淺析運用參數分離法突破高考導數壓軸題

王瑞林

【摘要】在新課標的改革下，數學在基礎學科中的重要性越來越大，高考數學壓軸題一直是高考數學的重點。參數分離法在解導數題目時具有重大的作用，當需要求哪個未知數時，就對哪個參數進行分離。在解題的過程中，自變量的分類是解題的關鍵，只有確定了自變量，才可以進行相應的函數構造，進而再選擇相應的方法進行解題。基于此，本文對運用參數分離法突破高考導數壓軸題作了系列探討。

【關鍵詞】導數問題;參數分離;函數解題

在解導數壓軸題時，利用參數分離法，很好地節省了再次進行分類討論的麻煩，使解題步驟簡單化，使得題目得到順利解答。數學是高考中的重點學科，而導數則是數學的壓軸題，導數題往往能很好考察學生的應變和解題速度能力。其中涉及的數學知識點較廣，主要求解的問題有單調區間、最值以及恒成立的問題。筆者就高考導數壓軸題利用參數分離法進行分析，探索一條快速、合理、簡單的解題方法。

在求解導數題時，利用參數分離法，就是將導數中的變量分離出來，將其轉變為求解最值問題。但導數題中往往不僅只有一個變量，還存在多變量，所以需分類進行討論。比如例1：廣州市2020屆高三學生一模理科數學試題中的第21題（2）：

已知函數f（x）=（x-4）ex-3+x2-6x，g（x）=（a- ? ?）x-1-lnx.

（2）用max{m，n}表示m，n中的最大值，f（x）為f（x）的導函數。設函數h（x）=max{f（x），g（x）}，若h（x）≥0在（0，+∞）區間上恒成立，求a實數取值范圍。

（2）由（1）可知，當x∈[3，+∞）時，

f（x）≥0，因此要使h（x）≥0在區間（0，+∞）上恒成立，只需g（x）≥0在區間（0，3）上恒成立即可。因為g（x）≥0 ? （a- ? ）x-1

-lnx≥0.以下給出參數進行分離的解題思路：因為x≥0，所以（a- ? ）x-1-lnx≥0在區間（0，3）上恒成立，轉化為a≥

+ ? ，這里就用到分離參數法，把要求的a分離出來，接下來利用構造函數方法令m（x）

+ ? ? 通過求導求極值方法求得m（x）的極大值 ? ?，則實數a的取值范圍為[ ? ? ，+∞）。

對于這類雙變量的導數題目，解題思路如果去分類討論就比較繁雜。高中生對數學的知識理解有限，無法在短時間內進行解答，所以多數情況下要采取特殊方法進行解答，如利用不等式的優點，將導數中的參數分離后進行消除，再進行求解。

又如例2：鄭州市2020屆高三學生一模理科數學中的第21題：

已知函數f（x）=x-lnx- ? ? ?.

（I）略;（II）若f（x）+（x+ ? ）ex-bx≥1恒成立，求實數b的取值范圍。在這道題中的第（II）小題，我們可以采用參數分離法進行求解，解題如下：

導數題多半都涉及到單調性的問題，解決導數單調性的問題涉及導函數零點問題進而解決極值問題。零點問題的一種重點難點是隱零點問題，具體我們再來分析一下。2020年普通高等學校招生全國統一考試（猜想卷）理科數學中的第21題：已知函數f（ x ）=2x2e2x+lnx（x﹥0）.

（ I ）略;（ II ）若對任意x∈（0，+∞），e2x-a- ? ? ≥ ? ?恒成立，求實數a的取值范圍.

第（ II ）小題中，可采用參數分離法進行解題，過程如下：對任意x∈（0，+∞）， e2x-a- ? ? ≥ ? ?恒成立，等價a≤

在解答這類題目時，零點設而不求，而根據參數的需要，代入函數再消去即可得出正確的答案。

高考的壓軸題已經變成數學高分的一個重要分水嶺，加強高中生解決含參數的導數題顯得極為重要。就像剛剛過去2020高考數學壓軸題就是有關含參數的導數題，命題人主要想考察高中生分類討論的意識以及能力，通常利用函數作為載體，搭載含參數的導數，將分類討論的思想充分體現。在解含參數的導數題時，先運用分離參數法將參數與變量進行分離，然后轉化為求最值的問題進行討論，才能把握解題的關鍵。

參考文獻：

[1] 吳統勝. 例談含參數型函數導數壓軸題的一般性解題策略[J].中學數學研究， 2018（4）： 15-20.

[2] 吳統勝，楊豫暉. 例談構造函數法破解高考函數導數壓軸題[J].中學數學研究， 2018.