數學閱讀理念與中學數學課程體系建設

文圖_王耀楊

在北大附中工作的這十年，王耀楊一直在探索基于數學閱讀理念的初高中一體化數學課程建設。作為一名以數學教師為業的數學愛好者，談及開發這門課程的初衷，王耀楊認為很大程度上與自己的成長歷程密不可分。也許多年后，當年的學習者早已忘記具體的成績，但王老師希望每一位和他學習數學的人都能留下“我感覺自己還挺行的”心理體驗。

王耀楊：北大附中數學教師，第五屆全人教育獎獲得者

引言：以“數學閱讀”視角理解學生學習數學過程的嘗試

我在北京大學附屬中學工作了十年，一共帶了兩屆學生，每一屆都是從初一帶到高二（我校高三年級是與其他部門相對隔離的獨立部門）。在這十年里，我的主要任務是建設一門初高中一體化的數學課程。這期間始終縈繞在我腦海中的問題是：在一個少年人努力學習數學的過程中，他的內心世界實際上都經歷了什么？很大程度上，我的各方面嘗試和思考都是圍繞這個問題展開的。

“數學閱讀”是我在努力理解學習者內心體驗的嘗試中逐漸選擇的一種視角。簡單講，“數學閱讀”就是一個數學學習者應對數學文本的過程。它并不是什么新鮮概念，但卻很有可能是理解學習者內在體驗的一個絕佳視角。

舉例而言，初學數學之人往往習慣于在課堂上聽教師講授，隨著年級增高則逐漸可以自己閱讀教材來學習。究其根源，數學文本是以特別注重精確性的專門語言來書寫的，并且在書寫時格外看重說理的價值。初學者要適應這種與日常語言迥然不同的新語言，特別是要將其中價值內化為自身的主動追求，是一定要狠狠花番功夫的。而掌握之后，便可以獨立應對數學文本，我們說某人“在數學方面有自學能力”，就是這個意思。

又如，初學數學之人在遇到“難題”時，往往會有一籌莫展之感，而通常所說解題水平較高之人，則總可以利用已有知識從特定條件切入問題，進行某些有意義的探索。這樣的探索未必總能到達終點，但確實常常可以實現有價值的推進。從“應對數學文本”的角度講，具有較好解題能力的人實際上是熟悉數學語言表達的各種常見條件的含義，因而能夠在頭腦中將它們與自身所掌握知識建立聯系，在此基礎上找到探索的切入點。

再如，有時我們遇到一個困難的數學問題，怎么想也想不出，只好翻開答案來讀，這時差異就出現了：有人看了答案后便逐漸理解了其中的方法，有人卻一頭霧水不知所云。其實這個差異還是在于數學閱讀能力：答案是用數學語言書寫的，而不能正確掌握數學語言的人，看到的依舊是“天書”。

更進一步，有時在媒體上看到：當我們還在日常學習的題目中掙扎時，“別人家孩子”都已經自己查閱數學文獻，甚至已經能夠完成論文習作！人和人相比，差別怎么就這么大呢？其實，對于一個研究者來說，閱讀文獻的過程仍然是“應對數學文本”，目標也仍然是理解其中的方法，特別是與自身原有知識系統內化為一個整體；在這個意義上說，與我們自己讀數學教材學知識的過程并沒有太大不同。

概括起來，以“數學閱讀”的視角來理解學習者的內在體驗，包括以下兩個要點：

1. 數學文本是以專門的數學語言來書寫的，這種語言有自己獨特的形式、結構特別是價值。

2. 學生的數學學習過程，無論是學習新知、完成習題、挑戰難題還是自主探索，都可以從“獨立應對數學文本”的角度來理解。

基于上述分析，我在進行教學設計時要面對的第一個難題就是：如何幫助學習者掌握數學語言？

粗略地講，我嘗試將初一到高二這五年劃分成四個部分：初中入門、初中進階、高中入門和高中進階。其中，入門階段大致上對應第一年，主要任務是幫助學習者掌握數學語言，而到了進階時段，則可以嘗試引領學習者進行相對自由和多元的探索。下面我就分階段介紹一下自己以往的一些探索性的努力。

在日常學習中，最基本的數學文本就是數學教材，學習者可以通過自己讀教材來學習新內容，圖源_網絡

一、如何引領初一學生進入“數學閱讀”的大門？

從發展心理學角度講，七年級新生正處于自主意識日益增強的階段，“擁有獨立應對文本的能力”對于這個年齡段的學習者來說天然具有不可抗拒的誘惑性。當然，進行教學設計時還要注意方法，特別是要循序漸進。

第一步是激發學習者的興趣，使其覺得“掌握這門新語言”是一件既重要又有趣的事情，同時還有一定的挑戰性。在日常課堂教學中，這樣的活動幾乎隨處可見。例如，在介紹有理數乘法的符號規則時，為了說明“負負得正”的自然性，有的教材會以沿直線爬行的小蟲為例加以解釋：向右和左爬行所對應的速度分別是正數和負數，“此后”和“此前”所對應的時間也可分別對應于正數和負數。于是，當小蟲向左爬行時，此前某時刻的位置就可以用兩個負數的乘法表示出來，其結果當然是正數。在課堂上，可以專門拿出一點時間邀請所有學生一起讀教材這一段，接著請同座位兩人互相為對方解釋，再互相點評一下，看看誰的說法更能得其要領。這個活動的目的是雙重的：一是幫助學習者意識到自己可以通過讀教材來學習新內容，二是分享一個判斷理解水平的標準——能夠給別人解釋清楚，說明自己理解得還不錯。

類似的活動還有很多，比如請一位同學通過口頭描述向另外幾位同學講解某個圖形，接著對比不同人畫出的圖形；還可以請其他同學點評該同學的講解語言，討論并加以改進。這個活動的意義在于幫助學習者在親自駕馭新語言時意識到，數學中的文字語言與圖形語言之間的相互轉化實際上是非常精確的。初學者常犯的“沒看清條件”錯誤，實質上很可能是沒有意識到這門新語言的特點，或者說沒有掌握閱讀該語言的基本方法。

在學情允許的前提下，還可以通過擴大閱讀范圍來激發學習者的熱情。一般來說，我推薦采取學習者分享的方式。具體地講，可以開展類似“讀書節”之類的活動，請每位學生分享自己喜歡的一本課外讀物，特別是根據個人閱讀體會制作一份推介材料，以圖文結合（還可包含實例）的方式向他人介紹這本書的美妙之處。在活動的過程中，教師可以根據個體的實際情況給出針對性指引，引導不同個體通向“感受數學語言的獨特魅力”這一共同目標。

第二步相對困難些，是努力與初學者分享數學文本的價值傾向，即看重說理。事實上，我們可以把這一價值傾向看成是界定“數學文本”的標準。眾所周知，數學書的最常見任務是討論數學命題，但這種討論遠不止于確認其對錯，而是嘗試將這些看似彼此孤立的東西用邏輯聯系成網狀結構，使學習者在最終建立總體理解之后感受到一種特有的理性之美。這樣的價值導向其實是貫徹數學學習始終的。比如，從前有人創作過名叫《長方形過生日》的漫畫：長方形過生日時，平行四邊形、梯形、三角形甚至圓都來祝壽，原來它們都可以通過圖形割補轉化為長方形進而求得面積。其中的知識每個小學高年級學生都能看懂，但是其背后的思想，卻是數學中最核心也最優美的東西。

這樣的例子在初中數學中更是不少。例如在學習平行線時，短短2頁篇幅中就出現了關于平行公理、平行的性質和判定等共8個命題；實際上，它們之間可以形成一個與前述面積研究類似的網狀結構，并且該結構的大部分細節都是初學者可以理解的。

幾年前，我本人在教學實踐中還“勇敢”地嘗試把這種價值以更豐富的形式呈現出來。記得在一次課上，有學生指出我對于“曲折”這個詞中的“曲”讀音錯誤，我當時并未給出明確結論，而是建議大家課后檢索工具書，判斷這個多音字的各個義項與讀音之間的聯系。原來，在標準的文字學工具書中，這個字至少有十幾個義項，但是通常以“彎曲”作為其本意且讀作陰平聲，而其他義項則是由此衍生而來。至于讀作上聲表示“樂曲”的那個義項，則是因為樂曲悠揚婉轉而自本義衍生而來。這樣一番整理，我們可以模仿前面整理常見圖形面積公式那樣，將“曲”字的義項與讀音變化整理成樹狀結構，并在其中看到漢字發展演變的脈絡。對于七年級學生來說，在查閱漢字工具書時感受到與學習數學時類似的美學體驗，大概會是一種極為難忘的成長經歷吧。

圖源_網絡

分享價值無疑是困難的，但是一旦堅持并形成一種獨特的“氣場”，學生就會更積極地歡迎數學文本帶來的挑戰，主動將其中的知識按照個人方式內化，進而建立自己的知識系統。

二、初中數學閱讀的進階活動

所謂的“進階”，其實仍然要從日常課堂學習出發，原則上希望每個學習者都能在活動中獲得應有的體驗和提升。

在日常學習中，最基本的數學文本就是數學教材。基于教材中原有的內容，我們可以引導學生通過自主閱讀來進行探索。在閱讀和探索之間的橋梁，就是教師提供的引導性問題。學習者通過這些問題檢驗自主閱讀的效果，再基于這些問題進行拓展探索。比如，某版本的七年級數學教材在某章后附閱讀材料中介紹了“為什么0.999……＝1？”這樣一個趣味主題。這個問題在純數學具有一定的理論意義，卻未必適合初學者深入探討；對于七年級學習者，它可能更適合推廣為一個算法，將一般的無限循環小數轉化為分數形式。為此，我設計了一系列與此相關但有遞進層次的問題，在給學生較為充分的閱讀與思考時間之后，將問題一攬子拋給大家，請每個人結合自己的理解和興趣選擇問題來探索。這次嘗試的回報是豐厚的：大多數學生基于我的引導補全了原文中計算過程的主要說理細節，并將其推廣為一般的轉化算法；少數同學對于這個問題的理論價值進行了相關拓展閱讀，并結合個人體會書寫了閱讀摘要；個別同學則提出了新的實例，并將無限求和問題與尺規作圖近似問題聯系起來，給出了一些新的有趣的結果。后來，我將其中一篇習作推薦給面向高中生的數學小論文比賽，這位八年級學生獲得了二等獎。

對于水平相對高一些的學生，可以試著將日常學習內容的某些推廣結果作為探索課題。例如，八年級學生在課堂上會學習三角形的全等判定定理，特別是體驗定理從提出到證明的思維過程。在此基礎上，“四邊形的全等判定”就是一個不錯的探索問題。學業水平較高的學生可以類比三角形的研究思路，通過畫圖提出猜想，再通過類比給出完整的證明。其中最有熱情的一些個體可能會嘗試建立一個“完備”的判定系統，這就有一定的難度，或者對于這些個體而言，就相當有樂趣了。

這里我分享一種設計數學閱讀進階活動的方法：書寫閱讀探究材料?？傮w上講，適合初中生進行自主閱讀進而展開探索的數學文本是很少的，盡管市面上可以找到很多與日常數學學習內容相關的普及型讀物，但是要用來承載有明確教學目標的課堂活動，它們還是遠遠不夠的。另一方面，基于中學數學課堂內容而可以生長出的探索性問題卻是相對豐富的，即使是對于并未掌握很多數學知識的初中生，情況也還是如此。因此，一位有野心的數學教師可以考慮根據自己學生的實際情況，合理選擇探索主題并書寫相應的數學閱讀探究材料。

王耀楊老師在課堂上

比如，在從古典天文學到現代制造業的很多領域中都會出現“尋找有理近似值”的問題，而基于連分數的計算則是處理該問題的典型方法。為此，我們可以在文字材料中介紹相關的背景問題和連分數計算方法，接著設計一系列問題，引導學生探索計算原理、相關應用以及連分數的某些理論問題。再如，教材上通常會建議初學幾何的學生動手制作紙盒子，感受平面展開圖與立體結構之間的聯系；也許有人會覺得這個活動不夠“高大上”，那我們就把它改造一下！我曾經寫過這樣一份閱讀材料，第一部分是請讀者結合某種盒子的立體結構與平面展開圖，分析二者之間的聯系，這部分相當于是教材內容的細化；第二部分則是介紹一些形制奇特的紙盒子的局部設計，請讀者分析其設計思路；第三部分提出“如何將不同局部組合”的問題，并請讀者在已有研究基礎上通過重組和改造來提出新的設計。學生要提交的“作業”不僅包括一份閱讀研究報告，還有具體的設計圖和親手制作的實物。

如前所述，這里所說的“進階”并不是刻意追求高深或者困難，而是希望幫助每位學習者感受到數學知識自身固有的生長性，在此基礎上體驗自主性。無論是對教材內容的挖掘與改造，還是不憚于“空中樓閣”嫌疑的書寫閱讀材料，根本目的都是為了幫助學生。

三、如何重新認識數學語言的魅力？

不可否認的是，高中階段的學業壓力比初中可不是大上一點半點，無論是學習內容的數量還是難點的艱澀程度，都有顯著的提高。而正如本文一開始就明確分析過的，這些學業活動都可以從數學閱讀的視角來加以理解?；蛘吒卑椎刂v，正因為學生有困難，正因為我希望幫助他們，所以我更要把數學閱讀的教學理念做到位。

要實現這一目標，根本還是幫助學生掌握數學語言。如果說初中階段承載所學內容的語言至少在形式上與日常用語還比較相近的話，那么高中數學的語言已經完全呈現出一副冷峻的面貌，令初學者望而生畏，心生退意。然而這副面貌其實是一種假象，如果學習者能夠定下心神好好品味一番其中滋味，原本是可以逐步渡過這一難關的。舉例而言，說到“增函數”這個詞，相信絕大多數人的腦海中都會浮現出一條逐漸升高的曲線，也就是一個增函數的圖象；但是如果追問它的定義，想來不會有幾個人還能記得。甚至于大多數人腦海中倒是要泛起一些不愉快的回憶，只因當年在不怎么理解這個定義的情況下強行“應用它解決問題”的體驗，實在是不那么美好。但是，這個看似“生人勿進”的定義，實際上是從前面那個直觀圖象的樸素感覺中自然生長出來的，換句話說，只要我們每個人肯多花一點時間去感受這個逐漸生成的過程，不僅能更好地掌握解題技能，更可以享受美好得多的學習體驗，進而在數學學習中擁有更多的成就感。

如果數學語言看起來不是那么陌生，是不是就會顯得親切了一些？有時也未必。比如，“若A則B”這句話表示A可以推出B，這個表述看起來與我們日常生活用語差別不是很大。實際上，我們還是應該強調它作為“理論模型”的意義，也就是說，將它作為基本工具去理解其他的內容。比如，我們的日常表述“只要A就會B”意味著A能推出B，而“只有A才能B”則意味著B推出A（當我們看到B發生時，由“只有”可以判斷出A一定發生了，因此是由B推出A）。這個在日常語言中主要靠經驗和感覺來解釋的問題，在這一數學語言中獲得了明確的區分。在此基礎上，“A當且僅當B”的含義是“當B成立時A成立”并且“只有B成立時A才成立”，也就是A能夠推出B并且B能夠推出A。也就是說，幾種形式上似乎沒有顯著關聯的表述實際上都是由“若A則B”這個基本元件變化和組合而得到的。在這里，我們又一次看到了結構的美感：一些看似彼此無關的事情，依靠邏輯聯系形成了整體結構，這樣的審美體驗是無與倫比的。

對于我來說，幫助高一學習者的重點在于盡力幫助其理解和掌握高中數學的語言。在這個過程中，強調“數學語言是一種不同于日常用語的新語言”始終是重要的，但是在強調的同時，也應努力幫助每個學習者感受“這種新語言是在各種具體情境中逐漸生成的”，特別是盡量幫助學習者感受進而理解這一生成過程的自然性。

四、高中數學閱讀的進階活動

和初中生相比，高中生已有的知識基礎和心智水平的整體發展決定了可選閱讀材料變得更為豐富；與之相應地，個體差異問題也越來越凸顯分明。在前面的分析中，我把“幫助學生重新認識數學語言的魅力”作為頭等要緊的任務。事實上，這個任務對于很多學生來說，可能要持續非常久，甚至貫穿了整個高中階段。或者說，將高中數學學習過程中的數學閱讀側面分成“入門”和“進階”兩個時段，其實是一個過于簡化的模型；它們似乎更像是彼此糾纏和協同發展的兩個部分。

因此，在為高中生選擇合適的數學閱讀材料時，更應著重考慮多元性。

從我個人的實踐體驗來看，相對有較廣大受眾的材料不妨稱為“數學與文化”類讀物。這類讀物往往具有以下特點：通常沿著歷史脈絡講述以便讀者能夠從人類文明史的背景中理解數學的發展歷程，并非依照數學知識點來講解而是基于背景問題自然地引發數學問題，以及最友好的特征是，即便跳過某些較困難的數學細節也不會明顯影響閱讀。需要說明的是，其實很多讀者在閱讀這類文本時往往是以“不數學的方式”來閱讀的，不僅跳過了很多細節，也完全沒有把握到說理線索。為了引導讀者，可以提供一些閱讀方法指導，例如建議讀者按照某種方式書寫閱讀報告。當然，對于更廣大的群體來說，即使是以“不數學的方式”來閱讀，終究也是保持通向“數學閱讀”的一扇門開啟著。

對于原本就對數學興趣十足的學習者，多元性也是重要的。比如，熱衷于競賽數學和癡迷于高等數學的學習者通常會對不同類型的拓展讀物感興趣，而具有科研探索潛質的學習者，則可以接觸內容和難度合適的論文，國內外面向中學生研究的期刊和相應的文章都有不少。對于特定的拓展主題，書寫專門的閱讀探究材料也仍然是一種有意義的選擇。

在很大程度上講，選擇以數學閱讀為核心理念來建設數學課程，與我個人的成長歷程密不可分。我心目中最理想的情況是：也許在很多年后的某一天，那些曾經跟隨我學習數學的學習者在回想起自己少年時的學習經歷時，并不記得自己當年的具體成績，但是內心深處留下的心理體驗是“我感覺自己還挺行的”。我希望每一位曾經和我學習數學的人都能感到自己“挺行的”，或許，那就是我作為數學教師的最大成就了吧。