灰色預測和0-1規劃在供水問題中的應用

徐 暢 李泳澍

（1.重慶郵電大學 重慶南岸 400065；2.濟南大學 山東濟南 250022）

一、供水問題的提出

某村位于我國西南地區，平均年降水量不足20mm，是典型的缺水地區。過去村民的用水、依賴蓄水池和村中現有的四口水井。由于近年天氣原因，蓄水池的功能完全喪失。而現有的四口水井經過多年使用后，年產水量逐漸減少。2009年以來，水井的產水量遠遠不能滿足需要。為此，政府打算著手解決該問題。從兩方面考慮，一是在該村附近又找到了8個可供打井的位置。二是通過鋪設管道的辦法從相隔20公里外的地方把河水引進該村。

可供打井位置共有8處，每處打井的費用和預計的年產水量不同。二是鋪設管道，其費用為P=0.66Q0.51L（萬元）。其中，Q表示每年的可供水量。從開工到完成需要三年時間，且要求完成之后，每年至少能提供100萬噸的水。

要求從2010年開始，連續三年，每年最多可提供60萬元用于該村的打井和鋪設管道。為了保證該村從2010到2014年，每年分別能至少獲得150、160、170、180、190萬噸水，以此做出規劃。

現有各水井在近幾年的產水量（萬噸）

8個位置打井費用（萬元）和當年產水量（萬噸）

二、模型的建立與求解

假設若只挖井不鋪設管道，并且前三年的供水量恰好滿足需水量。這樣可使后面幾年水的流失量減少，可近似實現最大供水的情況。通過計算發現，在這種情況下無法滿足第五年的需水量。因此必須鋪設管道。

（一）灰色預測模型

整體的供水量一部分來源于原水井的供水量。原水井的供水量大致呈下降趨勢，我們通過建立灰色預測模型，得出未來5年原水井供水量的值，為后面問題的解決做出鋪墊。下面以一號水井建立模型，通過原一號水井的產水量表，可建立出該井產水量時間序列如下：

q（0）=(q（0）(1)，q（0）(2)，q（0）(3)，q（0）(4)，q（0）(5)，q（0）(6)，q（0）(7)，q（0）(8)，q（0）(9))=（32.2，31.3，29.7，28.6，27.5，26.1，25.3，23.7，22.7）

同理預測出四口井在2010至2014的產水量如表1所示：

表1 2010年至2014原四口井的產水量

（二）打井和鋪設管道計劃

管道從開始鋪設和到完工通水需要三年的時間，既需要打井滿足需水量，又要最大可能地節約資金。在節約資金的前提下，在哪年打井，在什么位置打井成了問題的關鍵。已知在2010年時，原四口水井的產水量已經不能滿足需水量，因此第一年必須打井。以打井的年份為標準，我們設計出了四種優化方案，即2010至2012年每年都打井、2010和2011年打井、2010和2012年打井、僅2010打井，為一二三四方案。之后進行方案求解，以一為例，其他同理可得。

若每年都打井，應先打產水量小的井，否則將會造成后面幾年過多的水量的流失。要使三年的花費最小，則需要每年的花費都最小。設方案一花費的目標函數為：

利用MATLAB求解得x2=1,其余為0。第三年只打一個井，費用為6萬。將這三年所用費用相加，即得到第一種方案的總花費：M11=19+5+6=31萬。

同理求得四種方案所花總費用以及每年的出水量如表4所示：

表4 四種方案所花總費用以及每年的出水量

四種方案具體的打井計劃如表5所示：

表5 四種方案具體的打井計劃

利用鋪設管道的方程 (萬元)，得到每種方案每年鋪設管道的費用和長度如表6所示：

表6 每種方案每年鋪設管道的費用和長度

進而我們得到：

表7 四種方案的三年總水量及總開銷

在節約資金的前提下，我們可得出花費最少且滿足約束條件的方案為方案一、方案二、方案三。在花費最少的情況下，我們以三年總水量最多為最優方案，方案四。第一年打井3、5、6、8號，挖管道5.9325公里，花費60萬；第二年打井1號，挖管道7.9583公里，花費60萬；第三年打井2號，挖管道2.2219公里，完成目標，花費50萬；總花費170萬，節省10萬。