也談桌邊滑鏈的飛離問題

湯幼強(qiáng) 黃亦斌

(1南昌縣蓮塘第一中學(xué)，江西 南昌 330200；2江西師范大學(xué)，江西 南昌 330031)

鏈條(或有質(zhì)量軟繩)模型是大家經(jīng)常討論的一個(gè)話題，通常當(dāng)成變質(zhì)量問題來處理。一個(gè)常見情況是鏈條沿光滑桌邊滑落[1-6](見圖1(a))。此時(shí)需要注意一種可能性，即滑鏈速度較大時(shí)，它可能在頂角處飛起來，與桌面脫離。要避免這種可能性，需要加裝一個(gè)擋板(如圖1(b))，否則滑鏈飛起來后會(huì)很難處理。

圖1 桌邊滑鏈與擋板

可以通過計(jì)算支持力來判斷滑鏈何時(shí)飛起。同時(shí)，也可以將具有奇異性的頂角點(diǎn)規(guī)則化為一段圓弧來考慮細(xì)節(jié)。將頂點(diǎn)規(guī)則化為圓弧，這只是一種常見方案而已，當(dāng)然也可設(shè)定其為其他光滑曲線。曲線不同，自然下面討論一和討論二中的許多細(xì)節(jié)會(huì)不同，但不會(huì)影響一些基本的結(jié)論，比如鏈條是可能飛起來的。弧長(zhǎng)線度趨于零(即討論三中的頂角)的極限行為也將與具體的規(guī)則化方案無關(guān)。下面分幾種情形來考慮。

1 初始靜止時(shí)鏈條完全水平

如圖2所示，柔軟細(xì)鏈條的質(zhì)量均勻分布，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，線密度為λ，桌邊的圓弧半徑為R。接觸面光滑。假設(shè)鏈條一端從桌邊圓弧的起始位置A被觸發(fā)下滑，初始速度為零。文獻(xiàn)[2]考慮了該問題，但出現(xiàn)了不當(dāng)分析。

圖2 桌邊滑鏈的初始和中間狀態(tài)

設(shè)鏈條最下端仍在圓弧上，離開OA的夾角為α(即文獻(xiàn)[2]中的2θ，見圖2(b))。取圓弧上的一段微元(見圖3)，其角坐標(biāo)為β(0≤β≤α)，角寬度為dβ。一般地，只要鏈條貼合弧線，那么對(duì)于該微元可列出切向和法向的動(dòng)力學(xué)方程：

圖3 微元分析

其中dm=λds=λRdβ。文獻(xiàn)[2]是基于式(2)給出對(duì)支持力dN的分析，但對(duì)其中的張力T沒有給出表達(dá)式，從而給出了不當(dāng)?shù)亩ㄐ苑治觥Ｏ挛募词且玫綇埩Φ慕馕鼋Y(jié)果。

式(1)中的切向加速度at是整段繩子所具有的，不論其處于圓弧段(此時(shí)還有法向加速度)還是水平段，故它與β無關(guān)，只跟時(shí)間有關(guān)。其表達(dá)式有賴于滑鏈的最下端在圓弧上還是已經(jīng)過B點(diǎn)垂下，圖中是前者。設(shè)經(jīng)過dt時(shí)間，滑鏈下端的角坐標(biāo)α增加dα，于是鏈條的勢(shì)能減少λgRdα(1-cosα)(相當(dāng)于把dα的一段從水平桌面搬到鏈條最下端處)。又設(shè)各處的切向速度增加dvt，則鏈條的動(dòng)能增量為λLvtdvt。根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有

λLvtdvt=λgRdα(1-cosα)

兩邊同除以dt，注意vt=Rdα/dt，故得[2]：

(3)

對(duì)于張力，由式(1)對(duì)β積分(注意at是常數(shù))，并利用邊界條件T|β=α=0，可以得到

T=λRat(β-α)+λRg(cosβ-cosα)

(4)

將式(3)代入即得張力的表達(dá)式

(5)

由此不難得到桌面水平部分與圓弧部分交界的A點(diǎn)處的張力：

T|β=0=λ(L-Rα)at

(6)

這正好是提供水平部分加速度的拉力。(默認(rèn)L>Rα，即鏈條足夠長(zhǎng)，不會(huì)比1/4圓弧更短；或者即使更短，我們也只是考慮仍有水平部分時(shí)的狀態(tài)。)

文獻(xiàn)[2]中認(rèn)為，張力從β=0開始隨β增加而單調(diào)減小，但實(shí)際上并非如此。這導(dǎo)致文獻(xiàn)[2]中隨后的討論需要重新進(jìn)行。由式(5)或式(1)可以得到，

(7)

下面討論微元所受的支持力dN。式(2)中除了張力外還有速度，而速度還賴于初始條件(張力則只依賴于當(dāng)前的位形)。根據(jù)題設(shè)，v|α=0=0，可以由機(jī)械能守恒定律得到

(8)

于是，把式(5)和式(8)代入式(2)，即得

(9)

現(xiàn)在可以討論dN的變化趨勢(shì)以尋找其最小值了。去掉正系數(shù)，式(9)的導(dǎo)數(shù)為

換個(gè)思路：dN的最小值一定在起點(diǎn)β=0或終點(diǎn)β=α的處。要想鏈條與弧線貼合，只需這兩端的支持力非負(fù)，此外還有L>Rα。于是得到不等式組：

(10)

前兩個(gè)式子分別表示β=0處和β=α處的dN≥0。三式都取等號(hào)對(duì)應(yīng)下面參數(shù)空間中的三條臨界線(依次編號(hào))，且各自的允許區(qū)域都在各自臨界線的左邊，這只要讓R/L→0即可看出來。而P點(diǎn)的數(shù)值坐標(biāo)是(1.14741,49.9349)。于是，最終的允許區(qū)域如圖4所示是曲線③與曲線②所圍成的左下方區(qū)域。

圖4 鏈條初始水平時(shí)參數(shù)空間中的允許區(qū)域

2 初始靜止時(shí)鏈條覆蓋整個(gè)圓弧

下面討論另一種情形：鏈條初始靜止時(shí)覆蓋了整個(gè)1/4圓周，水平部分和垂直部分都有。設(shè)某時(shí)刻下端離B點(diǎn)的距離為y(初始值為y0)。此時(shí)，圓弧部分微元的受力分析式(1)、式(2)都成立，但切向加速度at需修改。設(shè)鏈條下端坐標(biāo)y增加dy，前面的相關(guān)推理照搬，只不過勢(shì)能減少量為λgdy(R+y)，由機(jī)械能守恒定律得到

(11)

對(duì)式(1)積分，注意邊界條件T|β=π/2=λ(g-at)y(對(duì)垂直部分進(jìn)行分析可得)，有

(12)

由此可得A點(diǎn)處的張力：

(13)

這正好是提供水平部分加速度的拉力(默認(rèn)L>y+πR/2，即尚存水平部分)。張力式(12)導(dǎo)數(shù)為

(14)

故而張力仍然是先增大后減小。

為了得到微元所受的支持力dN，先由機(jī)械能守恒定律和初始條件v|y=y0=0得到速度：

(15)

于是，由式(2)和式(12)即得

(16)

其中為使表達(dá)式簡(jiǎn)短，并未代入式(11)和式(15)。該式的導(dǎo)數(shù)正比于at-2gsinβ，故dN必然先增加后減小，轉(zhuǎn)折點(diǎn)是β=arcsin(at/2g)<π/2。dN的最小值仍只能出現(xiàn)在兩端處。

然而，可具體計(jì)算出，A點(diǎn)的數(shù)值必大于B點(diǎn)的數(shù)值，故僅需考慮B點(diǎn)的支持力dN。把式(11)和式(15)代入，有

(17)

圖5 初始完全覆蓋圓弧時(shí)參數(shù)空間中的允許區(qū)域

3 桌邊拐角為直角

值得一提的是桌邊為直角(R=0)的情形。此時(shí)，上圖中C點(diǎn)上移至L/2處，D點(diǎn)與E點(diǎn)重合。這意味著不論初始時(shí)下垂長(zhǎng)度y0是多少，鏈條總會(huì)在水平部分完全滑完之前在桌角處開始飛離。

圖6 桌邊為直角時(shí)的受力分析

(18)

(對(duì)y方向列質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理，將發(fā)現(xiàn)Fy也是上面的表達(dá)式。)再考慮式(15)(令R=0)，可得

(19)

4 結(jié)語

總之，本文仔細(xì)研究了三種具有代表性的情形下桌邊滑鏈的飛離問題。前兩種都是把桌邊頂角規(guī)則化為四分之一圓周，然后考慮了初始靜止時(shí)鏈條完全水平和覆蓋整個(gè)圓弧兩種情形，第三種是回到通常的抽象為直角的模型。三者情形都給出了詳細(xì)的討論方案，可以轉(zhuǎn)化為處理其他各種情形。討論表明，鏈條下滑時(shí)完全可能飛起來脫離桌面，故需要小心。

最后，關(guān)于加速度奇點(diǎn)問題，文獻(xiàn)[3]給出了正確的回答。本文中，圖6的拐角處存在加速度奇點(diǎn)(即δ型無窮大[7])。而在圖2、圖3中的A點(diǎn)和B點(diǎn)(若有鏈條滑過)，加速度也值得一提：它們不是奇點(diǎn)，而是弱一些的突變點(diǎn)(第一類間斷點(diǎn))。