大數據背景下《實變函數論》的困境與優化

占青義，謝向東

(1.福建農林大學 計算機與信息學院，福建 福州 350002；2.寧德師范學院 數學系，福建 寧德 352100)

大數據時代已經到來，它深刻影響著人們的日常：擴大人類科學的范圍，推動人類知識的增長，引領新的經濟繁榮。黨的十九大報告明確提出：要推動大數據與實體經濟的深度融合[1]。正如大數據領域的權威專家舍恩伯特曾說：“大數據是一種價值觀，方法論”。

實變函數論是當今高校數學及有關專業的一門專業核心課程，已經成為現代分析不可缺少的理論基礎。然而不幸的是,這門課程的名聲似乎欠佳。不少學過實變函數的學生,除了留下“抽象，晦澀，難懂”的印象外，收獲不多。一種為分析數學帶來如此簡化的理論，竟然被當作一種復雜得令人難以理解與接受的東西，這值得我們深思。事實上，實變函數論的課程教學在主要內容的選擇與組織，關鍵定義的比較，主要結論的類比與推廣3方面面臨現實困難。

一方面,實變函數論的許多概念有一定的抽象性，許多重要結論異常深刻，而為得到這些結論所需要的理論知識準備與推演當然也不簡單。因此，問題在于：實變函數論的基本內容應當以何種形式提供給初學者，又以何種方式讓學生更好地理解與掌握這些重要的結論，做到舉一反三。另一方面，很多定理比較晦澀，不知道其主要含義，應用起來比較困難。為此，作者從特例的角度，對一些經典結論進行說明[2-6]。

據我們所知：無論是測度還是Lebesgue積分的基本概念，都免不了某些復雜的構造過程。這些對于訓練有素的分析數學研究者固然不難，但對初學的本科生而言，卻令人望而生畏。有關測度與Lebesgue積分的基本結果，其描述也不困難，但具體到如何靈活方便的應用，也有很大的發展空間。

本文就《實變函數論》教學中可能會遇到的問題，結合教學實踐，從大數據的角度，探討一些關鍵概念與定義的比較，對一些經典定理進行特例分析，使得學生能夠較快地進入《實變函數論》的核心領域，事半功倍地掌握這門分析課程。

1 運用大數據技術優化實變函數的內容選擇

大數據的核心思想之一是基于對海量數據的挖掘與存貯，分析形成觀察，從而推動事物更進一步的發展。現階段，探索運用大數據技術優化實變函數的教學內容，是時代發展的必然要求。

1.1 主要定義的選擇與比較

首先，通過對整個教學環節中所生成的數據進行分析，可以提取學生面臨的主要問題，從而有針對性地進行內容選擇。實變函數是以集合作為研究對象，在集合上定義測度，再建立了可測函數的概念，從而定義Lebesgue積分。

在集合論中，Cantor三分集合是一個很重要的反例。其構造就很有特色，與其類似的有四分集合。其構造如下：將閉區間[0，1]刪去居中的長度為0.25的開區間，剩下兩個閉區間，在每個閉區間中，再刪去居中的長度為的開區間，如此繼續下去。所有永遠刪不去的點所作成的點集記為E,即為四分集。這兩個實例說明：P分集是可以實際構造出來的，同時這種集合是可以用數具體表達的。

在測度論中，外測度與測度是一對很容易被學生混淆的概念。其實，在19世紀最先出現外容度的概念,隨后C.Jordan建立了可測集的容度定義[2]，而后在1914年由F.Riesz升華了測度論的思想[3],直接從積分出發，導出了整個測度理論。同時，C.Caratheodory進一步發展了外測度理論，導致了測度的完備化[4]。由此可見：測度與外測度是兩個互相關聯的概念。簡單地說：通過包含一個集合的任意開集的體積的下確界，定義了集合的外測度；通過外測度與Caratheodory條件(滿足外測度的可數可加性)[5-6]，定義了一個集合的Lebesgue測度。

可測函數是一個讓人費解的定義，其證明更是體現了數學分析的一般思路。這里，主要用到了簡單函數，示性函數與一般函數。具體說來，先證明這個結論在簡單函數上是否成立，然后推廣到示性函數[5]。最后證明在一般函數上該結論是否成立。這在Lebesgue積分的定義過程中，有非常精彩的應用。

1.2 與其他積分學的比較

雖然Lebesgue積分有許多優點，但不能否認，Lebesgue積分本身仍然有不足之處。我們把它與其他經典的積分學，如隨機積分，進行比較。

1.Lebesgue積分與Riemann積分的主要區別[7-9]：其一，定義的方式不同，導致了可積函數的類型不同：Lebesgue積分的可積函數的范圍擴大，使得可積函數從連續函數推廣到可測函數；其二，Lebesgue積分降低了積分與極限交換順序的條件；其三，Lebesgue積分的可測函數空間是完備的，而Riemann積分的可測函數空間是不完備的。可以看出，Lebesgue積分是Riemann積分的一種推廣。

2.Lebesgue積分與隨機積分的一些區別[10]：其一，定義的方式不同：前者定義在一般的可積函數空間，而后者定義在概率空間上，且定義方式與Riemann積分類似，因而可積函數的類型也不同。其二，定義的種類不同：前者只有一種定義方式，而根據對隨機項的Riemann和的不同定義方式[11-12],后者目前常用的有兩種定義：Ito積分與Stratonovich積分。

總之,可在這這些突出問題上，爭取有一個較清晰的比較。首先,對于基本概念，簡化或者回避一些復雜的構造，盡可能地與Riemann積分進行比較，找出其中的異同點，改善教學過程中學生的感受，提高學生的接受效率。并從教學過程的大數據分析中，得到其他需要強化的知識點。

2 運用大數據技術優化實變函數的主要結論

可以積極利用教學大數據，從多維度優化課程的主要結論，同時可以持續地，實時地為我們提供第一手資料，及時調整教學方式方法。根據學生在線學習時的作業，討論，提問，資料查詢等學習行為大數據，得到了如下一些主要結論的優化方案。

2.1 關鍵假設不能省略的

命題1.Lebesgue定理中，mE＜+∞的條件不能去掉。

以下這個特例驗證了命題1成立。

例1：取函數列

2.2 重積分與累次積分的關系

Fubini定理得到了比Riemann積分論中要求更少的結論。以下一些實例說明Fubini定理在應用上更簡便。

Fubini定理有一個推論如下[2]：

命題2.若f（x,y）在Rp+q=Rp+Rq上可積，則

其中,n=p+q，p,q,均為正整數。

命題2的逆否命題同樣是真命題。

命題3.若至少有一個不存在,或者都存在但不相等,則f（x,y）在Rp+q=Rp+Rq上積分不存在。

以下例2說明：用命題3驗證比用定義驗證要更簡潔。

例2：如果，x∈（0,1），y∈（0,1）,則f（x,y）在E1={（x,y）;0＜x＜1,0＜y＜1}上是不可積的。

證明：(1)可以用定義證明是不可積的。

事實上，如果令E=（0，1）×（0，1），A1={（x,y）∈E1,,則對任意的（x,y）∈A1,總有。于是可得

因此，f（x,y）在E1上積分無界。同樣可以證明：f（x,y）在E1上不可積。這與Fubini定理并不矛盾。

(2)利用命題3很方便驗證結論是成立的。其實很容易計算出：

2.3 累次積分的存在與相等，與函數的可積性沒有必然聯系

命題2的逆命題為：

命題4.若都存在而且相等,則f（x,y）在Rp+q=Rp+Rq上不一定可積。

以下例3說明：函數的累次積分存在且相等，函數有可能是不可積的。

例3：如果

則f（x,y）在E2={（x,y）;-1≤x≤1,-1≤y≤1}上是不可積的，但兩個累次積分都存在且相等。

證明：反證。假設f（x,y）在E2上是可積的。則f（x,y）在E2的子集A2=[0,1]×[0,1]上也是可積的。從而應該存在有限積分。但是，當x≠0時，我們可得而函數F（x）在[0,1]上不可積。從而與假設矛盾。

以下例4說明：函數的累次積分存在且相等，函數有可能是可積的。

例4：如果,則f（x,y）在E3=[-1,1]×[-1,1]上是可積的,且兩個累次積分都存在且相等。

3 結語

實變函數是現代分析的基礎，學生在從古典數學到這種以集合論與測度論為基礎的分析學，肯定會遇到很多困難。隨著社會經濟的不斷發展,各種學習形式不斷出現。實變函數作為一門古老的理論學科，應該依托大數據技術，通過數據挖據與分析，深入找到自身面臨的問題，精準地找到對策。

當前，高校課程大數據建設在數據基礎方面還有很大的提升空間，如數據的收集與整理大都依賴人工方式。如何充分利用大數據技術，切實提高實變變函數的教學效果，是教學改革的一項浩大的工程。