掌握學科基本結(jié)構(gòu)對提高數(shù)學學習效率的意義

李志軍

（江蘇省常州市新北區(qū)三井實驗小學）

布魯納認為：“不論我們教什么學科，務(wù)必使學生理解（掌握）該學科的基本結(jié)構(gòu)。”所謂基本結(jié)構(gòu)，包括該學科的知識結(jié)構(gòu)、學習態(tài)度和學習方法。他還認為：“學習結(jié)構(gòu)，就是學習事物是怎樣相互關(guān)聯(lián)的。”可見，他的結(jié)構(gòu)說包含事物之間的相互聯(lián)系和規(guī)律性，具有“普遍而強有力的適用性”。重視學科的基本結(jié)構(gòu)，懂得了基本原理，能使學科知識變得更容易理解。這樣，也有助于學生對學習內(nèi)容的記憶與理解，有助于增進學習中的遷移，有助于激發(fā)學習動機或?qū)W習興趣，從而提高數(shù)學學習的效率。

一、掌握知識結(jié)構(gòu)，突顯知識本質(zhì)

現(xiàn)行的大部分數(shù)學教材中常將學科結(jié)構(gòu)進行拆解和重編，讓學生一點一點地學習數(shù)學，不斷循環(huán)，螺旋上升。而作為數(shù)學教師，要還原數(shù)學本來的結(jié)構(gòu)，讓學生看到或觸摸到數(shù)學知識核心的完整樣子，使其感悟到隱藏于知識背后的數(shù)學思想。

（一）知識體系結(jié)構(gòu)

菲利克斯·克萊因說：“基礎(chǔ)數(shù)學的教師應(yīng)該站在更高的視角來審視、理解初等數(shù)學問題，只有觀點高了，事物才能顯得明了而簡單；一個稱職的教師應(yīng)當掌握或了解數(shù)學的各種概念、方法及其發(fā)展與完善的過程，以及數(shù)學教育演化的經(jīng)過。”由此類推，小學數(shù)學教師應(yīng)該了解初等數(shù)學的體系和結(jié)構(gòu)，要了解初等數(shù)學史。只有這樣，才能更好地把握教學內(nèi)容，給學生良好的數(shù)學教育。

如“分數(shù)”是小學數(shù)學教學中的一個重要內(nèi)容。何為分數(shù)？分數(shù)產(chǎn)生于實際測量與均分。在數(shù)學史中，由于分數(shù)意義的抽象及分數(shù)的表達方式的繁瑣，使得分數(shù)的發(fā)展陷于僵局。直至將分數(shù)與除法聯(lián)系了起來，發(fā)現(xiàn)了“在除法中，為了使除法運算總可以施行，可以用分數(shù)表示除法的商”之后，分數(shù)才被更多的人所接受，分數(shù)的意義也才有了不同的定義，分數(shù)的內(nèi)涵實質(zhì)也才有了較大的拓展。分數(shù)被定義為是“正整數(shù)p 除以正整數(shù)q 的商”，并作了補充定義：當

關(guān)于分數(shù)，著名數(shù)學教育家張奠宙先生還給出了四種定義。

份數(shù)定義：分數(shù)表示把一個單位平均分成若干份之后表示其中一份或幾份的數(shù)。

商的定義：分數(shù)是兩個整數(shù)相除（除數(shù)不為0）的商。

比的定義：分數(shù)是整數(shù)q與整數(shù)p（p≠0）之比。公理定義：有序的整數(shù)對（p，q），其中p≠0。

解讀分數(shù)發(fā)生發(fā)展的歷史，有利于我們把握分數(shù)的知識本質(zhì)。雖然現(xiàn)行的教材編排有所不同，但他們都還原了分數(shù)的發(fā)展歷史，即先從測量或均分開始，初步感知分數(shù)的意義，再通過分數(shù)與除法的關(guān)系比較拓展分數(shù)的意義。這樣的編排，既符合學生的認識規(guī)律，又利于學生把握分數(shù)意義的內(nèi)涵實質(zhì)。

（二）教材編排結(jié)構(gòu)

任何教學方式、方法的創(chuàng)新，都離不開教師對本學科教學內(nèi)容實質(zhì)的理解和把握，離不開對學生數(shù)學學習規(guī)律的了解和尊重。只有科學、準確、深入地理解教材，才能用好教材，才能做到因材施教。

教材在編寫“分數(shù)的初步認識”這部分內(nèi)容時有兩條線，第一條線就是對“1”的理解。三年級上冊“分數(shù)”這一章，在教學概念時，教材中感知的是把單個物體看做一個具體形象的整體，把這個具象整體平均分成幾份，每份是這個具象整體的幾分之一。所以單個物體實體就是一個具象整體概念“1”。

三年級下冊“分數(shù)的初步認識”則是把多個物質(zhì)實體看做一個抽象的整體，所以多個物質(zhì)實體的集合就是一個抽象整體概念“1”，顯性呈現(xiàn)就是由1 個蘋果到1 筐蘋果的單位“由個到筐”。由原來單個的具象整體到多個物質(zhì)實體集合的抽象整體，是學生認識分數(shù)的一次質(zhì)的飛躍。因此，我們要引導學生認真復習三年級下冊的“一個整體平均分”，處理好“個數(shù)”與“份數(shù)”的區(qū)別。在此基礎(chǔ)上揭示，把一個物體、一個計量單位、一些物體組成的整體都可以用自然數(shù)“1”來表示，這就是單位“1”。得到單位“1”之后，還要引導學生與自然數(shù)1 進行比較，以突出單位“1”的意義。

第二條線就是對關(guān)系的理解。教材從三年級開始一直到五年級上冊的前面部分，更多的是理解部分與整體之間的關(guān)系。就是學生所理解的均分的定義，即把一個整體平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。學習完分數(shù)與除法之間的關(guān)系后，分數(shù)更多的是表示兩個量之間的關(guān)系，這就不僅是部分與整體之間的關(guān)系，也表示兩個相關(guān)聯(lián)的量之間的關(guān)系，更可以表示整體與部分之間的關(guān)系，就出現(xiàn)了假分數(shù)。再到六年級上冊學習“比”時，溝通了分數(shù)與比之間的關(guān)系。這樣，既尊重了學生的學習能力，又突出了分數(shù)的知識本質(zhì)。

整體理解教材的編排結(jié)構(gòu)，在教學“分數(shù)的初步認識”時，我們就會有不一樣的認識，就不會一味地強調(diào)“平均分成若干份，取這樣的一份或幾份”了。由此可以看出，教材的編排注重知識之間的聯(lián)系，通過“橫向遷移”與“縱向深入”，不斷推動學生深入對相關(guān)數(shù)學知識、思想方法、活動經(jīng)驗的體驗。

（三）數(shù)學思想結(jié)構(gòu)

在理解教材編排結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，還要進一步讀懂教材，理解教材知識的呈現(xiàn)方式，把握其中所內(nèi)含的數(shù)學思想方法。相關(guān)數(shù)學知識的認識背景、學生認知方式、內(nèi)化途徑等決定著教材知識呈現(xiàn)的方式。反過來說，只有理解了編排方式，讀懂了其中內(nèi)含的數(shù)學思想方法，才能更好地去教學。

如五年級上冊“平行四邊形的面積計算”，其在進行公式的推導時，教材安排了三個例題。

這三個例題之間有著怎樣的邏輯關(guān)系呢？怎樣引領(lǐng)學生的思維，讓他們能夠通過對平行四邊形面積公式的推導學習，掌握一般平面圖形的面積計算公式的推導方法呢？這是我們在解讀教學內(nèi)容時需要思考的問題。研讀教材，會發(fā)現(xiàn)其中蘊含這樣的思考探究過程：例1 是通過轉(zhuǎn)化前后的面積是否相等，告訴學生圖形的轉(zhuǎn)化要以面積相等為基礎(chǔ)；同時，也正是由于面積相等，所以才能通過轉(zhuǎn)化來推導圖形的面積計算公式，這是面積公式推導的基石。例2 是直接提出問題“你能把右邊的平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形嗎？”這讓很多教師感到困惑，這樣不是會減少學生圖形轉(zhuǎn)化的靈活性嗎？其實不然，有向轉(zhuǎn)化，正是面積計算公式推導的思維基礎(chǔ)。要求推導平行四邊形的面積計算公式，那就必須轉(zhuǎn)化為學過的長方形。因此，就要以長方形的特征為思維基礎(chǔ)，進行有向轉(zhuǎn)化，只有概括長方形的特征，才能得出“沿高剪”的正確結(jié)論，也為以后面積計算公式推導提供思維路徑。例3 則是通過教材第115 頁提供的各種形式的平行四邊形，讓學生從中任意挑選，并提供表格讓學生交流、比較，意在讓學生明確這樣的關(guān)系比較普遍。最后，通過與長方形進行對比和簡單演繹推理過程，得出平行四邊形面積計算公式。這樣就是從等積變形（轉(zhuǎn)化后與轉(zhuǎn)化前面積相等）→有向轉(zhuǎn)化（沿高剪開轉(zhuǎn)化成已學過面積公式圖形）→更多舉例（經(jīng)歷數(shù)學歸納過程）→公式表達（由圖形各要素關(guān)系導出計算公式）的過程。

正是這三個例題中蘊含的四個思考過程，把平面圖形面積計算公式推導的思維路徑展開得科學合理。教學時要把這樣的展開邏輯讓學生充分經(jīng)歷、體驗和感悟，形成思維結(jié)構(gòu)，便于學生在今后的平面圖形面積計算公式乃至立體圖形體積計算公式等推導的學習過程中，自覺運用，形成正向遷移。

二、優(yōu)化認知結(jié)構(gòu)，提高教學效率

布魯納認為：“學生的學習過程是學生原有認知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識和新學習內(nèi)容相互作用（同化），形成新的認知結(jié)構(gòu)的過程。”同化和順應(yīng)是學生認知結(jié)構(gòu)發(fā)生變化的兩種途徑和方式，知識之間的關(guān)系是多向的，有并列、遞進、從屬等關(guān)系。學生對新內(nèi)容的理解與存儲需要進行類比遷移與內(nèi)化，需要讓新舊內(nèi)容產(chǎn)生意義聯(lián)接，在同化、順應(yīng)中形成更為完善的認知結(jié)構(gòu)。

（一）教學推進結(jié)構(gòu)

建構(gòu)原理指出：“學生開始學習一個數(shù)學概念、原理或法則時，要以最合適的方法建構(gòu)其代表。”每一個知識點的教學都要依據(jù)知識的結(jié)構(gòu)和學生的認知結(jié)構(gòu)，選擇有效的教學方式，采取有效的推進結(jié)構(gòu)，是演繹還是歸納，每一個知識內(nèi)容的教學都有自己的展開邏輯與推進結(jié)構(gòu)。如在教學“三角形的內(nèi)角和”時，我們就可以按如下四步逐漸推進。

1.計算比較，提出猜想

學生分別計算兩只三角板的內(nèi)角和，發(fā)現(xiàn)兩只三角板的內(nèi)角和都是180 度。從而引發(fā)猜想：所有三角形的內(nèi)角和都是180度嗎？

2.多元驗證，豐富體驗

首先是分類列舉，集中研究。根據(jù)三角形的分類，從直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形中各選一個，提供給學生共同研究。學生自主選擇用量一量、算一算；撕一撕、拼一拼；折一折、拼一拼的方法去驗證三角形的內(nèi)角和。他們會發(fā)現(xiàn)，量出的三個內(nèi)角的和都在180 度左右；把三角形的三個角切下來，拼到了一起，正好是一個平角；采用折的方法，把三個角折到一起，也正好是一個平角。其次是更多舉例，尋找反例。教師先介紹兩個工具小軟件，一個是蘋果電腦中的APP“圖形活動”，另一個是我們自主開發(fā)的小軟件，稱之為“活動三角形”，就是一個三角形，旁邊顯示出三個內(nèi)角的度數(shù)，并用算式計算出內(nèi)角和。學生任意拖到了一個點，或者一條邊，就會得到若干個新的三角形。接著，讓學生自主選擇方法進一步舉例驗證，方法主要有三個，一是教師提供的一些三角形紙片，二是利用“圖形活動”畫三角形驗證，三是利用“活動三角形”拖動頂點或邊，觀察三角形的內(nèi)角和。學生交流體會時會發(fā)現(xiàn)，在“圖形活動”中，任意畫出的三角形，切出的三角都可以拼成一個平角；拖動“活動三角形”時，三角形的形狀在變，三個內(nèi)角的度數(shù)也在變，但是三角形的內(nèi)角和都是180度。沒能找到內(nèi)角和不是180 度的三角形。最后是了解經(jīng)典，豐富認識。學生自主觀察小帕斯卡的驗證方法，看完后與同桌交流。一個長方形的內(nèi)角和是360度，平均分成兩個直角三角形，每個直角三角形的內(nèi)角和是180 度。任意一個銳角三角形或者鈍角三角形都可以沿著高分成兩個直角三角形，每個直角三角形的內(nèi)角和是180度，兩個直角三角形的內(nèi)角和是360度，去掉拼成一條邊的兩個直角的度數(shù)，原來三個角的度數(shù)和是180度。

3.介紹證明，得出結(jié)論

教師介紹關(guān)于三角形的內(nèi)角和等于180 度，還有更多的驗證方法。數(shù)學是一門嚴謹?shù)目茖W，僅靠驗證是不行的，數(shù)學家們還進行了嚴格的證明，最后得出結(jié)論：三角形的內(nèi)角和等于180度。

4.回顧研究，交流體會

教師借助學生的研究成果，以圖片的形式，領(lǐng)著學生一起回顧研究過程，啟發(fā)學生思考：前面的研究過程中，你印象最深刻的是什么？有什么體會？

（二）習題編排結(jié)構(gòu)

比較和變式原理指出：“從具體形式到抽象形式的過渡，需要比較和變式，比較是幫助學生直觀地學習數(shù)學概念、提高其抽象水平最有用的方式之一。”任何知識的學習，能力的養(yǎng)成，必須有一定量的練習。做怎樣的習題，習題如何呈現(xiàn)，這里也存在一定的結(jié)構(gòu)。教學中，我們要根據(jù)知識的本質(zhì)，將相關(guān)習題以題組的形式呈現(xiàn)，讓學生在比較中突出知識本質(zhì)，在辨別中掌握方法，掌握解題的一般步驟。

在學習完“求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾”后，可以提供如下一組練習：

學校體育室有50 只足球，有40 只排球。排球的只數(shù)是足球的百分之幾？

學校體育室有50 只足球，排球比足球少10 只。排球的只數(shù)是足球的百分之幾？

學校體育室有40 只排球，足球比排球多10 只。排球的只數(shù)是足球的百分之幾？

這組練習中，不管題目如何變化，最終都是用排球的只數(shù)除以足球的只數(shù)。如果當中某個數(shù)量沒有直接告訴我們，則需要根據(jù)給出的條件先表示出某個數(shù)量，最終形成結(jié)構(gòu)：“求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾”與之前學習的“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾”是一樣的，都是用一個數(shù)除以另一個數(shù)。就這樣形成了解題的思維結(jié)構(gòu)。當然，有些題目也有一些特殊的方法，如第4 個題目，就有不同的方法。但是，盡管有不同的方法，上述這種方法才是最本質(zhì)的方法。

（三）知識儲存結(jié)構(gòu)

關(guān)聯(lián)原理提出：“應(yīng)當把各種概念、原理聯(lián)系在一起，在一個統(tǒng)一的系統(tǒng)中學習。”要使學習卓有成效，就必須說明和理解數(shù)學概念之間的聯(lián)系。如果學習的一個新知識，能夠納入學生已經(jīng)有的認識結(jié)構(gòu)中去，學生就能輕松理解和記憶，就能理解知識之間的本質(zhì)，就能溝通知識之間的聯(lián)系與區(qū)別。

在學習“分數(shù)加減法”時，可以總結(jié)出異分數(shù)分數(shù)加減法的一般方法：先通分，再按同分母分數(shù)加減法的法則進行計算。引導學生回憶，我們在之前學習整數(shù)加減法、小數(shù)加減法時，一般是如何計算的。得出：計算整數(shù)加減法時，要把數(shù)的末尾對齊，從低位算起；小數(shù)加減法時，要把小數(shù)點對齊，再從低位算起。啟發(fā)學生思考：為什么計算整數(shù)加減法時，要把末尾對齊；小數(shù)加減法時要把小數(shù)點對齊；分數(shù)加減法時，卻要先通分。通過討論，交流得出：計數(shù)單位相同的數(shù)才可以直接相加減，這些做法都是為了讓計數(shù)單位相同的數(shù)對齊。

“獲得的知識，如果沒有完整的結(jié)構(gòu)把它聯(lián)系在一起，那是一種多半會被遺忘的知識。”注重結(jié)構(gòu)的學習不是機械的學習，不是讓人很快遺忘的學習，而是有質(zhì)量的學習，有發(fā)展的學習，是一種素養(yǎng)提升的學習。

把握數(shù)學學科本質(zhì)、遵循兒童認知規(guī)律、科學施教，促進學生數(shù)學素養(yǎng)發(fā)展，是數(shù)學教育的追求。讓學生感悟到結(jié)構(gòu)的小學數(shù)學課堂，可以讓學生用最少的時間，把握數(shù)學的精華，豐盈思維的結(jié)構(gòu)，提升數(shù)學的素養(yǎng)。