有了對知識的透徹理解，才能舉一反三，研究出更多的背后的理，把知識學得通透、明白。

課尾，學生感嘆：這是一節(jié)有意思的數(shù)學課，我喜歡這樣的課。我頓時覺得這就應該是數(shù)學課本來該有的樣子吧。

[反思：整節(jié)課讓學生經(jīng)歷多層次的研究，并將課堂的探究延伸到課外，課雖結(jié)束，研究不停。讓學生自主去研究，去發(fā)現(xiàn)，去感受數(shù)學的有趣和講理，從而愛上數(shù)學]

反思：

數(shù)學是一門高度抽象的學科，如果本節(jié)課僅僅停留在知識層面：知道3的倍數(shù)的特征并會進行判斷，學生的分析、判斷、推理能力就得不到有效提升。如果忽視學生的認知障礙，學生心中的疑惑得不到有效的解答，久而久之學生就會失去思考的動力，變得懶得思考，不愛思考。探尋3的倍數(shù)的特征背后的奧秘，弄清為什么不同數(shù)位上的數(shù)字可以相加的道理，由有本溯源，解答學生心中的疑惑，讓學生感受到數(shù)學的奇妙，感受到思考帶來的樂趣，感受數(shù)學的深度和溫度。

在數(shù)學教學中還有許多的規(guī)律、公式、規(guī)定，有時教師也都因為其“規(guī)定性”，覺得沒有什么可講，就直接告訴學生了。顯然，從促進學生持續(xù)發(fā)展的角度來看，這樣的教學就遠遠不夠了。如果教師能帶領(lǐng)學生在教學過程中清晰地感受到結(jié)論背后的原因，看清了背后的本質(zhì)，我想這樣的過程應該帶給學生的不只是知識上的收獲，更重要的是讓他們真切地感受到數(shù)學是有溫度的，而不是一串串冷冰冰的數(shù)字和公式;數(shù)學是有深度的，而不是簡單的背背公式解解題。因此，需要教師帶領(lǐng)學生一同經(jīng)歷以下的過程：

1.追根，還原知識形成的過程

教師應為學生展現(xiàn)知識形成的過程，了解數(shù)學知識的來龍去脈，發(fā)掘知識根源，掌握知識實質(zhì)。例如，教學角的度量時量角是一個難點，如果教師能帶領(lǐng)學生一步步地去感受量角器各個部分形成的原因，這樣學生在量角時就很清楚地知道每一步應該怎么做。如果在量長度時能夠了解直尺設(shè)計時各部分的作用，學生一定能更加靈活地利用直尺來進行度量。教學“分數(shù)的初步認識”時，通過“你知道嗎”呈現(xiàn)相關(guān)數(shù)學史料，幫助學生感受分數(shù)的表示方法的演變過程。教學“分數(shù)的基本性質(zhì)”時，引導學生經(jīng)歷“根據(jù)分數(shù)和除法的關(guān)系，用除法中商不變的規(guī)律來說明分數(shù)的基本性質(zhì)”的過程，理解新知與舊知間的聯(lián)系。

諸如此類的問題，需要教師帶領(lǐng)學生還原知識形成的過程，我相信學生更樂于去接受。

2.講理，深化學生對知識的理解

我們的數(shù)學教學應該從數(shù)學結(jié)論出發(fā)，走到它們的背后，帶領(lǐng)學生一同去尋找這些結(jié)論形成的原因及過程，帶領(lǐng)學生走進其中，觸摸它們。善于巧妙地講理，把理講到學生的心里，使學生明理。學生明了理，他們才能把零散的知識串聯(lián)成線，才能把相關(guān)的知識以整塊的方式進行存儲記憶，這樣數(shù)學學習也就變得簡單而輕松。學生明了理，他們才不會覺得數(shù)學枯燥，才能體會到數(shù)學本身散發(fā)出來的理性之美，感受到這些規(guī)定背后隱藏的精彩，才能讓學生發(fā)自內(nèi)心地去接受，從而才能更好地去運用。

例如，在教學“和的奇偶性”一課，當學生發(fā)現(xiàn)奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)時不禁提問：“為什么奇數(shù)加奇數(shù)的和會是偶數(shù)呢？”這時教師帶領(lǐng)學生一同去探尋這背后的道理。學生有的畫圖：

雖然這幅圖還不是那么完美，但這可愛的小人以及每2個湊成一份上面的小愛心，單著的小人頭上的小問號已經(jīng)很好地詮釋了這背后的道理。

還有用語言表達的（我根據(jù)學生的回答整理如下）：

在這樣的探索下，學生真切地感受到了這簡單規(guī)律背后蘊藏的道理，接下來幾個數(shù)相加和的奇偶性的規(guī)律就輕松地理解了。

再如，不含小括號的四則混合運算的教學，我在課堂上就聽到課的一開始學生說：“我爸爸告訴我要先算乘除法再算加減法的。”這是我們需要的教學結(jié)果嗎？當然不是。即便是數(shù)學規(guī)定，學生也不能被動地去接受它，必須有一個理解或者是解釋的過程，這也正反映出學生是學習的主體這一教學的客觀要求。

規(guī)律發(fā)現(xiàn)并不難，重要的是注重對知識本源的探究，從數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系人手，深挖本質(zhì)，回歸起點，讓學生在習得知識技能的同時，也能看清數(shù)學知識的本質(zhì)，讓他們在探索知識的過程中獲得對知識的更深刻的認識與理解。避免只講規(guī)定，忽視道理;只講結(jié)果，忽視過程的現(xiàn)象發(fā)生。

數(shù)學是講理的，用“理”串起規(guī)定的“臺前”與“幕后”，連接“現(xiàn)代”與“古代”，溝通新知與舊知，跨越感性與理性，我們所有的“數(shù)學人”都責無旁貸，讓我們都行動起來，帶領(lǐng)學生一起感受數(shù)學的深度和溫度，讓學生們愛上數(shù)學！