數學讓環形公交更暢通

王 莉

1 問題提出

泰安因五岳之首泰山聞名于世，近幾年每年接待游客約5000 萬人次，為滿足游客需求和方便居民出行，泰安市公交公司開辟了K39 路環形公交路線。該路線連接著泰安市中心與東部新區，由泰山火車站出發，途徑岱廟、天外村、紅門、方特歡樂世界等旅游景點，以及泰安一中、山東服裝職業學院、泰山職業技術學院三所學校，共計43 站。

存在問題：由于路線較長，站點較多，市區交通阻塞，等車時間時長時短，到站速度也是時快時慢，高峰時段車輛超載率高，乘客舒適度較差，反映強烈。

K39 是單車場環形運行，是不是調度上存在不合理因素？如何既能保證公交公司的經濟利益，又能增加乘客的滿意度呢？

2 問題分析

本問題要求設計一個環形公交車調度表，要同時考慮到完善城市交通環境、改進乘客出行狀況、提高公交公司的經濟和社會效益等諸多因素。如果僅考慮提高公交公司的經濟效益，則只要提高公交車的滿載率，如果僅考慮方便乘客出行，只要增加車輛的次數。顯然這兩種方案是對立的。所以需要在這幾個因素中找出一個合理的匹配關系，使得雙方的滿意度達到最高。

3 問題調查

首先要對K39 路車客流情況進行調查，收集數據。基礎數據有：線路總長：42×500 ≈21000 米，對 環 形 路 線，運 行 時 間 即 周 轉 時 間：21000÷333 ≈64 分鐘（時速按20KM/H），首末站停車時間：平峰期間首末站平均停站時間t=0.21tn(10 ≤tn≤100)min。則有：t=0.21×64 ≈14min。調查方法采用票據法和隨車調查相結合。調查情況見附件。

4 提出假設

（1）交通情況、路面狀況良好，無交通堵塞和車輛損壞等意外情況。

（2）全程為單一票價。

（3）線路上的公交車為同一型號,核定載客量為50 人。

（4）單位時間內的上下客車人數服從均勻分布。

（5）始末車站乘客數不重復計算。

（6）為了便于敘述，本文把公交車運營時間6：00 ～18：00 分為12 個時間段，分別為1，2，...，12。

5 模型建立與解決

根據問題分析，環形運行方式為單車場的單車型運行問題的多目標優化模型。我們在設計調度表時，應該考慮此表帶給公交公司和乘客兩方的利益，即公交公司和乘客對應的日平均滿意度mg 和mc，各時段的滿意度mgj和mcj，我們對影響各自滿意度的因素做分析。

1）各時段的最大客容量，建立模型如下。

其中，ajk為第j 時間段第k 站的上車人數，bjk為第j時間段第k 站的下車人數。

運用模型和調查統計的上下乘客數，算出各個時間段內最大客容量。

2） 各個時段的發車次：由于公交車每輛標準載客50 人，車輛滿載率在60%～120%之間，當zj 接近60 人，由模型。

可以計算出各時間段的發車次數cj，公交公司要滿足最遲不超過15 分鐘發一趟車，于是發車車次依次如下：7，9，8，6，6，7，6，7，5，5，9，8。

3）發車時間間隔：取每個時段60 除以車次數，得到該時段的平均發車時間間隔：sj=60/cj分鐘，依次如下。

8.6，6.7，7.5，10，10，8.6，10，8.6，10，10，6.7，7.5。

為滿足公交車載完每一段的乘客，綜合1-3 的計算，得出了該工作日內的公交車應按如下方案調度。

4） 公交公司滿意度：公交公司的滿意度取決于公交車的平均載客量，公交車平均載客量越多，公交公司發車車次就少，對公交公司利益就大。在乘客源一定的情況下，影響mgj的主要因素是車上的乘客數即載客量zj，其中，一般情況下30 ≤zj≤60 。我們取各個時段的平均載客量zj的滿意度

5）乘客滿意度：對于乘客，影響mcj的主要因素是乘客的等車時間tj與車上的平均載客量zj。設mctj，mczj分別是各時段乘客因tj與zj的影響而產生的滿意度，則mcj即 可 以 表 示 為：mcj=(mctj，mczj)A 其 中，A 是 關 于因素tj與zj的權重集。

考慮到，對于乘客，mctj，mczj對mcj的影響不是相等的，車輛的滿載率達120%時，超載的20%由于缺少座位，注重舒適度的影響大于等待時間的影響；當滿載率小于100%時，乘客因為有座，無需過分考慮舒適，更多的是考慮等車時間的影響。

表1 各個時間段內最大客容量

表2 該工作日內公交車的調度方案

由每時段的乘客滿意度mcj，每時段的乘客最大客容量lj，一天最大客容量人數為可以算出乘客平均日滿意度為各時段的滿意度的加權平均值。

（6）合理調度情況分析。

對于公交公司，當滿載60 人時公交公司最滿意，人數越少，滿意度越來越低。對于乘客，可知當等車時間不超過5 分鐘，車輛滿載率不超過100%時，乘客滿意度為1，隨著等待時間增加和車載率的上升，乘客滿意度會逐漸下降。我們取當公交車平均載客人數分別為60 人，50 人，30 人時作分析。

（1） 當 zj→60 人， 則 乘 客 日 均 滿 意 度 mg1=乘客的滿意度mc1=0.7103。

（2）當zj→50 人時，公交公司滿意度mg1=0.8326,乘客的滿意度為mcj=0.9278。

（3） 當zj→30 人時 ，此時公交公司的利益達到最小，相應的乘客滿意度會變大，公交公司滿意度mg1=0.3907, 乘客滿意度mc1=0.9813。

a、根據公交公司的滿意度和乘客的滿意度的對應關 系，(0.9811，7103)(0.8326，0.9278)(0.39207，0.9813)，可以利用二次擬合得出公交公司和乘客的函數f(mg1)。

本題要求我們最大照顧到乘客和公交公司雙方的利益，這就要求R=mc1+mg1能盡可能取大，即滿足雙方的利益最大化；同時我們也要使得雙方滿意度的差不能太大，即W=|mc1-mg1|盡可能取小。于是我們建立目標函數max=R-W=mc1+mg1-|mc1-mg1|，尋找出滿足雙方的滿意度之和最大同時滿足之差最小的最優滿意度。聯系函數分析，求的乘客和公交公司雙方的匹配問題的最優滿意度為mc1=0.8576，mg1=0.85676。

根據4-6 的計算，由最優滿意度設計K39 路環形公交調度方案。

6 分析總結

該模型從實際問題出發，用常規方法做出的結果與實際情況較為統一。模型中涉及公交公司的滿意度和乘客的滿意度的擬合，為進一步合理設計新的調度方案提供依據。

存在不足：統計天數少，致使調查數據缺乏代表性。另外，乘客數量因天氣、節假日等變動較大，如下雨下雪天，乘客人數增加，周末職業學院學生出行較集中，節假日游客增多也會使得乘車人數增加等等。這些情況，需要公交公司要適時調整調度表。

表3 最優滿意度的K39 路環形公交調度方案