1+1=2 到底教會了學(xué)生什么？
——小學(xué)加法算理研究對學(xué)生加法計(jì)算能力的重要性研究

江蘇南京市考棚小學(xué) 婁力云

一、什么是1+1=2

提到“1+1=2”這個(gè)算式，無人不知，無人不曉，剛?cè)雽W(xué)的小學(xué)生都能脫口而出這道算式的答案。一年級數(shù)學(xué)教材里，也涉及了簡單的加法算式。我們在日常教學(xué)中往往會發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的口算能力并不是在課堂上得到提高，而是在“計(jì)算能手”“口算冊”里得到提高。學(xué)生通過大量的計(jì)算練習(xí)，使得自己的口算做得又對又快，然后走進(jìn)一個(gè)誤區(qū)，就是“我會了”。筆者不禁想問，學(xué)生真的會了嗎？他們學(xué)會的到底是什么？

數(shù)是一個(gè)神秘的領(lǐng)域，人類最初對數(shù)并沒有概念。但是，因?yàn)樯畹男枰屓祟惸X海中逐漸有了“數(shù)量”的影子。“數(shù)”起源于遠(yuǎn)古時(shí)代，為了維持生活，人們必須每天外出狩獵和采集果實(shí)。有時(shí)他們滿載而歸，有時(shí)卻一無所獲；帶回的食物有時(shí)富余，有時(shí)卻不足果腹。生活中這種數(shù)與量上的變化，使人類逐漸產(chǎn)生了數(shù)的意識。在那個(gè)時(shí)候，人類開始了解有與無、多與少的差別，進(jìn)而知道了一和多的區(qū)別，然后又有了從多到二、三等單個(gè)數(shù)目概念的形成。

“1+1=2”，就是一個(gè)蘋果加上另一個(gè)蘋果，等于兩個(gè)蘋果；就是一朵花加上另一朵花等于兩朵花；一件衣服加上另一件衣服等于兩件衣服。推廣之，就是一個(gè)物體，加上另一個(gè)物體，等于兩個(gè)這樣的物體。“1+1=2”，它是一道算式，但又不僅僅是一道算式，它是建立在數(shù)量上，由于數(shù)量發(fā)生變化之后的數(shù)量與數(shù)量之間的變化關(guān)系式。

二、加法究竟應(yīng)該怎么教

1.算式背后的數(shù)學(xué)含義

在蘇教版數(shù)學(xué)一年級上冊“10以內(nèi)的加法和減法”中，有這樣的一道例題，如圖1。

教學(xué)3+2=5。在課前，筆者進(jìn)行了學(xué)情研究。筆者教學(xué)的兩個(gè)班，每個(gè)學(xué)生都知道3+2=5。這就表明，這道數(shù)學(xué)算式的算法，學(xué)生都掌握了。筆者又了解了一下學(xué)生是怎么知道的。不少學(xué)生說，這道題家長教過。有一個(gè)學(xué)生是這樣告訴筆者的：“婁老師，3加上2，本來就是5呀，不是5是幾呢？”在了解學(xué)情的過程中，筆者發(fā)現(xiàn)計(jì)算方法對于學(xué)生來說并不是一個(gè)難點(diǎn)。對于學(xué)生來說真正沒有掌握到的，恰恰是為什么這里要用3加2。圖1中，左邊有三個(gè)學(xué)生在澆花，用3表示，右邊有兩個(gè)學(xué)生，用2表示。因?yàn)檫@兩個(gè)學(xué)生是另外過來的，所以要將之前的3個(gè)人和后來的2個(gè)人合起來，所以用加法。

基于上面的分析，那么當(dāng)教師在教學(xué)“3+2”時(shí)，就應(yīng)該有所側(cè)重。看似這道題是在教學(xué)算式，但在進(jìn)行了學(xué)情了解之后，教學(xué)的重點(diǎn)應(yīng)該放在為什么用加法計(jì)算。因?yàn)槭乔蠛掀饋硪还灿袔兹耍杂眉臃ㄓ?jì)算。了解到這樣的數(shù)學(xué)本質(zhì)之后，學(xué)生才能對其進(jìn)行推廣，從而明白，當(dāng)求一共有多少時(shí)，要用加法計(jì)算。用原有的數(shù)量加上之后的數(shù)量，得到的結(jié)果就是變化之后的總數(shù)量。

2.加法算式算理理解對于加法計(jì)算的幫助

在教學(xué)當(dāng)中，教師經(jīng)常會遇見一種情況，就是家長在與教師交流時(shí)，總是會抱怨孩子在做10以內(nèi)加減法計(jì)算時(shí)，總是會錯(cuò)那么幾題，不知道該怎么辦。在前文中提到，學(xué)生在做計(jì)算練習(xí)時(shí)，通常是以刷題為主，運(yùn)用到的都是10以內(nèi)加減法的算法而非算理。

筆者在班級中選擇了4個(gè)學(xué)生，做了兩組對比分析，每組兩人。將A組學(xué)生聚集在一起，針對練習(xí)冊上的錯(cuò)題“4+5”，套上實(shí)際情景，結(jié)合情境給學(xué)生分析了錯(cuò)題的算理，并讓學(xué)生以兩人一組的形式互相把“4+5”這道算式背后的數(shù)量關(guān)系說給對方聽。而對B組的兩位同學(xué)沒有做過多干預(yù)，在糾錯(cuò)時(shí)僅僅讓他們靠記憶力去想，4+5究竟等于幾。每天筆者都選取了一道10以內(nèi)的加法題進(jìn)行了對照試驗(yàn)。兩周后，A組的兩位同學(xué)在計(jì)算中的錯(cuò)誤明顯減少。說明當(dāng)學(xué)生加強(qiáng)了算理的理解時(shí)，其數(shù)學(xué)計(jì)算能力也隨之得到了提高。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)加法算理研究對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性

1.什么是算理

何為算理？顧名思義，算理就是計(jì)算過程中的道理，是指計(jì)算過程中的思維方式，是解決為什么這樣算的道理。如計(jì)算3+2時(shí)，就是根據(jù)數(shù)的組成進(jìn)行演算的：把3個(gè)一和2個(gè)一相加得5個(gè)一，5個(gè)一就是5，這就是算理。

2.算理與算法的關(guān)系

當(dāng)學(xué)生進(jìn)行了一定量的練習(xí)以后，發(fā)現(xiàn)了計(jì)算的規(guī)律，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生抽象概括出普遍適用的計(jì)算法則，這就是算法。從上面的分析可以看出算理與算法之間的關(guān)系：算理是客觀存在的規(guī)律，算法卻是人為規(guī)定的操作方法；算理為計(jì)算提供了正確的思維方式，保證了計(jì)算的合理性和正確性，算法為計(jì)算提供了快捷的操作方法，提高了計(jì)算的速度；算理是算法的理論依據(jù)，算法是算理的提煉和概括，算法必須以算理為前提，算理必須經(jīng)過算法實(shí)現(xiàn)優(yōu)化，它們是相輔相成的。

3.如何處理算法和算理之間的關(guān)系

（1）引導(dǎo)研究，理解算理

學(xué)生只有真正理解了計(jì)算的道理，才能“創(chuàng)造”出計(jì)算的方法，才能理解和掌握計(jì)算方法，才能正確迅速地計(jì)算，所以計(jì)算教學(xué)必須從算理開始。教師要引導(dǎo)學(xué)生對計(jì)算的道理進(jìn)行深入的研究，幫助學(xué)生應(yīng)用已有的知識領(lǐng)悟計(jì)算的道理。

（2）及時(shí)糾錯(cuò)，鞏固練習(xí)

教師要善于發(fā)現(xiàn)在計(jì)算上有障礙的學(xué)生，及時(shí)對其進(jìn)行糾錯(cuò)。如果學(xué)生對加法算式的算理理解不到位，教師應(yīng)進(jìn)行及時(shí)的講解,并讓學(xué)生內(nèi)化算理，用自己的語言，配合實(shí)際情境去分析，最終進(jìn)行抽象理解，運(yùn)用在平時(shí)的計(jì)算當(dāng)中。

（3）內(nèi)化算理，歸納方法

算理是計(jì)算的思維本質(zhì)，如果都這樣思考著算理進(jìn)行計(jì)算，不但思維強(qiáng)度太大，而且計(jì)算的速度很慢。為了提高計(jì)算的速度，使計(jì)算更方便、快捷，就必須尋找到計(jì)算的普遍規(guī)律，抽象、概括出計(jì)算法則。學(xué)生在理解、內(nèi)化算理的基礎(chǔ)上進(jìn)行歸納，歸納出加法計(jì)算的一般方法，這才是我們認(rèn)識算理的最終意義。

這樣的教學(xué)模式以思維為主線、以算理為先導(dǎo)、以創(chuàng)造為契機(jī)，學(xué)生不但理解了算理，而且創(chuàng)造出了簡便的計(jì)算方法，并發(fā)現(xiàn)計(jì)算的規(guī)律，歸納出計(jì)算的法則，實(shí)現(xiàn)了算理與算法的統(tǒng)一。