指向高階思維發(fā)展的數(shù)學(xué)核心知識教學(xué)*
——以蘇教版五上《負(fù)數(shù)的初步認(rèn)識》的教學(xué)為例

魏光明

【背景】

當(dāng)下學(xué)校教育中出現(xiàn)的學(xué)習(xí)倦怠、知識危機(jī)，在很大程度上是學(xué)生對知識的理解不夠深刻、不夠通透與應(yīng)用難以遷移、不夠靈活造成的。這在一定程度上與課程容量和課堂容量偏多有關(guān)。受課堂教學(xué)時間的限制和小學(xué)生年齡特點(diǎn)、認(rèn)知規(guī)律的影響，我們有必要科學(xué)地精簡與重組課程內(nèi)容，通過核心知識教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，促進(jìn)他們學(xué)會思考，學(xué)會獨(dú)立解決問題，發(fā)展能支撐他們終身發(fā)展、適應(yīng)時代要求的關(guān)鍵能力，尤其是高階思維能力。

數(shù)學(xué)教育要為培養(yǎng)未來公民的理性精神和邏輯思維貢獻(xiàn)獨(dú)特的學(xué)科力量，需要讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)基本概念及相關(guān)的基礎(chǔ)知識，領(lǐng)會基本概念背后的思考方式，體驗(yàn)思考方式背后的價值訴求。選擇核心知識展開教學(xué)，可以讓學(xué)生有時間對信息進(jìn)行深度加工，主動“創(chuàng)生”和聯(lián)結(jié)，建構(gòu)包含事實(shí)、概念、方法和價值這四個要素的完整知識，逐漸完善結(jié)構(gòu)化的知識體系，形成科學(xué)的認(rèn)知方式和高階的思維模型，提升獨(dú)立思考和應(yīng)對未來挑戰(zhàn)的能力。

指向高階思維能力發(fā)展的數(shù)學(xué)教學(xué)，應(yīng)該讓核心知識成為一顆顆充滿生長活力的“種子”。在教學(xué)中，教師要著眼數(shù)學(xué)思想方法和知識內(nèi)在邏輯進(jìn)行長程設(shè)計(jì)，為后續(xù)教學(xué)預(yù)留生長接口和聯(lián)結(jié)通道；要將知識置于真實(shí)情境中，并不斷遷移到新的情境中去，在數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界之間建立關(guān)聯(lián)；要展開持續(xù)探究和思辨互動，重視多元表征、變式識別與雙向建構(gòu)，幫助學(xué)生建立自己的思維框架和思維方式；要與原有知識建立廣泛聯(lián)系，不斷完善和擴(kuò)充認(rèn)知結(jié)構(gòu)，進(jìn)而對所學(xué)知識形成清晰、正確、精準(zhǔn)、關(guān)聯(lián)、有廣度、有深度、有邏輯、有意義的認(rèn)知。下面，筆者以蘇教版五上《負(fù)數(shù)的初步認(rèn)識》一課的教學(xué)為例，來談?wù)勗鯓釉O(shè)計(jì)和實(shí)施指向?qū)W生高階思維發(fā)展的數(shù)學(xué)核心知識教學(xué)。

【教學(xué)設(shè)計(jì)及意圖】

一、解決問題，初識數(shù)學(xué)原型

1.教師創(chuàng)設(shè)情境：王剛經(jīng)營一家小微企業(yè)，每個月的固定支出包括員工工資5 萬元、各種稅費(fèi)2 萬元、房租1 萬元、生活（水、電、煤氣等）繳費(fèi)和其他開支1 萬元。如果公司一月份收入10 萬元，這個月盈利多少萬元？如果二月份收入8萬元呢？

師：想一想，盈利是什么意思？怎樣計(jì)算公司的盈利？（不討論，也不指名回答，學(xué)生獨(dú)立解答）

2.師生交流互動。

（1）學(xué)生匯報(bào)方法思路與計(jì)算結(jié)果。

（2）結(jié)合情境，教師引導(dǎo)學(xué)生比較兩道算式，引出“盈利”與“虧損”這兩個概念。

師：兩道算式的得數(shù)都是“1”，聯(lián)系減法的意義想一想，這兩個“1”表示的意義一樣嗎？（給學(xué)生留下思考的時間）哪里不一樣？

師：第一個“1”表示盈利1 萬元，第二個“1”表示虧損1 萬元。“盈利”和“虧損”是兩個表示相反意義的量。

高階思維產(chǎn)生于真實(shí)、復(fù)雜的情境。基于真實(shí)情境生發(fā)而又在不同情境中生長的知識，可以更好地產(chǎn)生遷移。教學(xué)新知時，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)貼近學(xué)生經(jīng)驗(yàn)、承載育人價值、隱含知識原型、統(tǒng)攝更多內(nèi)容、影響更長進(jìn)程的真實(shí)情境，并在現(xiàn)實(shí)情境、學(xué)生經(jīng)驗(yàn)與即將學(xué)習(xí)的知識之間建立起關(guān)聯(lián)。上述教學(xué)中，將常用的“溫度”情境更換為“盈利和虧損”情境來引入負(fù)數(shù)，正是基于這樣的考量。“盈利和虧損”的情境不僅蘊(yùn)含正、負(fù)數(shù)的本質(zhì)，即表示一對相反意義的量，便于學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)中體會正、負(fù)數(shù)引入的必然性和合理性，還在于從情境中抽象出的正、負(fù)數(shù)具有“可以進(jìn)行運(yùn)算”的特征，借助事理就可以讓學(xué)生感悟有理數(shù)的加減運(yùn)算。此外，在解決問題時激活的數(shù)量關(guān)系“盈利=收入-支出”可以基于數(shù)學(xué)邏輯滲透“不夠減”的模型，為學(xué)生感悟減法運(yùn)算的封閉性以及規(guī)范表述負(fù)數(shù)的生活意義埋下伏筆。

二、理解本質(zhì)，逐步完善概念

1.學(xué)生舉例說明。

教師在黑板上記錄學(xué)生的答案，然后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較、分析、排除。

師：像“贏利”和“虧損”這樣表示相反意義的量在生活中有許多，請你舉出幾個例子。

師：在這些例子中，哪兩個量不是相反意義的量？

2.建立符號表征。

（1）先要求學(xué)生用自己的方法簡潔表征相反意義的量，再呈現(xiàn)學(xué)生的不同表征方法。

師：如果要用簡潔的方法記錄兩個相反意義的量，如記錄前面計(jì)算出的盈利1 萬元和虧損1 萬元，怎樣記錄可以讓其他人一眼就能區(qū)分開來？試一試。

（2）組織交流活動。

師：你能看懂這幾位同學(xué)的記錄方法嗎？聽聽他們的介紹。

（3）引導(dǎo)學(xué)生比較，再統(tǒng)一正、負(fù)數(shù)的規(guī)范表征方法。

師：最簡潔的方法就是都用1 來記錄，行不行？為什么？哪種方法既簡潔又能區(qū)分出相反意義？

師（同步板書要點(diǎn)）：盈利1萬元記作“+1萬元”，+1讀作正一；虧損1萬元記作“-1萬元”，-1讀作負(fù)一。

3.初步理解含義。

師：“+1萬元”和“-1萬元”的含義有什么不同？不盈利也不虧損可以用什么數(shù)來表示？

師：我們把不盈利也不虧損記作0，把0 看作盈利和虧損的分界線。

當(dāng)下，一般按照美國教育家布魯姆的教育目標(biāo)分類，將“分析”“評價”“創(chuàng)造”列為高階思維。事實(shí)上，通透的理解和靈活的應(yīng)用常常伴生高階思維。教學(xué)中，讓學(xué)生說出更多表示相反意義的量，旨在引導(dǎo)學(xué)生回歸現(xiàn)實(shí)生活，尋找豐富多樣的背景素材。在對這些素材進(jìn)行分析、比較、鑒別、分類、剔除錯誤的過程中，引導(dǎo)學(xué)生逐漸發(fā)現(xiàn)它們之間的異同，進(jìn)一步認(rèn)識相反意義的量，能為學(xué)生習(xí)得與理解正、負(fù)數(shù)概念提供有力的支撐。在此基礎(chǔ)上，要求學(xué)生簡約表示盈虧數(shù)據(jù)，并組織交流，讓學(xué)生理解不同的方法、不同的見解，經(jīng)歷從個性化的多元表征到規(guī)范化的統(tǒng)一表征過程，有助于他們體會用兩種數(shù)表示相反意義的量的價值，實(shí)現(xiàn)知識的自然“創(chuàng)生”和約定表達(dá)模型的意義賦予。筆者重視讓學(xué)生體驗(yàn)用性質(zhì)符號“+”“-”進(jìn)行表示的簡潔性與合理性，了解正、負(fù)數(shù)是性質(zhì)符號連同后面的絕對值組成的一個整體，認(rèn)識“不盈不虧”的狀態(tài)是一種用來比較和參照的標(biāo)準(zhǔn)（筆者把這里的標(biāo)準(zhǔn)稱為第一重標(biāo)準(zhǔn)），是相反意義的量的天然分界線，可以用0來表示。

4.遷移新的情境。

教師創(chuàng)設(shè)情境，學(xué)生解讀信息。（1）兩地氣溫：零上20℃和零下20℃；（2）兩地海拔：比海平面高8844.4米和比海平面低155米。

師：科學(xué)家們規(guī)定水結(jié)冰的溫度是0℃，海平面的平均海拔是0 米，你能用正、負(fù)數(shù)表示兩個城市的溫度和兩個地方的海拔嗎？

師：人們習(xí)慣把零上溫度、高于海平面的海拔記作正數(shù)，把零下溫度、低于海平面的海拔記作負(fù)數(shù)。想一想，用正、負(fù)數(shù)表示溫度的分界線是什么？表示海拔的分界線呢？

具有高階思維能力的學(xué)習(xí)者在面對新事物、新問題時，知道怎樣學(xué)習(xí)、怎樣解決問題。在學(xué)生初步認(rèn)識易于理解的相反意義的量以及表示一個數(shù)也沒有的天然分界線之后，呈現(xiàn)“溫度”和“海拔”情境，介紹人為規(guī)定的參照標(biāo)準(zhǔn)，如水結(jié)冰的溫度是0℃。需要指出的是，這里的“0”并非表示沒有，這里的標(biāo)準(zhǔn)有別于前面學(xué)習(xí)的第一重標(biāo)準(zhǔn)，可以理解為第二重標(biāo)準(zhǔn)。在此基礎(chǔ)上，啟發(fā)學(xué)生用正、負(fù)數(shù)來表示位于標(biāo)準(zhǔn)相反方向上的量（也可以說是相反意義的量），認(rèn)識人為規(guī)定的分界線也可以用0 來表示，進(jìn)一步豐富他們對正、負(fù)數(shù)內(nèi)涵的認(rèn)識。

5.學(xué)生練習(xí)鞏固。（用情境圖呈現(xiàn)信息）

6.教師描述定義。

師：0 是相反意義的量的分界線，它既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。

知識學(xué)習(xí)是思維發(fā)展的過程與載體。準(zhǔn)確把握知識的內(nèi)涵和外延，建立新舊知識之間的聯(lián)系，建構(gòu)縱橫聯(lián)結(jié)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有利于學(xué)生形成科學(xué)的思維框架和思維方式。鑒于引入負(fù)數(shù)安排在初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)、小數(shù)之后，教學(xué)時，無論是用正、負(fù)數(shù)去表示相反意義的量進(jìn)行鞏固練習(xí)，還是對正、負(fù)數(shù)進(jìn)行描述性定義，均建議覆蓋非0 整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)。這樣做，旨在幫助學(xué)生準(zhǔn)確把握一些數(shù)的外延，如正數(shù)包括正整數(shù)、正分?jǐn)?shù)和正小數(shù)，負(fù)數(shù)包括負(fù)整數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)和負(fù)小數(shù)。換一個視角，還可以說整數(shù)包括正整數(shù)、0 和負(fù)整數(shù)，分?jǐn)?shù)包括正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)，小數(shù)包括正小數(shù)和負(fù)小數(shù)，為后續(xù)科學(xué)建立“有理數(shù)”的概念以及揭示相關(guān)知識的結(jié)構(gòu)提供全面的背景材料。此外，基于充分感悟，揭示正、負(fù)數(shù)的內(nèi)涵是表示兩種相反意義的量，可以更好地促進(jìn)學(xué)生在新的情境中表示、解釋、評判和應(yīng)用。

三、適度延伸，認(rèn)識“動態(tài)標(biāo)準(zhǔn)”

1.學(xué)生記錄數(shù)據(jù)。介紹籃球隊(duì)教練選中3名隊(duì)員的身高數(shù)據(jù)（小明身高180 厘米，小紅身高120厘米，小剛身高150厘米），要求學(xué)生用記錄單來記錄，并在小組內(nèi)交流、討論。

2.展示、討論記錄絕對身高的方法（如表1），進(jìn)一步認(rèn)識天然存在的靜態(tài)分界線。

表1 絕對身高記錄表

師：記錄三人身高的180、120、150 都是正數(shù)，在這里是把什么看作0？

3.展示、討論記錄相對身高的幾種方法（如表2～表4），感知并認(rèn)識人為設(shè)置的動態(tài)分界線。

表2 相對身高記錄表1

師：小紅的身高怎么變成0 了？小明和小剛的身高又怎么變成60 和30 了？我們還可以把身高多少厘米看作0？另外兩人的身高又可以怎樣表示呢？

表3 相對身高記錄表2

表4 相對身高記錄表3

師：表3 中，小明的身高記為30，小紅的身高記為-30，這是為什么？表4 中，為什么小紅和小剛的身高都用負(fù)數(shù)來表示？

4.引導(dǎo)學(xué)生比較四種記錄方法。

師：同一個人的身高是確定不變的，為什么在四張表中記錄的數(shù)據(jù)卻是不同的？

師：表2～表4中的0，是不是表示某一個人的身高就是0厘米？

師：有時候，人們可以根據(jù)需要選擇一個數(shù)量作為標(biāo)準(zhǔn)，規(guī)定這個數(shù)量為0，再用其他數(shù)量與標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較的差來表示其他數(shù)量的多少或位置。在表3 中，將小剛的身高記為0，實(shí)際上就是將三人的平均身高作為標(biāo)準(zhǔn)。在實(shí)際生活和工作中，人們經(jīng)常會以平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)來記錄一組數(shù)據(jù)，并進(jìn)行分析。

具備高階思維能力的學(xué)習(xí)者在尋求解決新問題的方向、方法和策略時，通常能積極、主動地運(yùn)用現(xiàn)有知識進(jìn)行嘗試性探究和深層次分析，以建立新的聯(lián)結(jié)，甚至“創(chuàng)生”新的知識和工具。事實(shí)上，正、負(fù)數(shù)概念既是上一個探究過程的結(jié)果，又是下一個探究過程的起點(diǎn)，始終處于再分析、再思辨、再聯(lián)結(jié)的過程中。教學(xué)中，呈現(xiàn)“標(biāo)準(zhǔn)”不斷變化的“連載式”身高記錄任務(wù)，可以支持學(xué)生展開持續(xù)、深入的探究，支持學(xué)生“從頭到尾”地思考，幫助他們形成科學(xué)的認(rèn)知方式和思考方式。在這一環(huán)節(jié)，讓學(xué)生用合適的數(shù)表示因?yàn)椤皹?biāo)準(zhǔn)”變化而產(chǎn)生的相對數(shù)量，解釋正、負(fù)數(shù)在具體情境中的含義，可以進(jìn)一步深化學(xué)生對正、負(fù)數(shù)的理解。在這里，教師要認(rèn)識變化的“動態(tài)標(biāo)準(zhǔn)”，并引導(dǎo)學(xué)生感悟和認(rèn)識這第三重標(biāo)準(zhǔn)。

四、反思比較，深化概念理解

1.豐富0的認(rèn)識。

師：在前面的學(xué)習(xí)中，不盈利也不虧損、氣溫0℃、小剛的身高都可以用0 表示。這三個0表示的意義一樣嗎？有什么不同？

師：今天，我們再次認(rèn)識了0。0 不僅可以表示一個物體也沒有，還可以表示一個標(biāo)準(zhǔn)，作為正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線。所以，人們規(guī)定0 既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)。

2.規(guī)范數(shù)學(xué)表達(dá)。

師：“盈利1萬元”和“虧損1萬元”分別用什么數(shù)來表示？這里的“-1”是表示“虧損-1 萬元”嗎？

師：想一想，怎樣計(jì)算公司二月份的盈利？

師：“-1萬元”可以說成虧損1萬元，也可以說成盈利-1萬元。

師：“-1萬元”在生活中還可以表示什么？

3.引導(dǎo)學(xué)生回顧反思。

師：在生活中，你在哪里見過負(fù)數(shù)？試著說一說它們的含義。

師：通過今天的學(xué)習(xí)，你對正數(shù)和負(fù)數(shù)有什么新的認(rèn)識？有什么疑問？還想了解有關(guān)正、負(fù)數(shù)的哪些知識？

師：課后，請同學(xué)們思考一個問題，歷史故事里提到的“公元前100 年”能用“-100”表示嗎？

高階思維常常伴隨著對先前學(xué)習(xí)的綜合、對當(dāng)前學(xué)習(xí)的反思以及對未來發(fā)展的預(yù)測。在這一環(huán)節(jié)，筆者注重引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行三個方面的反思。其一，先引導(dǎo)學(xué)生回顧“標(biāo)準(zhǔn)”的產(chǎn)生過程，挖掘“標(biāo)準(zhǔn)”的本質(zhì)，認(rèn)識第一重標(biāo)準(zhǔn)表示沒有，第二重標(biāo)準(zhǔn)是對特定客觀存在的人為規(guī)定，第三重標(biāo)準(zhǔn)是可以根據(jù)需要動態(tài)變化的人為規(guī)定；接著引導(dǎo)學(xué)生從不同中尋找相同，將三重標(biāo)準(zhǔn)都統(tǒng)一到“0”上去，進(jìn)一步認(rèn)識0 是正、負(fù)數(shù)的分界線，豐富他們對0 的認(rèn)識。其二，引導(dǎo)學(xué)生重新思考“-1 萬元”，知道其在具體情境中的意義是“虧損1 萬元”“支出1 萬元”等。更重要的是，讓學(xué)生知道其規(guī)范表述是“盈利-1 萬元”，以便于學(xué)生借助數(shù)量關(guān)系“盈利=收入-開支”來感悟“-1”是由“8-9”計(jì)算得到，為后續(xù)進(jìn)一步學(xué)習(xí)有理數(shù)的加減運(yùn)算做好鋪墊。其三，引導(dǎo)學(xué)生帶著所學(xué)知識回到生活中去，實(shí)現(xiàn)生活化和數(shù)學(xué)化的雙向切換。同時，基于現(xiàn)有知識提出新的問題，牽動學(xué)生進(jìn)行持續(xù)探索和深度追問。