基于光學自準直法的光波導陣列平行度測試

黃銀國，梁佳琪，楊 永，李杏華

(天津大學 精密測試技術及儀器國家重點實驗室，天津 300072)

1 引 言

光波導是一種利用全反射原理引導光波在其中無損傳輸的介質裝置[1]。根據耦合結構的不同，光波導主要分為幾何光波導和衍射光波導[2]兩類。其中，幾何光波導也稱陣列光波導，即波導內部存在用于輸出圖像并擴展出瞳范圍的平行的半透半反膜陣列[3]。相比衍射光波導，幾何光波導采用傳統幾何光學的設計理念，技術門檻低，而且成像質量較高[4]。

以色列的Lumus公司[5]、國內的瓏璟光電、靈犀微光等公司都在致力于研制幾何光波導。但目前幾何光波導的制造工藝非常復雜，尚未成熟，而且價格很高，難以量產。在幾何光波導的制造過程中，任何一點偏差都會導致成像出現瑕疵，例如明暗條紋、鬼像等問題[6]。在眾多影響成像質量的因素中，一個關鍵因素就是光波導中半透半反膜陣列的平行度，若無法保持良好的平行度，出瞳光線會不均勻，會嚴重影響成像質量，因此，陣列平行度的測試是檢定幾何光波導性能的一個重要依據。由于光波導的工作原理特殊，很多用于普通平面間平行度的測量方法無法直接應用于光波導，因此，如何快速準確地測試光波導陣列的平行度是一個亟待解決的問題。

本文基于光學自準直法提出了一種光波導陣列平行度測量方法，該方法的測量光路與光波導的成像光路一致，解決了自準直法難以適用于光波導離軸光路的問題，具有精度高、非接觸、快速高效等特點。

2 幾何光波導結構

幾何光波導示意圖如圖1所示，其內部由一個全反射鏡以及若干個以一定間距平行排布的半透半反膜陣列組成，其工作原理如圖2所示。工作時，入射光進入光波導經過若干次全反射后到達半透半反膜中，一部分光線反射后射出波導，另一部分光線透射進入下一個半透半反膜中繼續反射與透射，從而實現水平方向上光的復制。

圖1 幾何光波導示意圖Fig.1 Schematic diagram of geometric waveguide

圖2 幾何光波導工作原理Fig.2 Principle for geometric waveguide

3 測量方案

3.1 平行度誤差評定模型

本文所述測量方案的待測量為光波導陣列面的平行度，即各個半透半反膜之間的平行度。面與面之間的平行度作為方向公差在測量時需要有參考基準，如果兩個面互為基準，會因基準面與理想平面之間存在面型誤差而導致平行度測量存在較大誤差。因此，建立合適的參考基準也是平行度測量的重要環節。常用的基準平面建立方法有最小區域法、最小二乘法、公差原則法和三遠點法等[7]。確定基準平面后，可以直接利用最小包容區域法來評定平行度誤差，如圖3(a)所示。最遠點與最近點上下包容面之間的區域即為最小包容區域，待測面與基準平面之間的平行度誤差用距離d表示。

(a)一般平面間的平行度誤差(a)Parallelism error between general planes

(b)光波導陣列平面間的平行度誤差(b)Parallelism error between plane of waveguide array圖3 最小包容區域法Fig.3 Minimum containment area method

光波導中陣列平面的平面度誤差較小，可認為是理想平面，因此可以以其中一個陣列平面作為基準平面，則兩陣列面之間的平行度誤差示意圖如圖3(b)所示，此時最遠點和最近點是平面的兩個頂點，兩平面間的平行度誤差為：

d=d1+d2=l1sinθx+l2sinθy.

(1)

實際上光波導中陣列面之間的角度非常小，為角秒級別，因此有sinθ=θ，則有：

d=l1θx+l2θy.

(2)

由此可知，平行度誤差d的產生原因是因為它分別繞x軸與y軸方向旋轉了一個角度，因此，本文利用兩平面之間的夾角來表示平行度誤差。相比于用d來表示陣列面之間的平行度誤差，這種用角度來表示的方法便于之后對各個光波導陣列面的姿態修正，從而提高幾何光波導的成像質量。

3.2 測量原理

幾何光波導中的半透半反膜陣列之間的平行度非常小，小角度測量的常用方法有光學內反射法、激光干涉法和光學自準直法等[8]。其中，光學自準直法具有結構簡單、適用性廣等特點，因此本文選取自準直法對陣列平行度進行測量。

(a)典型自準直光路結構(a)Typical autocollimation optical path

(b)光波導陣列平行度測量(b)Parallelism measurement of waveguide array圖4 典型自準直光路及其在平行度測量中的應用Fig.4 Typical autocollimation optical path and its application in parallelism measurement

如果直接將該光路結構應用于光波導陣列面之間的小角度測量時，入射光與出射光不在一個光軸上。此外，與平板平行度測量不同，因為光波導表面是全內反射的，所以半透半反膜陣列不能當作多個平面反射鏡。

為了解決這一問題，本文根據圖2所示的幾何光波導工作原理，設計了一種可以用于測量光波導陣列平行度的方法，如圖4(b)所示。

3.3 平行度誤差數學關系

已知光波導中的全反射鏡與光波導表面的夾角為α，且假設光波導兩表面相互平行。以兩個半透半反膜陣列面在x方向上的平行度為例，如圖5所示。為方便查看內部光路并分析原理，僅用平行光中的一條光路作圖，設平行度為Px，則可以表示為：

Px=α1-α2.

(3)

圖5 陣列面平行度測量原理Fig.5 Principle for array plane parallelism measurement

光垂直入射進光波導，經全反射鏡反射，根據垂直關系有：

∠1=90°-2α.

(4)

光經過在光波導中全反射，射到半透半反膜陣列上，根據反射角的性質以及外角定理得：

β1=α1-∠1=α1+2α-90°，

(5)

β2=α2-∠1=α2+2α-90°.

(6)

后經半透半反膜反射，分別以φ1，φ2從光波導中出射，根據外角定理可分別得到：

φ1=α1+β1-90°=2α1+2α-180°，

(7)

φ2=α2+β2-90°=2α2+2α-180°.

(8)

光射出光波導時，根據折射定律可知(其中，n為光波導的折射率)：

(9)

(10)

由泰勒展開式可知，當θ很小時，sinθ≈θ，arcsinθ≈θ。由于光波導中的半透半反膜陣列之間的平行度為角秒級別，因此可近似為：

(11)

(12)

光射出光波導后將進入反射鏡(為了方便作圖，使角度標注更清晰，圖5中畫出的反射鏡偏轉角較大，但實際測量中反射鏡近似與光波導正對)，光經過反射鏡反射后，假設通過第一個半透半反膜的光將原路返回至光波導。實際上，經推導，平行度測量結果與反射鏡角度無關，因此不必使光線嚴格原路返回。而通過第二個半透半反膜的光將以θ3為入射角返回射入光波導中。此時：

θ3=2θ1-θ2.

(13)

根據折射定律，有：

(14)

由外角定理可知：

β3=φ3-α2+90°.

(15)

將式(7)，(8)和式(14)代入，得：

β3=4α1-3α2+2α-90°.

(16)

根據外角定理及反射角的性質可得：

∠2=α2-β3=4α2-4α1-2α+90°.

(17)

由于光波導兩表面相互平行，則有：

∠3=∠2+α=4α2-4α1-α+90°.

(18)

根據三角形內角和可得：

γ=90°-∠3-α=4α1-4α2.

(19)

最后，返回光以γ射出光波導，經折射后回到光波導陣列平行度測量儀中，此時，根據折射定律有：

nsinγ=sinδ.

(20)

由于γ和δ都很小，所以：

(21)

利用光波導陣列平行度測量儀中兩個自準直回像的相對位置Δx可以獲得δ，由此可以計算出半透半反膜陣列面在x方向上的平行度Px；同理可以得到y方向上的平行度Py。

4 測量裝置與圖像處理

4.1 測量裝置

利用上述測量原理，研制了一套光波導陣列平行度測量儀，該測量儀由光源、分劃板、分光棱鏡、物鏡以及圖像傳感器CCD等器件組成。其中，分劃板決定了自準直回像的形狀，為了提高回像位置的測量精度，本研究采用十字形分劃板。

圖6 光波導陣列平行度測量系統示意圖Fig.6 Schematic diagram of waveguide array parallelism measurement system

光波導陣列平行度測量裝置系統如圖6所示。測量系統由光波導陣列平行度測量儀、載物臺、旋轉調整臺、反射鏡和計算機等組成。其中，光波導陣列平行度測量儀下方安裝有調平裝置，可以調節其姿態便于測量；載物臺具有固定裝置，用以固定待測光波導；光源控制器可以根據光波導陣列平面的反射率而控制輸出光強；計算機用于處理自準直回像并計算平行度誤差，與用戶完成實時交互。另外，還配有合適寬度的狹縫，用于遮擋光波導中其他半透半反膜的出射光，以防止它們對當前被測半透半反膜的自準直回像位置測量的干擾。

4.2 十字光條中心點的獲取

根據測量原理可知，自準直回像的位置偏移量(即回像中十字光條的中心點坐標變化量)是光波導陣列平行度誤差測量的主要數據。十字光條的中心點坐標的主要計算過程如下：

首先，利用Steger算法提取十字光條中心線上所有的點，然后再根據各個點的特征來分成兩類(即水平光條上和豎直光條上的點)，并分別擬合直線，兩條直線的交點即為十字光條的中心點。

其中，Steger算法是一種可以實現亞像素級別的光條中心處理算法[10]，是一種基于極大值點的中心提取方法，其原理基于Hessian矩陣。Steger算法的處理流程如圖7所示。

圖7 Steger算法步驟Fig.7 Flow-chart of Steger algorithm

經Steger算法處理后，可得到如圖8所示的效果。

(a)處理前(a)Before image processing

(b)處理后(b)After image processing圖8 Steger提取十字光條中心Fig.8 Extraction of center of light stripe with Steger algorithm

圖8(b)是經過Steger算法提取出的十字光條中心線上所有的點，為了找到光條的十字交點，需要分別將水平和豎直兩條中心線上所有的點擬合成兩條直線，它們的交點即為自準直回像的中心點。

5 實 驗

5.1 標定及線性實驗

利用ELCOMAT2000型光電自準直儀作為標準來標定本文所設計的光波導陣列平行度測量儀。ELCOMAT2000型光電自準直儀的最大示值誤差為±0.25″。將它們放置于光學平臺上，在中間放置二維轉動臺，并在轉動臺上方固定放好一個雙面反射鏡，如圖9所示。

以標定光波導陣列平行度測量儀的x軸輸出的像素當量為例，固定好二維轉動臺的y方向旋鈕，調節x方向旋鈕使得雙面反射鏡偏轉一個較大的角度，但同時要確保測量儀能夠接收到自準直回像，根據ELCOMAT2000的角度測量值和自準直回像移動的像素點數可以標定出x軸的像素當量為0.71 (″)/pixel。y軸的像素當量標定方法同x軸，標定結果也為0.71 (″)/pixel。

(a)標定實驗裝置示意圖(a)Schematic diagram of calibration experimental equipment

(b)標定實驗裝置實物圖(b)Photo of calibration experimental equipment圖9 光波導陣列平行度測量的標定實驗裝置Fig.9 Experimental calibration equipment for waveguide array parallelism measurement

利用上述標定步驟及裝置還可以檢測光波導陣列平行度測量儀的線性指標。以檢測測量系統中x軸的線性為例，首先調整雙面反射鏡的x軸旋鈕使它置于角度值-125″，然后調整y軸旋鈕使自準直回像能回到一個合適的位置。然后在-125″～+125″內以25″為增量調節雙面反射鏡的x軸旋鈕，y軸的線性測試方法與x軸相同，繪制x軸與y軸各組數據的誤差曲線如圖10所示。

圖10 光波導陣列平行度測量儀誤差曲線Fig.10 Error curves of waveguide array parallelism measuring instrument

由此可知，在-125″ ～ +125″內，光波導陣列平行度測量儀的x軸和y軸最大非線性誤差分別為0.9″和0.7″。

5.2 光波導陣列平行度測量實驗

光波導陣列平行度測量系統如圖11所示。首先將光波導陣列平行度測量儀、旋轉調整臺以及載物臺置于光學平臺上，將光波導放置在載物臺上，將反射鏡置于旋轉調整臺上，調整各儀器使光波導陣列平行度測量儀的平行光束中心高度與光波導、反射鏡的中心高度一致，并調整光源控制器至最大光強附近，方便尋找返回像，然后再調節旋轉調整臺以調整反射鏡的姿態，直至測量儀能在合適的位置接收到返回像。

圖11 光波導陣列平行度測量系統Fig.11 Parallel measurement system of waveguide array

移動狹縫，使測量儀每次只接收光波導陣列中一個半透半反膜的自準直回像，并利用計算機中的軟件設置光源控制器參數，將光條亮度調整至合適亮度，由于每個半透半反膜的光能利用率可能不同，因此每移動一次狹縫都需要調節一次光源控制器參數。最后用軟件處理自準直回像，記錄每一個十字光條的中心坐標。本實驗是相對測量，以第一個陣列面為基準(0″)，利用每一個自準直回像與第一個陣列面的自準直回像的相對位置Δx，Δy以及公式(21)即可計算出光波導陣列之間的平行度Px，Py，在同一環境下對同一光波導重復上述測量過程10次。

(a)x方向上的平行度誤差Px(a)Parallelism error in x direction

(b)y方向上的平行度誤差Py(b)Parallelism error in y direction圖12 同一光波導的陣列平行度誤差10次測量結果Fig.12 Ten measurement results of same waveguide array’s parallelism error

已知被測光波導有5個半透半反膜陣列面，相鄰兩個半透半反膜的間距為1.6 mm，光波導內全反射鏡傾角為55°，半透半反膜的理論傾角為35°，光波導表面折射率為n=1.516 30。另外，被測光波導的設計加工要求為：半透半反膜陣列的平行度誤差要在±30″以內。10次測量結果如圖12所示。

按照貝塞爾公式(22)對數據分別進行標準差計算，計算結果如表1所示：

(22)

表1 光波導陣列平行度的測量平均值及標準差計算結果Tab.1 Average and standard deviation results of parallelism

以標準差σx，σy作為光波導陣列在x方向和y方向上的平行度重復性誤差，則在x方向平行度測量的最大重復性誤差為0.29″，y方向的最大重復性誤差為0.32″。

為了驗證該測量方法的正確性，需要進行驗證實驗。但由于光波導的加工工藝十分復雜，其中的半透半反膜陣列需要經過鍍膜、膠水黏合、切割等一系列過程才能制成，因此無法確切得知加工出來的光波導陣列的平行度，只已知設計加工的誤差要求范圍。不僅如此，當前國內外在對于光波導陣列的平行度測量這一方面并沒有可以實際使用的測量方法，因此無法進行對比實驗。

于是這里采用了另一種方法來驗證本測量方法的正確性，即在同樣的設計加工要求下(半透半反膜陣列平行度誤差要求在±30″內)對同一批采用同種工藝加工的5個光波導的陣列平行度分別進行測量，測量結果如圖13所示。可以看出，同一批的這5個光波導陣列的平行度測量結果近似相同，可以證明本原理的正確性。

(a)x方向上的平行度誤差(a)Parallelism error in x direction

(b)y方向上的平行度誤差(b)Parallelism error in y direction圖13 5個不同光波導的陣列平行度誤差測量結果Fig.13 Measurement results of five different waveguide arrays’ parallelism error

在測量光波導陣列面的平行度時，誤差來源主要包括光波導平行度測量儀引入的誤差以及測量系統中使用的狹縫、實際光波導以及反射鏡、測量環境等引入的誤差。

首先對光波導陣列平行度測量儀的誤差u(δ)進行分析，包括標定時的不確定度u1(δ)以及測量時的不確定度u2(δ)，其中u2(δ)由測量儀的最大非線性誤差計算可得，均以正態分布估計：

而引入的其它誤差無法采用經驗值估計，測量時重復性誤差包括了這些誤差源，因此用重復性誤差來近似代替這些誤差因素的總和。本實驗的最大重復性誤差為0.32″，因此，平行度測量的不確定度為：

取包含因子k=2，則擴展不確定度為：

U(P)=ku(P)=1.14″.

6 結 論

為了提高幾何光波導的成像質量，需要盡量減小其中的半透半反膜陣列的平行度誤差，本文依據光學自準直原理，配合光波導的工作原理，結合Steger圖像處理算法，設計了一套光波導陣列平行度測量系統。經實驗與分析，光波導陣列平行度測量儀在-125″ ～ +125″內，x軸和y軸最大非線性誤差分別為0.9″和0.7″，平行度測量的x方向和y方向重復性誤差分別為0.29″和0.32″，測量不確定度為1.14″。該測量系統結構簡單，可以實現光波導陣列平行度的高精度、快速測量，對幾何光波導的成像質量改善有著重要作用，可以有效改善光波導中存在的明暗條紋等問題，推動幾何光波導技術的發展。