以變式驅動“策略”學習

王雨卿　周艷

摘要：變式教學是中國數學教育的傳統與特色。過程性變式特別適用于“問題解決”的教學。教學蘇教版小學數學四年級下冊《解決問題的策略——畫圖》第二課時，以教材例題的“花圃改建”情境為背景，創設了一系列變式問題，引導學生有意義、有意思地學習畫圖策略：變“簡單的”為“復雜的”，激發畫圖需要;變“恰好的”為“缺失的”，強化畫圖體驗;變“矩形圖”為“點子圖”，感悟數學思想。

關鍵詞：解決問題的策略;變式教學;畫圖

“解決問題的策略”教學，應該注意激發學生對策略的需求（避免對學生的“硬性灌輸”），引導學生經歷策略的形成過程（“再發現”和“再創造”），準確把握策略的基本特征，不斷體悟策略的應用價值，進而從解決一些問題到解決更多問題（舉一反三），學會數學地思維。

提到“舉一反三”，很多人會想到“變式”。所謂“變式”，是指教師有目的、有計劃地對命題進行合理的轉化（變換命題的非本質特征，如改變描述形式、置換條件和結論、更改所處情境等）。可以說，變式教學（運用變式進行教學）一直以來就是中國數學教育的傳統與特色。

顧泠沅教授將變式分為概念性變式和過程性變式。概念性變式在教學中的主要作用是使學生獲得對概念的多角度理解。過程性變式的主要教學含義是在教學活動中，基于學生的“最近發展區”搭建適當的“腳手架”，通過從舊到新、由淺入深地創設并推進既有聯系又有變化的問題情境（包括一題多變、一題多解、一法多用等），使學生分步解決問題，克服思維定式，積累多種活動經驗，不斷鞏固已有認知，整合、擴充認知結構，從而感悟、提煉“變中不變”的數學本質和數學思想。可見，過程性變式特別適用于“問題解決”的教學——為解題化歸鋪設臺階。

蘇教版小學數學四年級下冊《解決問題的策略——畫圖》第二課時教學，基于學生平時已經對畫圖理解題意比較熟悉，而且第一課時已經學習了“畫線段圖”的學情，筆者以教材例題的“花圃改建”情境為背景，創設了一系列變式問題，引導學生有意義、有意思地學習畫圖策略。

一、變“簡單的”為“復雜的”，激發畫圖需要

師 學校有一個長6米、寬4米的長方形花圃，你能想到什么？

生 我能想到，這個長方形的面積是6×4=24（平方米）。

生 周長是（6+4）×2=20（米）。

師 學校附近的多多花園有一塊長方形花圃，我們來看看這個花圃的情況。

（課件出示問題：“多多花園有一塊長方形花圃，長為8米。如果長增加3米，面積就增加18平方米。原來花圃的面積是多少平方米？”）

師 根據已知的信息，你還能一下子求出原來花圃的面積嗎？

（學生遲疑，搖頭。）

師 花圃不是長方形嗎？剛才，長方形的面積不是一下子就算出來了嗎？現在，怎么不能立刻算出來了呢？

生 因為不知道寬的長度。

師 條件變復雜了，怎么辦？

生 可以畫圖。

師 把文字變換成圖形來呈現條件和問題，這是一種好想法。你能試著畫一畫嗎？

（學生畫圖后，教師請一位學生展示。）

生 （展示圖1）畫一個長方形表示原來的花圃。

師 嗯。長為8米，寬未知，面積也未知。那你怎樣理解“長增加3米”？

生 （同步在圖1上比畫）一條長朝這個方向增加3米，另一條長也朝這個方向增加3米。

師 嗯。隨著長增加3米，我們得到了一個更大的長方形。現在，你能看著圖再說說增加的18平方米是哪一部分嗎？

（學生指著圖說明。）

師 現在，你有解題思路了嗎？

生 18÷3=6（米），就是原來花圃的寬。

師 （稍停）這么確定？

生 （迫不及待，同步在圖1上比畫）18÷3得到的6米，就是這條邊的長度，這不就是花圃的寬嗎？所以，用8×6就可以算出原來花圃的面積。

師 大家都從圖中看出這個關系了嗎？

（學生點頭示意。）

師 你覺得這樣一幅示意圖對解決問題有什么幫助？

生 我覺得畫了圖，看起來很簡單、清楚。

生 原來看著稀里糊涂的條件，畫了圖，就明白了里面的關系。

師 好，讓我們繼續想象。長方形花圃，長為8米，如果長增加4米，面積就增加24平方米。你能想到——

（學生發愣。）

師 （出示動圖）看了圖，你能想到什么嗎？

生 我能知道這個小長方形的長是24÷4=6（米），也就是原來長方形的寬。

師 繼續。長增加6米，面積增加36平方米。你能想到什么？

生 原來長方形的寬是6米。

（教師出示圖形，學生比對判斷。）

師 看來大家已經把圖畫在腦子里了。繼續。長增加10米，面積增加60平方米。

生 原來長方形的寬還是6米，用60÷10。

師 （出示圖形）你們真厲害！

生 我在腦子里把圖形想象了一下。

生 我發現長增加、寬不變的時候，只要把增加的面積除以增加的長，得到的就是原來長方形的寬。

師 不僅能靈活運用畫圖策略，還能總結變化規律，了不起！

這里，教師沒有直接出示教材例題，讓學生“先畫圖，再解答”，而是先呈現一道簡單的題目，讓學生不畫圖也能算出面積，再呈現相對復雜的教材例題，讓學生不畫圖就算不出面積，從而引發學生的認知沖突，激發學生對畫圖策略的需求。借助已有經驗，學生主動嘗試畫出示意圖;經過教師引導，學生體會到畫圖時要完善地表達條件和問題;通過問題解決，學生充分感受到畫圖有助于理解題意，發現解題思路。然后，教師保持教材例題中“寬不變”的條件，變化“長增加”的數據，幫助學生即時鞏固，進一步體驗畫圖策略的應用價值。

二、變“恰好的”為“缺失的”，強化畫圖體驗

師 花圃的長增加，寬不變，花圃的面積發生了變化。如果你是花圃設計師，想一想：花圃還能怎么變？可以手勢比畫一下。

生 長不變，寬增加。

生 我想把長、寬都增加。

師 這么變，長方形的面積變大了。

生 我想把長減少，寬不變。

師 這么變，長方形的面積——

生 （齊）變小了。

師 你們打開了一扇想象的窗戶。（課件出示問題：“一個長方形花圃，寬減少2米，面積就減少16平方米。原來花圃的面積是多少平方米？”）現在這個花圃呢？你能獨立解決這個數學問題嗎？

生 能！

師 那么，試著來求一求吧。

（學生嘗試，教師巡視。）

師 怎么停下來不寫了？

生 長不知道，不能求。

生 寬不知道。

師 有爭論了。小組討論一下，看看這道題出了什么問題。

（學生討論。）

生 （畫出圖形）長是16÷2=8（米），寬不知道。

師 看來需要補充條件。你打算怎樣補充？

生 寬6米。

師 面積是——

生 48平方米。

師 直截了當！還有呢？

生 寬是長的一半。那么，寬就是4米，面積是32平方米。

師 補充了寬和長的關系，有創意！如果長與寬相等呢？

生 8×8=64（平方米）。

師 這是個正方形。我們可以這樣表述它邊長的變化：正方形一組對邊減少2米，面積就減少16平方米。

這里，教師基于“花圃改建”情境，引導學生激發想象，克服思維定式，從“長增加”的問題變化到“寬減少”的問題;并且，有意識地把條件“恰好”的問題變化為條件“缺失”的問題，引起學生的解題爭議。這再次“逼著”學生主動運用畫圖策略，利用直觀的圖形表示抽象的文字，從而找到問題癥結所在，意識到“雖未見長卻有長，雖有見寬卻無寬”，由此該算的算，該補的補。變而有度，變而可攀，有效強化了學生對畫圖策略的體驗。

三、變“矩形圖”為“點子圖”，滲透數學思想

師 多多花園的花圃改建基本到位了，園長特地安排了慶祝活動，請來了小丑和樂隊表演節目。表演時，他們這樣設計隊形：排成5行、每行5人的方隊，小丑在最外圈，其余都是樂隊人員。你能算出有多少位小丑嗎？樂隊人員呢？（稍停）能一下子回答出來嗎？

生 有點想不清楚。

師 那怎么辦？

生 可以畫圖。

（學生畫圖，教師巡視。）

師 （展示學生作品，如圖2—圖6）比較一下，哪一種示意圖更簡潔、清楚？

生 點子圖。

師 （指圖6）你們知道這位同學為什么要用20-4嗎？

生 因為四個角上的人多算了一次。

生 老師，我發現從圖中可以直接看出樂隊表演人數是3×3=9（人），然后用總人數5×5=25，減去9，就得到小丑人數是16人。這樣反過來做比較容易。

師 是的，根據點子圖，我們可以更快地列出算式。從上節課的線段圖到今天的這幾種示意圖，可見問題情境不同，我們選擇的圖形有時也不同。

這里，教師把“花圃改建”情境變為“慶祝活動”情境，把面積問題變為人數問題，引導學生把“矩形圖”變為“方格圖”“圓圈圖”“點子圖”，從而感悟畫圖策略，體會其中的數學思想，進而養成靈活選擇策略的意識。由此，策略成了思想的雛形，成了數學思想的有力支撐。

參考文獻：

[1] 張奠宙，于波.數學教育的“中國道路”[M].上海：上海教育出版社，2013.