微分中值定理的一種簡捷證明方法及其應用

白艷紅 胡勁松

摘 要

微分中值定理是微分學基礎理論的重要內容，是利用函數導數的局部性質研究函數的整體性質的重要工具，在數學分析中有著十分重要的地位，也是教學中重點和難點。由于其結論是定性的，在證明題中的應用相當廣泛和重要。本文首先利用Rolle定理的結論，給出了Lagrange定理和Cauchy定理的一種簡捷證明方法，并把此方法應用到同類型的證明題中。該方法簡單直接，且利于學生理解和掌握。

關鍵詞

Rolle定理;Lagrange定理;Cauchy定理;簡捷證明;應用

中圖分類號： O172.1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼： A

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457 . 2020 . 18 . 20

0 引言

微分中值定理[1-7]是利用函數導數的局部性質研究函數的整體性質的重要工具，是微分學基礎理論的重要內容，包括Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，其中Lagrange定理和Cauchy定理是Rolle定理的推廣形式，它們在數學分析中有著十分重要的地位，也是教學中重點和難點。由于微分中值定理的結論都是定性的（即結論中的準確數值一般都是不知道的），所以它在證明題中有著重要的應用。凡涉及微分中值定理的證明題，一般都需要先根據題目的結論構造輔助函數，然后再應用微分中值定理即可得出題目的證明。所以，要完成一個給定的涉及微分中值定理的證明題目，關鍵的一步就是要構造一個恰當的輔助函數，這正是完成這一類題目的難點所在。本文，在Rolle定理結論的基礎上，首先給出了Lagrange定理和Cauchy定理的中統一的簡捷證明，然后將該證明方法推廣到同類型的涉及微分中值定理證明題目，該方法簡單直接，且一般都只用Rolle定理就可以完成題目的證明。

1 Lagrange定理和Cauchy定理的證明

一般教材[1-7]里關于Lagrange定理和Cauchy定理的證明都比較復雜，要講清楚輔助函數怎么來的？還要判斷它是否滿足Rolle定理的條件等。這里將微分中值定理結論中含有ξ的部分（是一個不確定的常數）設為常數k，移項化簡使等式的一邊為零，再利用等式將所給區間的某一端點變為x后作為輔助函數φ（x），然后用Rolle定理證明輔助函數中的常數就等于結論中含有的部分即可。

3 結束語

從前面的討論可以看出，本文的方法在證明過程中構造輔助函數簡單直接，判斷所構造的輔助函數滿足Rolle定理的條件方便快捷，對很多證明題目都簡單實用，且更容易讓學生接受。若在教學時傳授給學生，則一定可以更好地幫助其對微分中值定理的理解和應用。

參考文獻

[1]章仰文，邵國年.數學分析[M].上海：上海交通大學出版社，1999.

[2]同濟大學應用數學教研室.高等數學（上冊）（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2002.

[3]劉玉璉.高等數學（上冊）[M].北京：高等教育出版社，1988.

[4]陳克西，季福弟.高等數學[M].重慶：重慶大學出版社，1997.

[5]李順初，陳子春，等.高等數學教程[M].北京：科學出版社，2009.

[6]宋柏生，羅慶來.高等數學（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[7]陳傳璋，等.數學分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社，1983.

[8]盛祥耀，葛嚴麟，等.高等數學輔導（上冊）（第二版）[M].北京：清華大學出版社，1993.