“大概念”統(tǒng)攝下的數(shù)學(xué)整體性教學(xué)

韋璐

【摘要】在數(shù)學(xué)課程中，“大概念”應(yīng)當(dāng)貫穿于數(shù)學(xué)課程的全部，能被學(xué)生認(rèn)知、理解并在理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行積極的應(yīng)用。“大概念”能讓學(xué)生廣泛地吸納數(shù)學(xué)知識，能引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“有意義學(xué)習(xí)”，能讓學(xué)生快速有效地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識。指向大概念、圍繞大概念、聚焦大概念，要突破單課思維，引導(dǎo)比較歸納，縱向橫向拓展。通過“大概念”教學(xué)，占領(lǐng)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)制高點。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 大概念統(tǒng)攝 整體性教學(xué)

在小學(xué)數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，“大概念”是指“一個學(xué)科領(lǐng)域中最為精華、最優(yōu)價值、最為核心的學(xué)科內(nèi)容”。“大概念”是對學(xué)科核心概念理解的具體表述，反映了數(shù)學(xué)世界中的自然法則，體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)世界理性的認(rèn)知視角，是數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)價值觀在數(shù)學(xué)教育中的具體展現(xiàn)。在數(shù)學(xué)課程中，“大概念”應(yīng)當(dāng)貫穿于數(shù)學(xué)課程的全部，能被學(xué)生認(rèn)知、理解并在理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行積極的應(yīng)用。用“大概念”來組織數(shù)學(xué)教學(xué)，已經(jīng)成為數(shù)學(xué)學(xué)科課程的重要特點和標(biāo)識。

一、對數(shù)學(xué)學(xué)科“大概念”的認(rèn)知

1.數(shù)學(xué)學(xué)科中“大概念”的提出

“大概念”是指“有組織、有結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)知識和模型，它們能在較大范圍之內(nèi)解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，能讓離散的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)化?！薄按蟾拍睢弊钤缈梢陨纤莸矫绹逃睦韺W(xué)家布魯納所提出的“學(xué)科本質(zhì)”。布魯納深刻地指出，“任何一門學(xué)科的教學(xué)，都必須讓學(xué)生將學(xué)科中那些最為廣泛、最強(qiáng)有力的適應(yīng)性觀念教給學(xué)生，這些觀念也就是‘學(xué)科本質(zhì)”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不應(yīng)該給學(xué)生支離破碎、脫離生活的數(shù)學(xué)知識，而應(yīng)當(dāng)運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒?，幫助學(xué)生形成對世界的數(shù)學(xué)化理解。換言之，“大概念”教學(xué)應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)的眼光”“數(shù)學(xué)的大腦”。借助大概念，引導(dǎo)學(xué)生分解數(shù)學(xué)問題、設(shè)計數(shù)學(xué)深度的思考、探究活動，引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不斷進(jìn)階，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

2.數(shù)學(xué)學(xué)科中“大概念”的大小

數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)學(xué)科中是以層級的形式呈現(xiàn)的，因而，數(shù)學(xué)學(xué)科中的大概念是相對的。從大的方面來說，數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)價值觀、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀等都是大概念;從小的方面來說，每一個上位的數(shù)學(xué)概念都是“大概念”。在數(shù)學(xué)學(xué)科中，一個數(shù)學(xué)概念總是包含若干個其他的數(shù)學(xué)概念，同時，這個數(shù)學(xué)概念總是包含于其他的若干個概念之中。比如“因數(shù)和倍數(shù)”這一概念是包含于“公因數(shù)和公倍數(shù)”之中的，而“因數(shù)和倍數(shù)”概念卻是建立在“乘法和除法”概念之上的。因此，數(shù)學(xué)學(xué)科中的“大概念”的“大小”是相對的。一個概念可以歸入一個更大的概念之中，而這個更大的數(shù)學(xué)概念卻又總可以歸入一個更為廣闊、更為寬泛的概念之中。由此，形成了數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹⒕哂衅毡殛P(guān)聯(lián)的概念結(jié)構(gòu)。這些概念結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)學(xué)科的靈魂。

3.“大概念”與學(xué)科核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)學(xué)科中的“大概念”具有兩個最為重要的特性：“核心性”與“共通性”。數(shù)學(xué)“大概念”是數(shù)學(xué)教學(xué)活動的基軸、核心。通過一個個的數(shù)學(xué)“大概念”，將零散的數(shù)學(xué)知識串珠成鏈，從而助推學(xué)生的數(shù)學(xué)問題解決，助推學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成。數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性、結(jié)構(gòu)性的大概念，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實現(xiàn)螺旋式上升、層級性攀爬。學(xué)生在習(xí)得大概念的過程中，其數(shù)學(xué)思維得到了磨礪，比如科學(xué)性、連貫性、條理性和清晰性，比如典型的數(shù)學(xué)問題、典型的分析方法、典型的思維方式，等等。比如在教學(xué)“因數(shù)和倍數(shù)”這一對大概念時，學(xué)生不僅認(rèn)識到“因數(shù)和倍數(shù)”的內(nèi)涵，更理解“因數(shù)和倍數(shù)”的相關(guān)關(guān)系，習(xí)得了列舉的數(shù)學(xué)思想方法等，這些都是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分。

二、數(shù)學(xué)教學(xué)中“大概念”的價值和意義

數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)圍繞數(shù)學(xué)大概念來組織和實施。無論是教材的編寫還是教師的教學(xué)操作，都應(yīng)凸顯大概念的價值和意義。數(shù)學(xué)教學(xué)中的“大概念”是撬動課堂轉(zhuǎn)型的一個支點。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用“大概念”，能讓學(xué)生廣泛地吸納數(shù)學(xué)知識，能引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“有意義學(xué)習(xí)”，能讓學(xué)生快速有效地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識。

1.廣泛吸納數(shù)學(xué)知識

數(shù)學(xué)知識無論從廣度、深度上來說，都是動態(tài)的、發(fā)展的。數(shù)學(xué)學(xué)科不是不可爭辯的“真理集合”，而是一種動態(tài)的、可誤的、生長性的科學(xué)。當(dāng)下，數(shù)學(xué)知識更是以幾何級數(shù)的增加而蔚為壯觀。面對紛繁復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識，面對動態(tài)的、生長性的數(shù)學(xué)知識，學(xué)生需要的不僅僅是掌握某一具體知識，更是要掌握能建構(gòu)該知識領(lǐng)域的“大概念”。通過某一個或者某幾個數(shù)學(xué)大概念，學(xué)生能建構(gòu)一個蜘蛛網(wǎng)式、具有關(guān)聯(lián)性、發(fā)散性的知識領(lǐng)域。從這個意義上說，大概念教學(xué)有助于學(xué)生廣泛地吸納數(shù)學(xué)知識，從而實現(xiàn)舉一反三、觸類旁通的教學(xué)效果。學(xué)生置身于大概念學(xué)習(xí)之中，能形成整體性的思維能力。

2.實現(xiàn)“有意義學(xué)習(xí)”

學(xué)生的數(shù)學(xué)“大概念”學(xué)習(xí)是一種“有意義”的學(xué)習(xí)。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，往往是以課時為單位，而大概念的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅要著眼于課時，更要著眼于單元，著眼于學(xué)段，甚至著眼于整個數(shù)學(xué)學(xué)科。從這個意義上說，大概念教學(xué)有助于學(xué)生進(jìn)行整體性、系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。比如教學(xué)“整數(shù)加減法”“小數(shù)加減法”和“異分母分?jǐn)?shù)加減法”時，盡管法則的表現(xiàn)形態(tài)不同，但其蘊(yùn)含的算理——“計數(shù)單位相同才能直接相加減”卻是相同。教師在教學(xué)時不僅要引導(dǎo)學(xué)生掌握具體的運(yùn)算法則，更要引導(dǎo)學(xué)生掌握這些計算法則背后的算理，體會到法則之間的內(nèi)在算理的一致性，這就是大概念的有意義性教學(xué)。

3.有效“運(yùn)用知識”

在《人是如何學(xué)習(xí)的》一書中提到了“專家”與“新手”的差異。較之于新手，專家就是那些在特定的研究領(lǐng)域具有系統(tǒng)、完整的專業(yè)概念知識。從根本上說，大概念有助于學(xué)生能快速、有效地提取知識、運(yùn)用知識。換言之，在大概念學(xué)習(xí)之中，數(shù)學(xué)知識是處于動態(tài)的、活化狀態(tài)之中的，其敏感度、同化力、辨別性都是相當(dāng)高的，有助于學(xué)生快速有效地理解、記憶、組織、推理、再現(xiàn)以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識。比如當(dāng)學(xué)生在掌握了“梯形的面積公式”，并且認(rèn)識到“三角形面積就是上底為零時的梯形面積、平行四邊形的面積就是上下底相等的梯形面積”時，梯形的面積公式就獲得了一種解釋性、包攝性效用，就能廣泛地應(yīng)用于圖形的面積計算。這樣的大概念教學(xué)，不是靜態(tài)的教學(xué)，而是動態(tài)的教學(xué)，結(jié)構(gòu)的教學(xué)，發(fā)展性的教學(xué)等。

三、聚焦“大概念”的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計

“大概念”也被譯為“大觀念”，常常位于“課程學(xué)習(xí)中心”，或者說位于“知識金字塔頂端”的“核心概念、知識模型和學(xué)科大圖景”。在數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，教師要以“大概念”作為單位選擇，突破單課思維，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的整體框架。站在“大概念”的視角，對數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行整體謀劃。要指向大概念、圍繞大概念、聚焦大概念，通過“大概念”教學(xué)，占領(lǐng)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)制高點。

1.突破單課思維，厘清知識來龍去脈

美國著名教育家布魯納一再強(qiáng)調(diào)，“無論教師教學(xué)哪一門學(xué)科，務(wù)必讓學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)?！痹跀?shù)學(xué)教學(xué)中，教師要突破單課思維，考量數(shù)學(xué)知識點的來龍去脈。通過考量數(shù)學(xué)知識點的來龍去脈，讓學(xué)生感悟支撐起這一類知識點的大概念。以大概念為視角，梳理相關(guān)數(shù)學(xué)知識，形成有意義的、關(guān)聯(lián)性結(jié)構(gòu)整體。比如教學(xué)“圓柱的側(cè)面積”“圓柱的體積”之后，筆者將長方體的側(cè)面積、正方體的側(cè)面積、長方體的體積、正方體的體積等融入其中，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較，從而建構(gòu)直柱體側(cè)面積、體積的統(tǒng)一公式：S=Ch、V=Sh。不僅讓學(xué)生從公式的表現(xiàn)形式上進(jìn)行大概念認(rèn)知，還從公式的內(nèi)在實質(zhì)上助推學(xué)生的大概念理解。筆者借助多媒體課件，讓圓柱體、長方體、正方體的底面周長、底面積向上運(yùn)動，學(xué)生直觀地看到“線積成面”“面積成體”的動態(tài)生成過程。這樣的過程，使得學(xué)生對側(cè)面積、體積的認(rèn)知不僅僅只是停留在公式的記憶上，而是形成了一種本質(zhì)的、核心的、動態(tài)的數(shù)學(xué)大概念理解。

2.引導(dǎo)比較歸納，引導(dǎo)學(xué)習(xí)不斷進(jìn)階

大概念的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計，要求學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要秉持多個視角，突破單一的方法局限，進(jìn)行知識比較、方法比較，從而歸納小結(jié)出大概念。以學(xué)科大概念學(xué)習(xí)為學(xué)習(xí)進(jìn)階主線，強(qiáng)調(diào)核心概念學(xué)習(xí)的重要性。大概念的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是動態(tài)的、開放性的，應(yīng)當(dāng)是有深度的，是一種整體意義的呈現(xiàn)。比如教學(xué)“百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識”中的“百分?jǐn)?shù)單位”，從類結(jié)構(gòu)、類方法視角看，組成一個數(shù)的無疑是若干個計數(shù)單位。無論是整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)還是百分?jǐn)?shù)都有計數(shù)單位。因而，“計數(shù)單位”就成為這些數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的“大概念”。教學(xué)中，筆者將這些相關(guān)的內(nèi)容進(jìn)行對比。通過對比，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，“單位都離不開1”，比如分?jǐn)?shù)的計數(shù)單位是幾分之一，百分?jǐn)?shù)的計數(shù)單位是1%，小數(shù)的計數(shù)單位是0.1、0.01、0.001等。通過比較歸納，學(xué)生建構(gòu)了“數(shù)的單位”，深刻理解了計數(shù)單位的內(nèi)涵。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生對相關(guān)的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行歸類分析，還要引導(dǎo)學(xué)生對相關(guān)的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行聚類分析。通過歸類與聚類，進(jìn)一步將數(shù)學(xué)知識中蘊(yùn)含的大概念展示、透析出來。

3.縱向橫向拓展，分層遞進(jìn)建構(gòu)概念

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何避免數(shù)學(xué)知識的碎片化、零散化？筆者認(rèn)為，必須借助大概念引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行縱向橫向拓展，從而讓學(xué)生遞進(jìn)建構(gòu)數(shù)學(xué)的層級概念。作為教師，既要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行橫向勾連，又要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行縱向拓展。通過縱向橫向的拓展、勾連，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)螺旋遞進(jìn)，從而建構(gòu)具有層級性的大概念。比如“認(rèn)識厘米”“時、分、秒”“角的認(rèn)識”“公頃和平方千米”等內(nèi)容，教師可以相機(jī)滲透、孕伏“大數(shù)量中包含多少個小數(shù)量”。在每一冊的知識教學(xué)中，教師都要始終滲透“包含”這一大概念。只有當(dāng)數(shù)學(xué)知識不斷地被重構(gòu)，數(shù)學(xué)大概念才能被有效地凸顯。在教學(xué)中，通過橫向縱向的勾連、拓展，教師分層遞進(jìn)建構(gòu)數(shù)學(xué)大概念，從而讓學(xué)生初步形成數(shù)學(xué)的態(tài)度，掌握數(shù)學(xué)的方法，理解數(shù)學(xué)的精神。通過分層遞進(jìn)，大概念的深刻內(nèi)涵能被學(xué)生深刻理解，并能被學(xué)生廣泛地應(yīng)用。

德國著名數(shù)學(xué)家菲利克斯·克萊因在《高觀點下的初等數(shù)學(xué)》中深刻指出：“數(shù)學(xué)教師應(yīng)具有較高的數(shù)學(xué)觀點，觀點越高，事物就越顯得簡單?！卑盐諗?shù)學(xué)大概念，能讓教師在數(shù)學(xué)教學(xué)時站得高、望得遠(yuǎn)。著眼于數(shù)學(xué)學(xué)科大概念的教學(xué)不僅是一個知識結(jié)構(gòu)化的過程，還是一個學(xué)生思維結(jié)構(gòu)化、認(rèn)知結(jié)構(gòu)化的過程?！按蟾拍睢痹跀?shù)學(xué)教學(xué)中不僅具有工具性教學(xué)價值，還具有本體性教學(xué)價值。

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