人教A版數學教科書“統計與概率”中的情境設置及啟示*

童曉玲 唐恒鈞

(浙江師范大學教師教育學院 321004)

強調數學與現實生活、其他學科間的關聯是新世紀以來數學課程改革的一個重要理念[1]．《普通高中數學課程標準(2017版)》(以下簡稱“新課標”)在基本理念中指出：“高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向，創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質．”[2]同時新課標還指明，數學情境的創設要有利于發展數學學科核心素養．因此，基于數學學科核心素養的情境設置的研究成為一個值得關注的問題．

隨著現代科學技術特別是計算機科學、人工智能的迅猛發展，人們獲取數據和處理數據的能力都得到了很大的提升．統計與概率作為處理數據、進行決策的有效工具，被更廣泛地應用到當今社會中．中小學的統計與概率課程也在內容上與現實生活聯系得更加緊密，常常是以現實問題為背景，以解決現實問題為目的．[3]因此，對“統計與概率”領域的教科書情境設置的研究也具有了重要的現實意義．

1 研究設計

研究對象 以人民教育出版社出版的高中數學教科書為載體進行分析，主要選取了必修A版第二冊中第九章“統計”與第十章“概率”部分的內容，對教科書中的章頭語、問題情境、探究、例習題、閱讀與思考以及信息技術應用六個部分進行情境設置的研究分析．

分析框架 從以下三個維度對教科書的情境設置進行分析：情境的類型、情境的真實性程度、情境的目標水平．

首先，情境的類型．數學情境是含有相關數學知識和數學思想方法的情境，同時也是數學知識產生的背景，它不僅能激發數學問題的提出，也能為數學問題的解決提供相應的信息和依據[4]．新課標指出,作為體現數學學科核心素養四個方面之一的“情境與問題”，情境主要包括現實情境、科學情境、純數學情境等．其中，現實情境往往是指與學生個人生活、社會生活及未來職業生活等現實生活相關聯的情境；科學情境往往是以物理、化學等其他科學領域的問題作為情境，且與學生生活距離較遠；純數學情境往往是指純粹數學內部的問題，以數學的概念、命題等作為基本素材，而不具有其他現實生活或科學等類型的情境．

其次，情境的真實性程度．荷蘭學者弗賴登塔爾的現實數學思想就強調教學“應該從數學與它所依附的學生親身體驗的現實之間去尋找聯系”，并指出：“只有源于現實關系，寓于現實關系的數學，才能使學生明白和學會如何從現實中提出問題與解決問題，如何將所學知識更好地應用于現實世界．”[5]“基于問題的學習”也強調要將問題設置在具體的、源于或者貼近現實生活的真實情境中．在大數據時代，“統計與概率”這一領域的學習強調的是解決問題的應用性．因此，從這一角度將情境分為真實性情境與非真實性情境(表1)．真實性情境的分析不限于學生熟悉的幾類現實生活情境，數學史中真實的數學實驗、真實的人口數據統計等也屬于真實性情境．[3]

表1 真實性情境與非真實性情境

最后，情境的目標水平．數學教科書設置情境的主要目的是為了更好地發展學生的數學核心素養．新課標根據六個數學學科核心素養的綜合表現對學生的學業質量水平進行了具體的描述，并將每一個數學核心素養劃分成三個水平．以新課標的上述描述為基礎，結合本研究的目標，將教科書中情境的目標水平區分為如下三個層次.水平1：能夠在熟悉的情境中抽象出數學概念和規則并解釋其含義；了解數學命題的條件和結論之間的邏輯關系；了解運算對象，并且可以結合具體的實際情境解釋相關抽象概念.水平2：能夠在關聯的情境中抽象出一 般的數學概念和規則，確定運算對象和隨機現象；能夠在新的情境中選擇和運用數學方法解決問題. 水平3：能夠在綜合的情境中發現蘊含的數學關系，用數學的眼光找到合適的研究對象，用恰當的數學語言予以表達；在實際情境中，能夠把握研究對象的數學特征，感悟通性通法的數學原理和其中蘊含的數學思想．[2]

2 研究結果

根據以上框架，對人教A版數學教科書第九章“統計”和第十章“概率”部分的情境設置進行分析，得到以下研究結果．

2.1 情境的類型

根據分析發現(表2)，有關統計與概率的兩章內容中，現實情境達到145個(占72.5%)，其次是純數學情境，達到50個(占25%)，而科學情境僅有5個(占2.5%)．

表2 教科書中的情境類型

首先，就現實情境的設置而言，表現出以下方面：一是現實情境的具體類型以社會生活為主，個人生活次之．具體地，與學生個人相關的情境占29%，包括學生的身高、體重、性別、血型、近視情況以及考試成績等；社會生活情境占57%，包括用水用電量、天氣預報、足球賽、滿意度調查、擲骰子以及抽球摸獎等；職業生活情境占14%，如銷售情況、產品合格率、風險決策以及收入水平等． 其次，現實情境涉及了統計與概率內容的方方面面．新課標認為，概率的研究對象是隨機事件，為人們從不同角度認識客觀世界提供重要的思維模式和解決問題的方法；統計的研究對象則是數據，其核心就是數據分析．因此，立足于學生的統計與概率學習的角度，就需要從現實情境出發，抽象出解決問題的通性通法，再回到現實生活中去解決問題．從情境的角度看，數據的主要來源是客觀現實世界，任何數據不僅包含數據、文字、符號、圖形等抽象信息，必然還包含了與現實情境有關的背景信息．這些因素都說明在“統計與概率”這一部分內容中現實情境對于學生學習的重要性．再次，新教科書還涉及到信息技術在解決實際問題情境中的應用，這是符合時代發展需要的．例如在給抽樣的712名學生進行編號時，可以利用信息技術生成隨機數，或者利用電子表格軟件去模擬隨機實驗，統計學生的出生年月等．這種方法最大的優點就是方便快捷，可以幫助學生更好地理解隨機事件以及隨機事件發生的概率．總體來講，教科書中情境的取材結合生活實際，更具有普遍性與基礎性．

另外，相較于數學課程的其他領域，純數學情境在“統計與概率”領域出現的次數相對較少，主要出現在探究和習題部分．探究部分是通過數學情境去設計數學問題，比如對統計圖的識別或者從統計圖中提取信息．習題部分主要是出現在證明題和計算題，例如“已知P(A)=0.5，P(B)=0.3，讓我們求交事件、并事件的概率”．

需要說明的是，教科書在探究部分的情境設置上出現了現實情境與數學情境兩種情境交織的現象．例如，在“事件的關系和運算”這一節的探究活動中有以下問題：在擲骰子的試驗中，觀察骰子朝上面的點數，從而來定義許多隨機事件，如F=“點數為偶數”；G=“點數為奇數”……讓我們用集合的形式表示這些事件，同時借助集合與集合的關系和運算，發現事件之間的聯系．該探究活動雖然以“擲骰子”這個現實情境切入，但是后面要解決的問題是建立在已有數學抽象物的基礎上進行的．

最后，科學情境是出現次數最少的，而且只出現在概率這一章．科學情境涉及物理、生物、地理等學科．例如，在“有限樣本空間與隨機事件”這一節的例題和習題都出現了以下問題：已知A,B兩個原件分別組成串聯電路和并聯電路，觀察兩個元件正常或失效的情況．寫出試驗的樣本空間，以及事件M=“電路是通路”包含的樣本點．這個情境很好地將數學與物理結合了起來，體現了數學在其他學科的應用．另外教科書在閱讀和思考部分還引用了生物學中著名的孟德爾遺傳定律，來加深學生對隨機模擬概率的理解．要發展學生的數學核心素養、拓展學生的知識面，就應將數學學科知識與其他學科結合，交叉學習，使得各個領域不同知識之間相互啟發、互為補充．

2.2 情境的真實性程度

“實際問題既是概率論與統計學的來源又是它們的歸宿．”[6]通過對統計與概率兩章內容的情境真實性分析發現，真實性情境占48.4%．

表3 教科書中情境的真實性程度

具體到領域內容上，統計部分是非真實性情境大于真實性情境，而在概率部分真實性情境出現的次數更多．教科書中很大一部分情境在呈現數據時都用了“某地”“甲”“乙”“某公司”這一類詞語，使得學生的學習與問題情境互動性不強，缺少代入感．因此在設置情境時，還應多采用一些真實性情境以便能更好地引起學生的真實感，使學生沉浸到學習中．例如第九章總復習題部分有這樣一個問題：學生通過計步儀器記錄下了自己100天每天走的步數，通過數據計算平均數、中位數和標準差并根據數據描述學生自己的運動情況．這樣的情境就很貼合學生的日常生活，而且每一位學生都有所體會．在此情境下教學可以更好地培養學生的參與感，體會數據特征，而且可以讓學生感受到統計方法在現實生活中的應用．

2.3 情境的目標水平

根據新課標提出的學生學業質量水平，對教科書中三種不同情境的目標水平進行分析，結果如表4．

表4 教科書中情境的目標水平

從表4中可以看出三種情境均達到了學業質量的三種不同水平，只是有所側重．教科書在情境的設置上，側重培養學生的前兩個水平．在對教科書進行分析的過程中，發現探究還有例題的現實情境設置主要是處于水平1(約占55%)，目的是讓學生在熟悉的情境中了解隨機現象以及簡單的概率或統計問題，掌握基本的統計方法．而課后的練習題大多處于水平2(約占35%)，不管是在熟悉的現實情境下還是通過特意設計的數學情境，主要是讓學生可以針對具體問題選擇離散型隨機變量或者連續型隨機變量來刻畫隨機現象、理解統計意義、解釋統計結果、發現統計規律．處于水平3的情境相對較少(約占10%)，主要體現在習題的拓廣探索和閱讀思考部分．例如統計班里所有學生的鞋號，選擇合適的統計圖進行描述，分析特點并估計所在學校全體學生鞋號的分布.這是一道估計總體性質的綜合題目，用樣本空間的數字特征估計總體的數字特征或性質，具有一定的開放性．這可以培養學生針對不同情境問題，綜合或者創造性地運用統計知識，構造統計模型解決問題的能力．通過分析，我們可以發現情境在培養學生核心素養的水平上各有側重，這對以后在教學過程如何更好地利用情境是有幫助的．

3 若干啟示

(1)均衡情境的類型.情境的設置要遵循學生的認知規律，體現教學情境的多樣性，使得情境既有利于教師的創造性教學，也有利于學生的自主學習．現實情境一般與學生的生活有著密切的聯系，可以激發學生的學習興趣并降低學習難度．統計學作為一門收集、整理和分析統計數據的方法科學，其目的就是探索數據的內在數量規律性，以達到對客觀事物的科學認識．從這個角度來看，教科書情境的設置還應該關注科學情境．一方面可以還原科學實驗中數據的收集和處理過程，另一方面也體現了統計學應用的廣泛性，加強學生對于這門學科的理解和應用．同時，新課標還明確指出要將數學文化融入到數學教學中去，通過文化情境，將數學文化融入到日常教學中．所以，在“統計與概率”領域還可以加入體現數學文化的情境．

(2)加強情境的真實性.在新教科書的情境設置中，很多數據是模擬真實情境的人為數據，還常常出現“某市”“某公司”“某地”等，難以真正引起學生的共鳴．高中生已經有了一定的知識儲備，綜合能力有了很大的提高，應該多讓學生處理真實數據，感受數學與現實的聯系．學生廣泛接觸真實性情境，能擴大知識面、強化知識活性、增強數據統計意識．

(3)加強情境的目標設置與學業質量水平的匹配性.課標中的學業質量水平是數學學科核心素養的具體體現．需要通過設置不同類型、不同水平的情境，以最自然的方式呈現數學知識，并與學業質量水平標準相匹配．例如，通過與學生生活密切聯系的現實情境，讓學生了解隨機現象和統計問題的基本知識．如果是為了培養統計意識，就需要多創設真實性情境．通過不同目標水平的情境，體現學業水平的不同要求，以使情境功能最大化．