彈性邊界下靜電驅動微梁結構主共振分析

韓建鑫 ，靳 剛 ，李佰洲 ，常云霞

（1.天津職業技術師范大學機械工程學院，天津 300222；2.天津職業技術師范大學天津市高速切削與精密加工重點實驗室，天津 300222；3.天津大學機械工程學院，天津 300350）

靜電驅動微梁元件具有結構簡單、易集成、能耗低、響應頻率高等優點，目前已成為微傳感器、微制動器、微濾波器、微開關等微機電器件的關鍵組成部分[1]。值得注意的是，靜電力本質上是一種非線性驅動力，可導致微梁產生不穩定的靜動態吸合行為[2]。一方面，利用該行為可設計微開關類器件；另一方面，在作動、傳感、濾波等微器件設計過程中，這一行為被認為是不穩定的，需要盡量避免。因此，研究靜電驅動微梁元件的靜動力學行為是微器件力學設計的必要和關鍵環節[3-6]。微器件設計過程中，梁結構的兩端一般或與錨點連接或自由懸置，由于實際加工制造中難免出現誤差甚至缺陷，梁與錨點的連接處易產生一定的轉角和位移，即呈現彈性邊界特性[7-8]。Alkharabsheh等[7]通過數值及實驗研究了彈性邊界對于靜電驅動兩端固支淺拱梁動力學特性的影響，指出彈性邊界可導致系統出現頻率漂移、動態吸合以及振動跳躍等復雜現象。仲作陽[8]理論研究了彈性邊界對兩端固支微梁和懸臂梁的振型、頻率和主共振頻率響應的影響。此外，Pallay等[9]通過機構創新與設計，將微懸臂梁的固定端約束弱化為彈性邊界，設計了一類基于非線性參激振動的諧振式傳感器，該類傳感器充分利用柔性支撐模擬梁結構的彈性邊界特性，通過一系列靜動力學分析與設計，最終通過增大梁的振幅值，有效提升了感測信號的輸出強度。因此，考慮將理想邊界弱化，引入彈性邊界約束，分析彈性邊界對于系統靜動動力學行為的影響，已逐漸成為微機電系統靜、動力學研究的熱點問題[10-12]。

彈性邊界對于微梁的靜動、力學特性具有顯著的影響，在微機電器件設計和參數優化時，首先應對其影響機理進行研究。本文以一類微機電系統中常見的單極板靜電驅動兩端固支微梁結構作為研究對象，綜合考慮橫向及扭轉彈性邊界、梁的中性面變形和非線性靜電力特點，應用Galerkin方法和多尺度方法研究系統的靜動力學行為。理論分析中，將靜電力Taylor展開保留至7階動態項，有效提高了動力學求解精度。本文基于理論結果研究彈性邊界彈性剛度對于靜態吸合、主共振線性頻率以及主共振頻率響應及其軟硬轉換行為的影響。

1 動力學模型

靜電驅動微梁結構如圖1所示。

圖1 靜電驅動微梁結構

理想邊界條件下靜電驅動兩端固支微梁結構如圖 1（a）所示，其中梁的長寬高分別為 l0、b0、h0，彈性模量為，密度為ρ，梁與極板間的初始距離為g0。考慮制造缺陷或創新設計，將理想固支邊界退化為彈性邊界，如圖1（b）所示，以等效剛度系數為KR的扭轉彈簧和等效剛度系數為KT的橫向彈簧模擬彈性邊界條件[7]。考慮梁的中性面變形及靜電力作用，可建立靜電激勵作用下微梁的橫向振動方程[13]為

上述方程對應的邊界條件為

為了便于分析，引入如下無量綱量

與方程相對應的無量綱邊界條件為

其中，方程（4）和（5）中的無量綱參數為

微梁的變形包括2部分，直流電壓導致的靜態變形和交流電壓導致的動態變形，即無量綱橫向變形w（x，t）可表示為

式中：ws（x）為無量綱靜態變形；wd（x，t）為無量綱動態變形。

若不考慮交流電壓激勵的影響，則結合方程（4）和（7）可直接推導得到微梁的靜態方程

該靜態方程可通過Galerkin方法進行計算與分析。

結合Galerkin方法，系統的動態變形部分可近似表示為

式中：φj（x）為微梁的j階振型函數[12]；δj（t）為j階振動的廣義坐標，即j階振動函數；M為最高振動階次。

研究梁的主共振動態響應時，可近似認為M=1。將方程（7）代入到方程（4），將靜電力部分泰勒展開至wd（x，t）的7次方，并根據直流電壓幅值遠大于交流電壓幅值這一特性，忽略交流電壓的平方項[14]，簡記u（t）=δ1（t），φ（x）=φ1（x）。應用Galerkin方法，可得到微梁的主共振動力學方程

式中：ωn為系統的無量綱一階線性頻率。

相關參數表達式為

2 主共振近似解

應用多尺度方法[15]對方程（10）進行主共振分析。引入代表對應項為小量的無量綱標志ε，可得動力學方程如下

假設系統的解可表示為如下形式

式中：Tn= εnt，n=0，1，…，6。

式中：γ=σT6-β；a為振動幅值；β為振動相位。

相關參數表達式為

將方程的穩態解代入方程即可得動態響應。

3 動力學分析

3.1 收斂性分析

為驗證本文程序及理論解的正確性，采用文獻[16]的物理參數，計算理想邊界情況下系統的靜動態特性。靜態位移解通過五階Galerkin離散計算而得到，其中靜電力部分直接利用牛頓辛普森積分公式計算，可避免靜態位移不收斂情況[17]，靜態最大位移由ws,max=max（ws）計算，響應最大位移由 wmax=max[ws+u（t）φ（x）]計算。具體仿真參數為[16]：E～=166 GPa，ρ=2 332 kg/m3，l0=510 μm，b0=100 μm，h0=1.5 μm，g0=1.18 μm，ε0=8.854 × 10-12，N=8.7，μ =0.239，最終推導所得理論模型的收斂性分析如圖2所示，其中解的穩定性根據非線性振動理論中Jacobi矩陣的特征值進行判斷。通過與文獻[16]的數值計算結果對比可知，本文程序正確且理論解具有較高的計算精度。

圖2 推導所得理論模型的收斂性分析

3.2 位移與頻率分析

文獻[7]中的扭轉剛度和橫向剛度系數，令KT=40 N/m，KR=10-7N·m/rad，最終得到系統的最大靜態位移與一階線性頻率ωn隨直流電壓的變化情況如圖3所示。從圖3中可以看出，彈性邊界條件下，系統直流偏置電壓行程降低，吸合電壓減小；吸合前相同直流電壓作用下，彈性邊界會導致微梁的最大靜態位移偏大，一階線性頻率偏小。若設計人員需要對微梁的諧振頻率進行設計，則彈性邊界會導致最終設計結果比理論計算結果小。實際上，彈性邊界對靜電微開關設計具有積極的促進作用，可有效減小吸合電壓進而降低器件開關過程中的能耗。而對于動態結構來講，彈性邊界使得器件靜態變形增大，共振頻率向小方向漂移，最終導致設計響應與實際響應出現偏差。因此，無論從哪方面考慮，研究彈性邊界作用下系統的靜動力學都是必要的。

圖3 系統的最大靜態位移與一階線性頻率隨直流電壓的變化情況

3.3 主共振響應分析

理想邊界和彈性邊界情況下系統的主共振頻響曲線如圖4所示，其中相關參數取值為[16]：VD=2V，VA=0.01 V。從圖4中可以看出，彈性邊界的存在可有效增大系統的最大振動響應幅值，同時減小系統的一階共振頻率，此外可導致系統出現軟硬轉換行為。進一步研究探討了彈性邊界剛度系數對于系統頻率響應的影響，結果如圖5所示。從圖5（a）中可以看出，橫向剛度KT的增大使得頻響曲線向右偏移，且曲線的硬彈簧特性更加明顯；最大振動位移略有減小，軟硬轉換現象減弱。從圖5（b）中可以看出，扭轉剛度KR的增大同樣會使得頻響曲線向右偏移，但曲線的硬彈簧特性及最大振動位移不會發生明顯改變。

圖4 理想邊界和彈性邊界情況下系統的主共振頻響曲線

圖5 彈性邊界對系統主共振頻響曲線的影響

4 結語

本文研究了彈性邊界對于系統的主共振行為的影響。通過應用Galerkin方法和多尺度方法，推導獲得了考慮7次非線性動態響應的微梁結構主共振近似理論解。該理論解具有較高計算精度，能夠用于研究不同邊界條件及物理參數對于系統靜動力學行為的影響。從靜態位移、一階線性頻率和主共振頻率響應3個方面探討了彈性邊界的影響作用，發現彈性邊界會導致靜態吸合電壓減小，靜態變形增大，一階線性頻率整體降低，頻響曲線最大振幅增大，復雜度增大，易誘發頻響曲線軟硬轉換行為。因此，本文研究對于考慮彈性邊界的靜電驅動微梁結構分析與設計具有一定的理論指導作用。