巧用“韋達定理”解決一類問題

張學瑛

【摘要】《義務教育數學課程標準（2011年版）》對一元二次方程根與系數的關系（本文以下簡稱“韋達定理”）給出了“選學內容”的規定，按要求，“選學內容”不得列入中考。然而從數學能力的可持續發展上看，“韋達定理”確實關乎后續很多內容的學習，在高中階段“韋達定理”也有著廣泛的應用。

【關鍵詞】初中數學;韋達定理;解決問題

“韋達定理”是初中數學代數部分的重要教學內容之一，它反映了一元二次方程的兩根與系數之間的關系。利用“韋達定理”可以為許多代數方程及其相關問題的解決帶來很大的便利，也有助于學生數學思維的培養，除了根據給出的一元二次方程利用“韋達定理”討論根與系數這樣一類常規題型外，還可以根據題目給出的條件結構通過“韋達定理”構造新方程來解決問題，也就是逆用“韋達定理”。

一、“韋達定理”及其逆定理

“韋達定理”：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根，那么x1，x2滿足x1+x2=-，x1·x2=.

“韋達定理”的逆定理：如果x1，x2滿足x1+x2=-，x1·x2=，那么x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根.

例1，（2019·廣州）關于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2=0有兩個實數根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2 x1 x2=﹣3，則k的值（）

A.0或2 ? ? ? ? B.﹣2或2

C.﹣2 ? ? ? ? ? ?D.2

【分析】由根與系數的關系可得出x1+ x2=k﹣1，x1 x2=﹣k+2，結合（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2 x1 x2=﹣3可求出k的值，根據方程的系數結合根的判別式△≥0可得出關于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范圍，進而可確定k的值，此題得解。

【解答】解：∵關于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2=0的兩個實數根為x1，x2，

∴x1+ x2=k﹣1，x1 x2=﹣k+2.

∵（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2 x1 x2=﹣3，即（x1+ x2）2﹣2 x1 x2﹣4=﹣3，

∴（k﹣1）2+2k﹣4﹣4=﹣3，

解得：k=±2.

∵關于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2=0有實數根，

∴△=[﹣（k﹣1）]2﹣4×1×（﹣k+2）≥0，

解得：k≥2﹣1或k≤﹣2﹣1，

∴k=2.

故選：D.

【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系：若方程兩個根為x1，x2，則x1+x2=-，x1·x2=.

例2：（2013·惠州一模）如x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根，那么x1+x2=-，x1·x2=，這就是著名的“韋達定理”。現在我們利用“韋達定理”解決問題：已知m與n是方程2x2﹣6x+3=0的兩根。

（1）填空：m+n= ? ? ? ，m·n= ? ? ? ?;

（2）計算+的值。

【分析】（1）直接根據根與系數的關系求解;

（2）先把+通分得到，然后把（1）中的結果代入計算即可。

【解答】解：（1）根據題意得m+n=-=3，m·n=;

（2）原式=

=

=4.

故答案為3，.

二、利用“韋達定理”的逆定理構造新方程

如果知道題目中有兩個字母（代數式）的和與積，則可以利用“韋達定理”構造以這兩個字母（代數式）為根的一元二次方程。

例3： 解方程組 .

解：顯然，x，y是方程t2-5t+6=0 ……① 的兩根。

由方程①解得 t1=2，t2=3.

所以原方程組的解為 x1=2，y1=3 x2=3，y2=2.

類似的問題有：

例4：解方程組.

解：分別把、看成整體，構建“韋達定理”模型。

則以、為兩根的一元二次方程為t2-5t+6=0.

解得：t1=2，t2=2.

所以或，

即或.

（注意，這是分式方程組，需檢驗方程組的解）

有些問題，表面看與“韋達定理”無關，但仔細分析，構造出適合條件的一元二次方程，再結合根的叛別式，列出等式或不等式，就能達到目的，這種方法比代入法要簡單得多。

例5：已知△ABC的邊長分別為a， b，c，且a>b>c，2b=a+c， b為正整數，若a2+b2+c2=84，求b的值。

解： 依題設，有

a+c=2b， ? ? ?①

a2+b2+c2=84. ?②

②可變為（a+c）2-2ac=84-b2， ③

①代入③，得 ac=，④

所以a、c是關于x的一元二次方程x2-2bx+=0的兩個不相等的正實數根。

即16

又b為正整數，故b=5.

此解的獨特之處在于利用a+c=2b，將a2+b2+c2=84轉變為ac=，從而構造“韋達定理”逆定理所需的條件。

總之，解題的過程中教師要有意識地培養學生一種良好的分析、審題的習慣。巧妙靈活地應用“韋達定理”，不僅能較好的解題，而且能培養學生良好的思維習慣和敢于探索的精神。

參考文獻：

[1]潘龍生.教學，少些一帶而過[J].數學通報，2015（01）.

[2]何明.追求邏輯連貫、生長自然的教學設計[J].中學數學教學參考，2015（8）.

[3]馬木龍.用教材教：“根的判別式”教學與思考[J].中學數學，2018（12）.