高等數學中三重積分計算中“截面法”使用注意問題

摘? 要：在高等數學三重積分的學習中會涉及到“方法的選擇”的問題，如何正確選擇方法關系到能不能解答出題目以及計算量的繁簡差異問題，需要深入分析研究。本文通過對高等數學中三重積分方法中截面法的闡述，強調選擇截面法解題既要遵循一般的規律也要靈活處理。

關鍵詞：高等數學;三重積分;截面法

高等數學三重積分的學習中會涉及到“方法的選擇”的問題，這是解決三重積分首先要明晰的問題，是高等數學教學中一個非常重要的內容，也是一個難點所在。首先要明確選擇哪種坐標系，然后采用不同的方法解決，方法選擇不合適會導致不能夠解出答案，以及計算的難易不同。一般情況下有“截面法”和“投影法”兩種不同方法的選擇，雖然投影法用得比較多，但是在某些特殊情況下用“截面法”更能簡化計算。如果題目滿足截面法的兩個條件，選擇截面法解題當然沒有問題，但是如果表面看起來并不滿足截面法的條件，也是可以采用截面法的，只是難度更大些而已，通過擴展例題我們可以幫助學生對截面法的使用有一個更加全面的認識。

一、三重積分的計算步驟：

（1）畫出積分域的圖形，知道邊界面的方程，從而明確出上下限;

（2）根據積分域特征及被積函數的特點，確定 是用切條法（投影法），還是用切片法（截面法）

（3）根據上述結果，化三重積分為累次積分并計算。

（4）一般情況下：投影法用得更多，某些特殊情況下截面法更簡便。

（5）什么時候用“截面法”方便：;且截面為圓、橢圓、三角形、正方形等，面積容易求，但是并不絕對。

二、關于不絕對的說明，就是按照符合“截面法”的兩個要求去使用截面法當然沒有問題，但是如果不具備“截面法”的兩個條件也是可以使用的，只是難度更大而已，下面舉例說明。

分析：①作圖：W是上半球體，它在xy面上的投影區域D_xy是單位圓x²+y²≦ 1.② 選法：切片法（截面法），都可用。③定限

分析：截面法做題一般要符合2個要點（先二后一，不需要知道三個上下限）;

1.通過過z點去截面可得知截面的形狀;從而知道面積該怎么算（一定要把D_z 的方程求出來）;

2.知道z的取值范圍，才能知道單積分的上下限。

解：截面法：

當0?z?1時，過（0，0，z）作平行于xOy面的平面，截得立體W的截面為圓。

分析：三重積分不一定非化為三重積分不可，也可以化為“先重后單”或者“先單后重”的形式來計算。

綜上：選擇投影法或者截面法既要遵循一般規律也要靈活應用。通過例題的分析講解，讓學生明確靈活處理問題的重要性，幫助學生解決選擇截面法這種方法的疑惑。

參考文獻

[1]? 同濟大學數學教研室主編.高等數學[M] .北京：高等教育出版社，1992.

[2]? 楊晉浩，張勇，羅釗.高等數學（上冊）[M] .北京：科學出版社，2010.

[3]? 羅釗，韓天勇，王偉鈞.高等數學（下冊）[M] .北京：科學出版社，2010.

作者簡介：吳文前，成都大學信息科學與工程學院副教授，碩士。研究方向：數學教育。