核心素養(yǎng)引領(lǐng)下的經(jīng)典問題解答新思路探究

凌健

有一年初三數(shù)學第一學期期中試卷第28題的第（3）小題，筆者任教的兩個班得分率特別低，得滿分的寥寥無幾。為此筆者對這個題目進行了深入的研究，試圖找出癥結(jié)所在，通過思考問題的本質(zhì)，找到了其中的共性和特性。本文給出對該題的一題多解，解后反思及教學反思，期待與同行交流。

一、試題呈現(xiàn)

如圖1，在平面直角坐標系中，點A的坐標是（8，0），點的坐標是（0，6），點P從點O開始沿軸向點以1 cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿y軸向點以相同的速度移動，若P、Q同時出發(fā)，移動時間為t（s）（0

當然，本題也可以用垂直的兩條直線斜率互為負倒數(shù)來解決，但由于超出了初中數(shù)學課程標準的要求，這里就不予討論了。

三、命題思考

1.經(jīng)典問題，推陳出新，有的放矢，考查素養(yǎng)。

這道期中壓軸題以一次函數(shù)為背景，推陳出新，圖形簡潔，題干簡約易懂。第3小題集中考查了判斷直線與圓的位置關(guān)系，直角三角形外接圓的圓心確定方法，點到直線距離的精準作圖能力，垂直條件的轉(zhuǎn)化方法，運用基本思想和方法構(gòu)造基本圖形計算垂線段長度等數(shù)學的核心概念和內(nèi)容。在解題的過程中對學生的解題能力和數(shù)學素養(yǎng)都提出了很高的要求。

2.一題多解，發(fā)散思維，殊途同歸，考查能力。

本考題第3小題的設(shè)問簡潔，言簡意賅，學生思路清晰，解法自然生成。判斷直線與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵要找到圓的半徑r和圓心到直線的距離d。由于圖中沒有d，故第一步就是作d。接著要轉(zhuǎn)化垂直這個條件，方法很多，起到鍛煉學生思維的作用。比較常用的有等積轉(zhuǎn)化，構(gòu)造K型相似等等，針對本題定三角形定直線也可以找到最值等特殊的解法。解法的起點很低，但解題過程中卻困難重重，每一種方法都對解題的抽象思維和邏輯推理要求很高，試題的區(qū)分度明顯。

鬼斧神工的解法，無不以學生分析問題，解決問題的能力為基礎(chǔ)，對學生能力的要求尤為突出。這些都給教師平時的教學提出了要求，指明了方向。

四、教學思考

1.要重視對學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展。

王尚志教授指出，數(shù)學核心素養(yǎng)包含數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六個方面。數(shù)學的學習就是從已知條件出發(fā)，對問題進行數(shù)學抽象，通過邏輯推理，數(shù)學建模，數(shù)學運算等等解決問題。在日常的教學過程中，要重視對學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展，一切以學生的發(fā)展為中心，以生為本，培養(yǎng)能力。在學習的過程中，要幫助學生養(yǎng)成良好的學習習慣。對于數(shù)學問題，要幫助學生建立一套研究問題的方法，創(chuàng)造足夠的時間和空間，讓學生自主探究和創(chuàng)造。

2.要重視對學生“四基”“四能”的培養(yǎng)。

教師在教學的過程中要高度重視基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法和基本活動經(jīng)驗等內(nèi)容。在學習的過程中深化對基礎(chǔ)知識的理解并逐步遷移，讓學生經(jīng)歷知識產(chǎn)生、發(fā)展的全過程，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，分析問題和解決問題的能力。試卷中的試題，其本質(zhì)考查的是學生對書本上的基本概念和基礎(chǔ)知識的掌握程度和靈活應(yīng)用能力，因此不管題目的形式如何改變，但萬變不離其宗。要引導學生注意基礎(chǔ)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系和對一些問題通性通法的熟練掌握，重視基本技能和數(shù)學思維方法的應(yīng)用。本題我任教的兩個班級得分很低充分暴露出學生基礎(chǔ)不扎實和分析問題、解決問題能力不足的短板。

3.要重視對經(jīng)典問題的回顧和反思。

這道試題給了我們很多的教學啟示，比如，要重視對經(jīng)典問題的回顧和反思。平時常考的一些問題，要讓學生自己歸納總結(jié)。類似的問題，要讓學生總結(jié)題目的條件會有哪幾種形式，題目的問題有哪些常見的提問角度，解答的方法具體有哪些，最優(yōu)化的解答如何選擇等等。培養(yǎng)學生自己悟數(shù)學，將知識點連成線，線再連成片織成一張網(wǎng)，在不斷的回顧和反思的過程中提升能力，發(fā)展素養(yǎng)。

4.要重視基本圖形的研究。

所謂基本圖形就是將在“圖形與幾何”領(lǐng)域的學習過程中具有一定典型性的概念、公式、定理、例題、習題中反復出現(xiàn)、經(jīng)常用到的對應(yīng)圖形，是結(jié)論化的圖形，是圖形化的公式。借助基本圖形，可以使得復雜問題簡單化，有利于提高學生的幾何直觀能力。

例如，對于垂直條件的轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為K型相似是一種方法。研究的過程，教師可以引導學生從圖形本身開始研究，慢慢進行變式和變形，最后實現(xiàn)升華，讓學生根據(jù)圖形特征創(chuàng)造性的自主建構(gòu)基本圖形，最后通過總結(jié)條件和構(gòu)圖步驟等將知識點內(nèi)化，積累數(shù)學基本活動經(jīng)驗。在遇到例如圖8的垂直問題時，學生就會創(chuàng)造性的建立圖9或圖 ?10，利用相似轉(zhuǎn)化垂直條件了。

在平時的教學中要重視引導學生分析條件，聯(lián)想基本圖形。有了基本圖形的積累，學生能夠在它們的指引下主動探索，創(chuàng)造性的添加輔助線，發(fā)現(xiàn)解題思路，并解決問題。對基本圖形的研究，不僅僅是為發(fā)現(xiàn)了多少新的規(guī)律和結(jié)論，更為重要的是掌握圖形研究的步驟、方式方法和途徑，以及通過研究圖形不斷的提高圖形研究意識、形成圖形研究能力，提升數(shù)學素養(yǎng)。