數學教育三境界

劉青云

國學大師王國維在他的《人間詞話》里把讀書分成了三個境界：“古今之成大事業、大學問者，必經過三種之境界：‘昨夜西風凋碧樹.獨上高樓，望盡天涯路，此第一境也;‘衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴，此第二境也;‘眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處，此第三境也。”筆者借此三重境界，來探索新課標下高中數學教學的意義。

《普通高中數學課程標準（2017版）》（以下簡稱《2017課程標準》）明確指出：高中數學課程以學生發展為本，落實立德樹人根本任務，培育科學精神和創新意識，提升數學學科核心素養。高中階段要培養學生六大數學核心素養，即：數學抽象，直觀想象;邏輯推理，數學計算;數學建模，數據分析，進而培養學生會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界。

縱觀數學發展史，數學的基本思想實為：抽象、推理、應用。數學抽象——從現實進入數學;數學推理——數學自身的演繹;數學應用——從數學回歸現實。即從現實世界中的紛繁現象抽象出數學問題，對數學問題進行邏輯推理或運算推理得出數學定律和方法，再運用數學方法和數學思維去建構和解決實際問題。六大數學核心素養中，數學抽象與直觀想象發展得是抽象的能力，邏輯推理與數學計算發展得是推理的能力，而數學建模和數據分析則是模型應用的能力。

一、昨夜西風凋碧樹.獨上高樓，望盡天涯路——抽象

“昨夜西風凋碧樹，獨上高樓，望盡天涯路”，講的是領悟。不管是讀書做學問，還是從紛繁的現實世界中抽象出數學問題，都需要領悟，需要從不同的事物、不同的問題中找到共性，然后把這種一般性的規律用數學化、符號化的方式歸納概括出來。

正如古老的美索不達米亞人最初是用陶罐封存記錄羊馬牛及其它生活用品的多少，不同的事物不同的標記，1頭牛和1只羊是完全不同的表示，后來人們慢慢發現前面的1不用變，只需要改變“牛”和“羊”的標記就可以了，“1”這個數字就抽象出來了，阿拉伯數字也由此萌芽。而這些聰明的先人們又觀測天象發明太陽歷，把1小時分成60分，以7天為一星期，六十進制和七進制就有了雛形。他們把圓分成360^o，會分數，會計算不規則多邊形的面積……這些數學元素都來自于他們居住的環境和日常生活所需，因此，從具體事物中抽象出數學，就是用數學的語言表達現實世界，就是要“獨上高樓，望盡天涯路”，將紛繁冗雜的枝節忽略，唯留下純粹的、簡潔的數學之美。數學的理性精神也就由此而生。

因此，在我們的數學教學中，要注重培養發展學生的幾何直觀和空間想象能力，把握事物的本質，以簡馭繁，運用數學抽象思考并解決問題，使學生具有直觀想象的意識感悟，數學抽象的思維方式，要有“獨上高樓，望盡天涯路”的高度和胸懷。

二、衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴——推理

“衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴”，講的是追求。領悟，還只是停留在表面上，若要尋求其中蘊含的規律，須得以靜下心來孜孜以求，沒有點鍥而不舍的追求精神是不足以成的。

說起數學，大家最熟悉的也許就是大量的數學計算和“玄之又玄”的邏輯推理了，而這兩者恰恰能培養學生養成嚴謹認真的科學態度、縝密清晰的思維精神、以及百折不撓的求真品質。古希臘大數學家歐幾里得在其巨著《幾何原本》中，以形式邏輯的方法，建立了一套從公理、定義出發，論證命題得到定理的論證方法，形成了一個嚴密的邏輯體系——幾何學。而其公理化體系論證思想對牛頓、笛卡爾、伽利略等科學家產生了巨大的影響，對西方科學技術的發展起到了強大的推動作用，就是最生動的證明。

《2017課程標準》指出：“通過高中數學課程的學習，學生能掌握邏輯推理的基本形式，學會有邏輯地思考問題;能夠在比較復雜的情境中把握事物之間的關聯，把握事物發展的脈絡，形成重論據、有條理、合乎邏輯的思維品質和理性精神，增強交流能力”;“通過高中數學課程的學習，學生能進一步發展數學運算能力;有效借助運算方法解決實際問題;通過運算促進數學思維發展，形成規范化思考問題的品質，養成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神”。

因此，在我們的數學教學中，要注重培養學生專注、條理、細心、求實的思維品質，要鼓勵他們面對邏輯性強、千頭萬緒的數學問題和計算量大、字母抽象的數學習題要不畏難、敢挑戰，要有“衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴”的執著意志。

三、眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處——應用

“眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處”，則是融會貫通階段。古人喜歡講“厚積而薄發”，沒有一定層次的知識積累，是無法創造出“驀然回首，驚覺那人”的境界的。

曾幾何時，“數學無用論”甚囂塵上，新高考的號角剛剛吹響，“讓數學滾出高考”又頻出網絡。何以如此？恰恰是因為不懂數學。數學之于大多數人仿佛“陽春白雪”，實則，數學恰恰是你我身邊“最熟悉的陌生人”，生活中的數學模型比比皆是：小到切菠蘿的學問，大到國慶閱兵方陣;從熱度不減的房市樓盤，到自然界中靜靜的花蕊綻放……，無一不是數學在做科學的支撐，無一不是數學在講述真善美的“故事”。中國古代第一部數學專著《九章算術》就是當時世界上最簡練有效的應用數學的典范。

《2017課程標準》指出：“數學建模是應用數學解決實際問題的基本手段，是推動數學發展的動力”，“數據分析是研究隨機現象的重要數學技術，是大數據時代數學應用的主要方法，也是‘互聯網+相關領域的主要數學方法，數據分析已經深入到科學、技術、工程和現代社會生活的各個方面”。

因此，在我們的數學教學中，就要注重培養學生“感悟數學與現實之間的關聯，提升獲取有價值信息并進行定量分析的意識和能力，適應數字化學習的需要，增強基于數據表達現實問題的意識，形成通過數據認識事物的思維品質，增強創新意識和科學精神”。要讓學生通過高中數學的學習，能夠有意識地對數學和現實進行融會貫通，在面對紛雜的社會現象和龐雜的數據的時候都能夠“驀然回首，驚覺數學就在身邊”。

于紛繁的萬物中抽象出數學的本源，于孜孜不倦的推理中玉汝于成，于積累經驗中提升應用的意識。此三境界，正是我們高中數學老師所需要領悟，需要追求，需要于數學教學中融會貫通的。