理工科專業(yè)基于MATLAB輔助線性代數(shù)教學(xué)改革與實(shí)踐

李泓霖

(重慶師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院 重慶 401331)

線性代數(shù)是各理工科專業(yè)的一門基礎(chǔ)必修課，具有廣泛的實(shí)用性，其主要研究線性空間相關(guān)問題，邏輯性較強(qiáng)。線性問題廣泛存在于各個(gè)科技領(lǐng)域，本課程所介紹的方法可適用于各個(gè)學(xué)科。通過該課程的學(xué)習(xí)，要求學(xué)生掌握線性代數(shù)的基本內(nèi)容，如行列式、矩陣、線性方程組、線性空間等[1]；預(yù)期能夠使學(xué)生具備一定的空間想象力和分析解決問題的能力，為后繼專業(yè)課的學(xué)習(xí)做好必要的數(shù)學(xué)準(zhǔn)備。這些學(xué)科特點(diǎn)對(duì)線性代數(shù)的教學(xué)提出了新要求，不僅要求學(xué)生掌握基礎(chǔ)的知識(shí)、具備解決基本問題的能力，還要在此基礎(chǔ)之上謀求創(chuàng)新發(fā)展。我國(guó)高校目前大多重知識(shí)輕實(shí)踐，對(duì)關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)的理解把握關(guān)注不夠。這就造成了許多應(yīng)用型工科專業(yè)學(xué)生對(duì)相關(guān)概念的具體內(nèi)涵不甚清楚。線性代數(shù)課程最大的特點(diǎn)是理論性強(qiáng)、知識(shí)體系涵蓋范圍廣，要求學(xué)生準(zhǔn)確把握和理解關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)存在相當(dāng)?shù)碾y度。實(shí)際教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生面對(duì)諸如轉(zhuǎn)置、分塊矩陣、向量?jī)?nèi)積，尤其是特征值和特征向量等抽象概念的時(shí)候，只能憑想象去理解而無(wú)法建立直觀的感受，因而常產(chǎn)生厭學(xué)情緒，傷害學(xué)生的積極性，教學(xué)效果往往不及預(yù)期[2]。針對(duì)上述線性代數(shù)課程特點(diǎn)，我們從教學(xué)模式方面進(jìn)行了全新的嘗試。經(jīng)過兩學(xué)期的教學(xué)實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)利用MATLAB輔助教學(xué)可在最大程度上幫助學(xué)生直觀地理解線性代數(shù)的幾個(gè)重要概念并達(dá)到課程培養(yǎng)目的。

一、線性代數(shù)教學(xué)現(xiàn)狀

線性代數(shù)是我院電子專業(yè)本科學(xué)生的專業(yè)主干課程，其教學(xué)目標(biāo)是使學(xué)生基本掌握幾類計(jì)算方法，較好地理解線性代數(shù)這門課的抽象理論，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力、自學(xué)能力和應(yīng)用能力。但以往課堂教學(xué)無(wú)法達(dá)到這種效果，主要是由于以下幾點(diǎn)問題：

（一）學(xué)習(xí)缺乏積極性

本專業(yè)的線性代數(shù)安排在大一上，與高數(shù)同步進(jìn)行。此時(shí)學(xué)生不僅要適應(yīng)高數(shù)的教學(xué)節(jié)奏，還要逐漸培養(yǎng)適合線性代數(shù)的學(xué)習(xí)策略。從實(shí)際反饋看，大一學(xué)生普遍反映線性代數(shù)難于高等數(shù)學(xué)，出現(xiàn)了畏學(xué)厭學(xué)、學(xué)習(xí)興趣減弱、積極性下降等情緒。這些現(xiàn)象主要是由于高數(shù)中如函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等概念可以順利延續(xù)中學(xué)的理解，學(xué)生可以快速構(gòu)建自己的數(shù)學(xué)體系來(lái)幫助理解新知識(shí)[3]。而線性代數(shù)的很多概念都是全新的，比如行列式、轉(zhuǎn)置、逆序數(shù)、矩陣、秩、正交等，而且線性代數(shù)知識(shí)體系有較強(qiáng)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性和邏輯性，對(duì)大一新生而言，一旦初期跟不上，后續(xù)很難通過自學(xué)完成課程目標(biāo)，導(dǎo)致失去學(xué)習(xí)興趣。

（二）知識(shí)體系聯(lián)系緊密、內(nèi)容抽象

線性代數(shù)的知識(shí)點(diǎn)都具有一定的抽象性和概括性。教學(xué)中很多時(shí)候不可避免地脫離實(shí)際情景去講述重點(diǎn)難點(diǎn)，這樣教學(xué)模式就顯得單一，內(nèi)容難免枯燥晦澀。此外，我們調(diào)研發(fā)現(xiàn)各大高校的線性代數(shù)教學(xué)安排普遍為32學(xué)時(shí)，考慮到實(shí)際情況我們學(xué)院增加到了48學(xué)時(shí)，但實(shí)際教學(xué)過程中仍感到學(xué)時(shí)略顯不足。

（三）教學(xué)模式傳統(tǒng)，學(xué)習(xí)方式單一

目前我院線性代數(shù)采用課堂講授、課后做題的傳統(tǒng)的授課模式，學(xué)生基數(shù)大，難于單個(gè)獨(dú)立輔導(dǎo)，學(xué)生在課堂上有疑問無(wú)法及時(shí)得到解決，只能對(duì)共性問題加以解釋[4]。為了在有限的時(shí)間內(nèi)完成規(guī)定的課程目標(biāo)和教學(xué)任務(wù)，教師往往專注于重要知識(shí)點(diǎn)的講授，側(cè)重于理論的闡述，而相應(yīng)的背景知識(shí)、如何靈活運(yùn)用、怎樣與專業(yè)知識(shí)相聯(lián)結(jié)等方面相應(yīng)地有所減弱，這就會(huì)出現(xiàn)學(xué)生只懂得做題，而不會(huì)利用所學(xué)解決實(shí)際問題的情況。

（四）評(píng)價(jià)體系不完善

與大多數(shù)兄弟院校類似，目前我院對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的考核方式為期中考試、平時(shí)成績(jī)和期末考試，各占30%、20%和50%。平時(shí)成績(jī)主要以考勤、作業(yè)及課堂表現(xiàn)進(jìn)行考核。該考核體系測(cè)評(píng)因素多為考查學(xué)生的計(jì)算能力、知識(shí)點(diǎn)掌握的程度和一部分應(yīng)用能力，而對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性、創(chuàng)新性、創(chuàng)造性等自主學(xué)習(xí)能力測(cè)查不夠。

二、針對(duì)線性代數(shù)教學(xué)現(xiàn)狀的改進(jìn)措施

（一）著重培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性

要提高學(xué)生對(duì)線性代數(shù)的學(xué)習(xí)興趣，需要加強(qiáng)所學(xué)知識(shí)與相關(guān)專業(yè)課程的融合，調(diào)整傳統(tǒng)單一授課模式，順應(yīng)高校教學(xué)發(fā)展，將專業(yè)軟件、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等融入日常教學(xué)中，充分利用好工科專業(yè)具備的實(shí)訓(xùn)環(huán)境與硬件資源，培養(yǎng)學(xué)生實(shí)際操作分析能力。以我院為例，近年來(lái)不斷加強(qiáng)線性代數(shù)與python、MATLAB、大數(shù)據(jù)分析等課程的整合溝通，讓學(xué)生切身感受到知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值。

（二）改進(jìn)考核方式，增加實(shí)踐環(huán)節(jié)

課程考核是衡量教學(xué)成果、評(píng)價(jià)學(xué)習(xí)成效的重要環(huán)節(jié)。根據(jù)我們近幾年的實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，可在原期中考試、平時(shí)成績(jī)和期末考試三部分中加入第四環(huán)節(jié)：課程實(shí)踐，占總成績(jī)的10%，期中考試分值降至20%。課程實(shí)踐采用課后作業(yè)形式自由發(fā)揮，遴選具有一定抽象性與發(fā)散性的知識(shí)點(diǎn)，結(jié)合實(shí)際背景，讓學(xué)生充分討論分析，查閱文獻(xiàn)等相關(guān)資料，最后以電子文檔形式給出解決方案。

（三）改進(jìn)教學(xué)方法，豐富教學(xué)手段

加強(qiáng)線性代數(shù)知識(shí)的理解并為后續(xù)綜合應(yīng)用需從兩方面認(rèn)識(shí)：課堂知識(shí)與應(yīng)用技能[5]。課堂知識(shí)是實(shí)踐應(yīng)用的基礎(chǔ)，從程序本身講，線性代數(shù)中的絕大部分知識(shí)點(diǎn)都可用MATLAB來(lái)實(shí)踐。我們需要做的就是適當(dāng)合理地引導(dǎo)學(xué)生，使其熟練掌握這些可由程序完成的運(yùn)算操作。通過前期溝通，我們學(xué)院將MATLAB也安排在了大一上學(xué)期開設(shè)，這樣利用軟件來(lái)完成線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)的理解和鞏固成了最優(yōu)的安排配置，以此提高學(xué)生運(yùn)用知識(shí)的能力。讓學(xué)生運(yùn)用MATLAB進(jìn)行簡(jiǎn)單操作，并實(shí)踐相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)包括：行列式與矩陣、轉(zhuǎn)置的概念、矩陣的秩、矩陣的基本運(yùn)算以及求解線性方程組等。

三、基于MATLAB平臺(tái)的實(shí)踐教學(xué)探索

要對(duì)線性代數(shù)進(jìn)行教學(xué)改革，理論聯(lián)系實(shí)際則成了不可或缺的環(huán)節(jié)。最好的方式是讓學(xué)生自己動(dòng)手，依托所學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行相關(guān)具體探索與操作。矩陣及其運(yùn)算、轉(zhuǎn)置、向量的內(nèi)積等知識(shí)點(diǎn)往往抽象難懂，課堂講授的模式學(xué)生較難理解[6]。為了解決這一現(xiàn)實(shí)問題，我們結(jié)合同期開設(shè)的MATLAB課程搭建起了成本低、簡(jiǎn)單易用、界面人性化的MATLAB實(shí)踐教學(xué)平臺(tái)，作為課堂講授的有效補(bǔ)充。

以第二章矩陣及其運(yùn)算章節(jié)為例，矩陣的基本運(yùn)算性質(zhì)（假設(shè)運(yùn)算可行）包括滿足交換律和結(jié)合律，而矩陣與數(shù)的乘法是將數(shù)乘矩陣A中的每一個(gè)元素。我們?cè)诮忉尵仃嚺c數(shù)的乘法這一知識(shí)點(diǎn)時(shí)，讓學(xué)生做出一個(gè)矩陣圖形，然后對(duì)其進(jìn)行數(shù)乘操作，可以非常直觀地理解為什么需要將數(shù)乘以矩陣A中的每一個(gè)元素。

圖1 利用MATLAB對(duì)矩陣數(shù)據(jù)進(jìn)行作圖（學(xué)生作業(yè)）

能帶結(jié)構(gòu)是半導(dǎo)體物理中重要的基礎(chǔ)知識(shí)，我們給學(xué)生一個(gè)半導(dǎo)體能帶結(jié)構(gòu)的矩陣數(shù)據(jù)，要求學(xué)生利用MATLAB作出相應(yīng)圖形，而后進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算。能帶結(jié)構(gòu)是半導(dǎo)體物理中的概念，貫穿電子專業(yè)后續(xù)必修課程的學(xué)習(xí)。對(duì)能帶的理解需要固體物理相關(guān)知識(shí)的支撐，這對(duì)學(xué)生存在一定的難度。這一步我們直接給出矩陣數(shù)據(jù)，讓學(xué)生自由作圖并修改。圖1為學(xué)生實(shí)際作出的能帶矩陣圖，從中可看出半導(dǎo)體的寬度及導(dǎo)帶和價(jià)帶等特征。如果對(duì)其進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)算，則圖形整體將發(fā)生變化，這使得學(xué)生能夠直觀地看出為什么矩陣的數(shù)乘運(yùn)算要對(duì)矩陣中的每一個(gè)元素進(jìn)行操作，使學(xué)生明白其中的關(guān)聯(lián)。同時(shí)更可加深對(duì)晶體結(jié)構(gòu)、作圖細(xì)節(jié)等技能的理解和掌握，為后續(xù)深入學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。根據(jù)我們的觀察分析，這種實(shí)踐環(huán)節(jié)的加入能夠明顯提高學(xué)生的主動(dòng)性和積極性。通過MATLAB輔助實(shí)踐教學(xué)，明顯改善了線性代數(shù)的教學(xué)效果，讓學(xué)生更深入地理解線性代數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)，激發(fā)了他們的創(chuàng)新思維和鉆研精神。

四、結(jié)束語(yǔ)

線性代數(shù)是工科專業(yè)的一門基礎(chǔ)必修課，不僅要求學(xué)生了解相關(guān)基本概念、基本知識(shí)和基本方法，為后續(xù)專業(yè)課打牢基礎(chǔ)，還要提高實(shí)際解決問題的能力。本專業(yè)的培育目標(biāo)是為社會(huì)輸出合格的應(yīng)用型人才，根據(jù)以往線性代數(shù)教學(xué)過程中存在的問題，我們對(duì)相關(guān)的教改內(nèi)容提出幾點(diǎn)思考，并進(jìn)行了有益探索。本文介紹了MATLAB在教學(xué)實(shí)踐方面的應(yīng)用，結(jié)果顯示這種模式可初步解決線性代數(shù)課程抽象難懂的問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有效補(bǔ)充實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié)。