三維空間中由坐標(biāo)和電勢確定勻強(qiáng)電場矢量的矩陣公式

李 力

(重慶市清華中學(xué)，重慶 400054)

1 由坐標(biāo)和電勢確定勻強(qiáng)電場矢量的矩陣公式

在三維空間中建立直角坐標(biāo)系O-xyz，任意三點(diǎn)A,B,C的位矢各為ri=(xi,yi,zi)，其中i=1,2,3。設(shè)空間中有勻強(qiáng)電場E=(Ex,Ey,Ez)，測得原點(diǎn)O以及A,B,C的電勢分別為φi(i=0,1,2,3)，進(jìn)而算出此三點(diǎn)到原點(diǎn)O的電勢差分別為Ui0(其中i=1,2,3)，則由靜電場電場強(qiáng)度與電勢梯度之間的關(guān)系E=-φ[1]，并注意到勻強(qiáng)電場場強(qiáng)是恒矢量，得

E·ri=-Ui0=U0i=φ0-φi(i=1,2,3)

(1)

可以寫出分別沿r1,r2,r3的三個(gè)方程為

(2)

如果令矩陣

(3)

那么上面的線性方程組(2)可以寫成矩陣方程的形式[2]

RE=U

(4)

如果行列式|R|≠0(幾何意義為r1,r2,r3不共面)，由克萊姆法則得方程組(2)的解為

(5)

當(dāng)然在行列式|R|≠0的條件下，表明存在逆矩陣R-1，那么方程(4)的解可寫為

(6)

由上述可知，從這個(gè)物理問題建立的數(shù)學(xué)方程分別是矢量方程形式(1)、線性方程組形式(2)和矩陣方程形式(4)，求解的一般公式中最簡明的是矩陣公式(6)。

從上述推導(dǎo)過程還可以看出，在三維空間中確定勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)矢量，需要已知不共平面的任意4個(gè)點(diǎn)的電勢(或相應(yīng)的3個(gè)電勢差)。于是不難明白，如果已知?jiǎng)驈?qiáng)電場與某平面平行，則只需已知不共直線的3個(gè)點(diǎn)的電勢(或相應(yīng)的2個(gè)電勢差)，式(2)～式(6)將改寫為相應(yīng)的更容易求解的二維形式，此處不再贅述。

2 幾個(gè)三維和二維例子

例1已知?jiǎng)驈?qiáng)電場中點(diǎn)A(1,1,1),B(2,1,3),C(0,3,4)的電勢分別為10V，17V,24V,而原點(diǎn)電勢為3V，坐標(biāo)軸上單位長度為1m，求場強(qiáng)矢量。

解：不用照套公式，從式(1)可得式(2)形式的方程組為Ex·2=1-3，Ey·3=1-4，Ez·4=1-5，故E=(-1,-1,-1)V/m。

例3一勻強(qiáng)電場的方向平行于xOy平面，平面內(nèi)a,b,c三點(diǎn)的位置如圖1所示，三點(diǎn)的電勢分別為10V,17V,26V，求電場強(qiáng)度的大小。

圖1 二維問題舉例

解：這是2017年全國高考課標(biāo)Ⅲ卷的第21題，是一個(gè)平面問題，通常用尋找等勢點(diǎn)的幾何方法求解是比較繁瑣的[3]。當(dāng)然可以直接用套用退化后的二維形式解決，這里采用更簡潔靈活的解題策略[3]。因?yàn)閍o//cb且ao=cb，根據(jù)勻強(qiáng)電場性質(zhì)φa-φ0=φc-φb，得φ0=1V，所以

3 結(jié)語

本文用線性代數(shù)方法，導(dǎo)出三維空間中由電勢確定勻強(qiáng)電場場強(qiáng)矢量的矢量形式方程(1)、線性方程組形式(2)和矩陣方程形式(4)，給出了解的一般公式(5)和公式(6)，求解了幾例三維問題和二維問題。這一方法無需尋找等電勢點(diǎn)和復(fù)雜的幾何關(guān)系，即使當(dāng)所給位置關(guān)系或電勢數(shù)值比較一般化甚至為一系列已知字母時(shí)，也能直接統(tǒng)一、簡潔地求出場強(qiáng)矢量，明顯優(yōu)于“通過尋找等電勢點(diǎn)再確定等勢(面)線及場強(qiáng)方向最后計(jì)算場強(qiáng)大小”的幾何方法。