基于“三個(gè)理解”，踐行“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)”

摘要：《一次函數(shù)與方程、不等式（1）》一課教學(xué)，設(shè)計(jì)了四個(gè)環(huán)節(jié)：復(fù)習(xí)舊知，引出新知;從函數(shù)角度解釋“解一元一次方程”;從函數(shù)角度解釋“解一元一次不等式”;課堂小結(jié)，布置練習(xí)。回顧該課的打磨歷程，雖然聚焦在板書的不斷調(diào)整優(yōu)化上，但是，教學(xué)立意卻是基于“三個(gè)理解”，踐行“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)”的理念——理解數(shù)學(xué)：厘清函數(shù)對(duì)方程、不等式的統(tǒng)領(lǐng)作用;理解學(xué)生：在研判學(xué)情的基礎(chǔ)上選編問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)程;理解教學(xué)：根據(jù)學(xué)程中學(xué)生的表現(xiàn)相機(jī)引導(dǎo)與追問(wèn)。

關(guān)鍵詞：“三個(gè)理解”;問(wèn)題驅(qū)動(dòng);《一次函數(shù)與方程、不等式（1）》

最近，筆者開設(shè)了一節(jié)公開課——人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)《19.3.2一次函數(shù)與方程、不等式（1）》，取得了較好的教學(xué)效果。課后回顧該課的打磨歷程，雖然聚焦在板書的不斷調(diào)整優(yōu)化上，但是，教學(xué)立意卻是基于“三個(gè)理解”（章建躍博士語(yǔ)，即理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)），踐行“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)”的理念。本文先給出該課的教學(xué)設(shè)計(jì)，再對(duì)教學(xué)立意做進(jìn)一步闡釋，來(lái)分享課例，以資研討。

一、教學(xué)設(shè)計(jì)

課前寫好板書：主板區(qū)，是如圖1所示的留白式板書;副板區(qū)，畫出幾個(gè)平面直角坐標(biāo)系以備學(xué)生上臺(tái)展示時(shí)使用。需要指出的是，課前準(zhǔn)備的板書內(nèi)容并不涉及本課新學(xué)內(nèi)容的“劇透”，只是為了節(jié)約正式上課之后的教學(xué)時(shí)間。

具體教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)如下：

（一）復(fù)習(xí)舊知，引出新知

問(wèn)題1如何從函數(shù)的角度研究代數(shù)式x+1？

師 最近，同學(xué)們剛學(xué)習(xí)了一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，也會(huì)利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式。這節(jié)課將繼續(xù)研究一次函數(shù)，并從一次函數(shù)的角度解釋以前的一些數(shù)學(xué)概念，如方程、不等式等。讓我們從進(jìn)入初中以來(lái)所學(xué)的一些數(shù)學(xué)概念說(shuō)起。比如，老師寫在黑板上的字母x可以表示一個(gè)數(shù)，而x+1則表示比它大1的數(shù)。如果給出x+1的值為0，就得到一個(gè)方程x+1=0（寫在主板區(qū)相應(yīng)位置），請(qǐng)你說(shuō)出它的解（x=-1）。如果告訴你x+1是一個(gè)正數(shù)，則可得到一個(gè)不等式x+1>0（繼續(xù)寫在主板區(qū)），請(qǐng)你說(shuō)出它的解集（x>-1）。若我們把x+1看成是關(guān)于x的函數(shù)y，則y=x+1（同時(shí)寫在主板區(qū)的“y=kx+b”的下方，讓學(xué)生感受特殊與一般的關(guān)系），請(qǐng)一位同學(xué)上臺(tái)畫出一次函數(shù)y=x+1的圖像，并從函數(shù)的角度分別說(shuō)說(shuō)“解一元一次方程x+1=0”和“解不等式x+1>0”之間的聯(lián)系。

在學(xué)生畫圖后的講解過(guò)程中，教師采集、優(yōu)化、完善，并板書補(bǔ)全本課學(xué)習(xí)的課題。此時(shí)，主板區(qū)的板書如圖2所示。

（二）從函數(shù)角度解釋“解一元一次方程”

問(wèn)題2下面3個(gè)方程有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)？你能從函數(shù)的角度對(duì)解這3個(gè)方程進(jìn)行解釋嗎？

（1）2x+1=3;（2）2x+1=0;（3）2x+1=-1。

安排學(xué)生先獨(dú)立思考，再同桌或小組交流，然后選代表上臺(tái)講解。在學(xué)生講解的過(guò)程中，注意做好追問(wèn)。比如，有些優(yōu)秀學(xué)生可能會(huì)說(shuō)得太快，或思路展開不充分，或不能從“形”的角度對(duì)3個(gè)方程的解進(jìn)行形象生動(dòng)的解釋。這時(shí)，要注意繼續(xù)追問(wèn)其他學(xué)生的理解，可以使用提示語(yǔ)“從講解來(lái)看，你應(yīng)該是理解了這個(gè)問(wèn)題，但老師覺(jué)得解釋得還不太‘形象生動(dòng)，誰(shuí)愿意再分享一下你的解釋”等。在多名學(xué)生上臺(tái)講解后，在副板區(qū)的平面直角坐標(biāo)系中根據(jù)學(xué)生的講解板書（如圖3所示）。

（三）從函數(shù)角度解釋“解一元一次不等式”

問(wèn)題3下面3個(gè)不等式有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)？你能從函數(shù)的角度對(duì)解這3個(gè)不等式進(jìn)行解釋嗎？

（1）-1/3x+1>2;（2）-13x+1<0;（3）-13x+1≤-1。

與問(wèn)題2的教學(xué)組織類似，經(jīng)歷學(xué)生獨(dú)立思考、小組交流、全班展示，教師參與優(yōu)化、完善之后，副板區(qū)的板書如圖4所示。

（四）課堂小結(jié)，布置練習(xí)

小結(jié)本課內(nèi)容，主要是從“特殊走向一般”，梳理直線y=kx+b與直線y=n相交后對(duì)應(yīng)的方程或不等式的解或解集，結(jié)合圖像進(jìn)行解釋和理解，并進(jìn)一步揭示、補(bǔ)全本課研究的標(biāo)題，引領(lǐng)學(xué)生展望后續(xù)還將研究的“一次函數(shù)與二元一次方程組”。整理、完善后的主板區(qū)板書如圖5所示。

如果班級(jí)學(xué)情較好，教學(xué)時(shí)間充裕，可繼續(xù)進(jìn)行以下變式題組的鞏固訓(xùn)練：

1.在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中畫出函數(shù)y=2x+1和y=-13x+1的圖像，并結(jié)合圖像指出不等式0<-13x+1<2x+1的解集。

2.在同一平面直角坐標(biāo)系xOy中畫出函數(shù)y=2x+1和y=-13x+1的圖像，并結(jié)合圖像指出不等式0<2x+1<-13x+1的解集。

3.平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=-12x+3的圖像與x軸、y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)M（m，m-2）恰在△AOB的內(nèi)部（不包括邊上），結(jié)合圖像指出m的取值范圍。

二、立意闡釋

（一）理解數(shù)學(xué)：厘清函數(shù)對(duì)方程、不等式的統(tǒng)領(lǐng)作用

本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容是從一次函數(shù)的角度討論三個(gè)已學(xué)對(duì)象：一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程組。它們不是新知識(shí)，但是，對(duì)它們的認(rèn)識(shí)可以進(jìn)一步深化，也就是從函數(shù)的角度進(jìn)行分析和解釋。這種“再認(rèn)識(shí)”不是簡(jiǎn)單的回顧復(fù)習(xí)，而是理解數(shù)學(xué)知識(shí)在不同年級(jí)、不同學(xué)段“螺旋上升”的一種方式。教師要“深刻理解”函數(shù)概念，特別是加強(qiáng)知識(shí)之間的橫向、縱向聯(lián)系，厘清函數(shù)對(duì)相關(guān)內(nèi)容的統(tǒng)領(lǐng)作用，靈活運(yùn)用函數(shù)的觀點(diǎn)解釋學(xué)生以前學(xué)過(guò)的方程和不等式。只有教師本人對(duì)從函數(shù)的角度（也就是從“形”的角度）動(dòng)態(tài)分析方程和不等式達(dá)到較為全面和深刻的理解，在面對(duì)學(xué)生的不同表述時(shí)（比如，有些學(xué)生側(cè)重于數(shù)的角度，有些學(xué)生“跳步”表述，等等），才可以做出精準(zhǔn)的即時(shí)診斷與評(píng)價(jià)，從而促進(jìn)不同思維風(fēng)格的學(xué)生把問(wèn)題想清、悟透、學(xué)活。

（二）理解學(xué)生：在研判學(xué)情的基礎(chǔ)上選編問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)程

根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，不少八年級(jí)學(xué)生初學(xué)函數(shù)時(shí)的困難常常表現(xiàn)在數(shù)、形的對(duì)應(yīng)上。把函數(shù)之間的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為圖像，是將數(shù)量關(guān)系直觀化、形象化，多數(shù)學(xué)生能理解。但是，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的研究方法，善于從數(shù)和形兩個(gè)方面共同分析問(wèn)題、解決問(wèn)題是需要不斷精進(jìn)的。以本課為例，雖然教材上安排的內(nèi)容不多（只是兩組“思考”，即上述教學(xué)設(shè)計(jì)中的“問(wèn)題2”“問(wèn)題3”），但是對(duì)于初次接觸的八年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，難度卻是很大的。這時(shí)，我們的教學(xué)不能急于求成，特別是當(dāng)前一些“習(xí)題拼湊式”的導(dǎo)學(xué)案，意圖用大量習(xí)題讓學(xué)生掌握用函數(shù)觀點(diǎn)看方程、不等式，其教學(xué)效果并不理想，往往只會(huì)加重適應(yīng)性不好的學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)的“學(xué)習(xí)焦慮”。基于以上認(rèn)識(shí)，筆者教學(xué)教材本部分內(nèi)容時(shí)，第1課時(shí)只安排學(xué)習(xí)一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式，將一次函數(shù)與二元一次方程組的學(xué)習(xí)安排在后續(xù)課時(shí);并且，在教材兩組“思考”前面，增設(shè)“問(wèn)題1”，從一個(gè)“更簡(jiǎn)單”的“x+1”出發(fā)，讓學(xué)生充分理解之后再獨(dú)立思考，從函數(shù)的角度解釋“問(wèn)題2”“問(wèn)題3”。看似一節(jié)課只有3個(gè)問(wèn)題，內(nèi)容太少，但是唯有這樣，才能為更多學(xué)生贏得充分思考、感悟的寶貴時(shí)間。當(dāng)然，課堂小結(jié)階段，我們“從特殊走向一般”，梳理出一次函數(shù)y=kx+b的圖像與直線y=n相交后對(duì)應(yīng)的方程或不等式的解集，本身也可以看成一種成果擴(kuò)大的問(wèn)題深化，是向?qū)W生傳遞“從特殊到一般”地認(rèn)識(shí)問(wèn)題的一種研究方法，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到分析問(wèn)題、解決問(wèn)題時(shí)可以運(yùn)用“先從特殊對(duì)象切入，再擴(kuò)展、推廣到一般對(duì)象”的研究套路。

（三）理解教學(xué)：根據(jù)學(xué)程中學(xué)生的表現(xiàn)相機(jī)引導(dǎo)與追問(wèn)

本節(jié)課采用的是“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)”式教學(xué)，而“顯性問(wèn)題”只有3個(gè)，所以內(nèi)容看似比較少，課堂充分放開，對(duì)教師駕馭學(xué)程提出了較高的要求。比如，哪些內(nèi)容需要教師講授，哪些內(nèi)容要先安排學(xué)生獨(dú)立思考，何時(shí)安排同桌或小組交流討論，在學(xué)生上臺(tái)講解時(shí)如何相機(jī)引導(dǎo)和追問(wèn)，等等，都需要教師在備課時(shí)對(duì)各個(gè)問(wèn)題和不同情況做好充分的預(yù)設(shè)。例如，當(dāng)某個(gè)學(xué)生從函數(shù)的角度解釋“解方程2x+1=3”不夠生動(dòng)形象時(shí)（可以追問(wèn)其他學(xué)生是否理解該生的講解），就需要適時(shí)追問(wèn)“同學(xué)們覺(jué)得他講得怎么樣？你有什么更好的解釋方法嗎？請(qǐng)上臺(tái)分享給大家”。這樣的適時(shí)追問(wèn)，既可以促進(jìn)不同學(xué)生上臺(tái)從不同的角度解釋教學(xué)難點(diǎn)，又向?qū)W生傳遞了一種數(shù)學(xué)追求：“只有完美的表達(dá)才可以傳遞得更遠(yuǎn)”（李秉彝先生語(yǔ)）。

*本文系江蘇省南通市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“基于‘三學(xué)理念的初中數(shù)學(xué)課例研究”（編號(hào)：ZX2018007）的階段性研究成果。

參考文獻(xiàn)：

[1] 劉東升.我們需要怎樣的“問(wèn)題”驅(qū)動(dòng)課堂——由美國(guó)莎維女士執(zhí)教的函數(shù)圖像課說(shuō)起[J].教育研究與評(píng)論（課堂觀察），2016（11）.

[2] 李庾南，劉東升.藤蔓之美：從數(shù)式方程走向變量函數(shù)——以八年級(jí)“函數(shù)（第1課時(shí)）”教學(xué)為例[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2015（2）.

[3] 馬立平.小學(xué)數(shù)學(xué)的掌握和教學(xué)[M].李士锜，吳穎康，等譯.上海：華東師范大學(xué)出版社，2011.