Allee效應影響下腫瘤-免疫系統的全局穩定性及其化療控制

曾春梅 馬少娟

【摘 要】 研究了一類腫瘤-免疫系統的全局穩定性及其控制.首先，在Pillis腫瘤免疫模型的基礎上構建具有Allee效應的腫瘤-免疫系統.其次，利用構造Lyapunov函數法研究系統無腫瘤平衡點的全局漸近穩定性.然后，建立相應數學模型研究化療對腫瘤細胞的影響.最后，通過數值模擬驗證化療控制的有效性.

【關鍵詞】 腫瘤-免疫模型 全局漸近穩定性 化療控制

一、引言

隨著生活水平的不斷提高，人們對自身健康愈加重視.癌癥的高死亡率使得學者們更加注重對腫瘤細胞的控制或治療的研究.Liu[1]建立靶向治療的腫瘤免疫數學模型，并對解的正性和有界性進行定性分析.Raluca，Bramson和Earn[2]對描述惡性腫瘤與免疫系統相互作用的空間均勻力學數學模型進行了簡要回顧.文獻[3]討論并提出可視化惡性腫瘤與免疫系統間作用關系的關鍵步驟.

對于腫瘤-免疫系統已有上述研究成果. 而Katrin等[4]的研究表明腫瘤具有Allee效應，由于Allee效應已在生態學中被證明可以改變最優控制決策、控制成本，因此，他認為Allee效應對腫瘤的生長控制也至關重要.但到目前為止，它在腫瘤的生長和持久性方面一直被忽視，因此，在以上問題的激發下本文嘗試在Pillis[5]模型的基礎上添加Allee效應并研究其動力學行為.

二、具有Allee效應的腫瘤-免疫系統的建立

Allee效應[6]表明任何個體在他的生長與繁殖過程中都有自己的最適密度，無論過密或過疏都會對自己的生長產生抑制作用，腫瘤細胞也不例外.由此，建立如下具有Allee效應的腫瘤-免疫系統

其中代表免疫細胞的數量，表示腫瘤細胞的數量，N是正常細胞的數量.分別代表效應免疫細胞的資源常量和死亡率.是Allee閾值且滿足.由于腫瘤細胞的存在會激活效應免疫細胞，該項用表示.效應免疫細胞與腫瘤細胞相互競爭會導致兩種細胞死亡，分別用和表示.正常細胞的最大生長率和環境承載量分別用和表示，腫瘤細胞的最大生長率和環境承載量分別用和表示.分別代表正常細胞與腫瘤細胞競爭導致的細胞死亡率.

三、無腫瘤平衡點的全局穩定性

六、結論

本文建立了具有Allee效應的腫瘤-免疫系統，根據構造Lyapunov方法對其進行全局穩定性分析，應用緊不變集局部化方法得到當時，無腫瘤平衡點是全局漸進穩定的.其次結合化療背景對腫瘤-免疫系統進行控制，得到使得無腫瘤平衡點是全局穩定的化療藥物表達式并進行數值模擬，對比圖1和圖2證明化療控制的有效性。

【參考文獻】

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[10] Eftimie R， Bramson J L， Earn D J. Interactions between the immune system and cancer： A brief review of non-spatial mathematical models[J]. Bulletin of Mathematical Biology， 2011， 73（1）：2-32

作者簡介：曾春梅（1993—），女，漢族，黑龍江省牡丹江市人，碩士研究生，理學碩士，單位：北方民族大學數學與信息科學學院應用數學專業，研究方向：非線性隨機動力學。

通訊作者簡介：馬少娟（1979—），女，回族，寧夏回族自治區人，教授，理學博士，單位：北方民族大學數學與信息科學學院，研究方向：非線性隨機動力學。

基金項目：北方民族大學研究生創新項目《Allee效應影響下一類腫瘤-免疫系統的動力學分析》;項目編號：YCX19130。