回歸教材 研究真題
——讓高三一輪復(fù)習(xí)回歸理性*

胡震洪

(安徽省阜陽(yáng)市第三中學(xué) 236000)

一輪復(fù)習(xí)在高考復(fù)習(xí)中起著舉足輕重的作用，期間，既要對(duì)前期所學(xué)知識(shí)進(jìn)行補(bǔ)差、補(bǔ)缺、補(bǔ)漏，又要對(duì)高中數(shù)學(xué)體系作進(jìn)一步建構(gòu).同時(shí)，它也是二輪復(fù)習(xí)的起點(diǎn)．如果一輪復(fù)習(xí)后學(xué)生基礎(chǔ)仍不扎實(shí)，二輪復(fù)習(xí)就如空中建樓閣．一輪復(fù)習(xí)課不像新授課那樣教學(xué)方法多樣、教學(xué)形式各異、課堂引人入勝，也不像二輪復(fù)習(xí)那樣專題化明顯、綜合性強(qiáng)，所以一輪復(fù)習(xí)課容易讓學(xué)生覺(jué)得索然無(wú)味，從而導(dǎo)致教學(xué)效果不佳，也容易陷入題海戰(zhàn)術(shù)的誤區(qū)．一輪復(fù)習(xí)課應(yīng)該回歸教材、研究真題，理性備考．下面通過(guò)一節(jié)高三一輪復(fù)習(xí)課“函數(shù)與方程”(第1課時(shí))的案例分析來(lái)說(shuō)明如何進(jìn)行一輪備考．

1 案例呈現(xiàn)

問(wèn)題1已知函數(shù)y=f(x)的圖象如圖1所示，請(qǐng)你從不同角度解釋實(shí)數(shù)x1,x2,x3的意義．

生1：x1,x2,x3是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．x1,x2,x3是方程f(x)=0的三個(gè)實(shí)數(shù)解．x1,x2,x3也是函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)．

設(shè)計(jì)意圖概念復(fù)習(xí)可以幫助教師充分了解學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)．因?yàn)閿?shù)學(xué)具有邏輯性強(qiáng)、系統(tǒng)性強(qiáng)的特點(diǎn)，學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)不扎實(shí)，教學(xué)將很難開(kāi)展．本節(jié)課通過(guò)問(wèn)題復(fù)習(xí)函數(shù)零點(diǎn)概念，既理清了等價(jià)關(guān)系：函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)? 函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(形的角度)? 方程f(x)=0的實(shí)數(shù)解(數(shù)的角度)，又說(shuō)清了一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)是數(shù)，不是點(diǎn)．此處突出數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、方程與函數(shù)的思想方法．

問(wèn)題2判斷下列函數(shù)是否有零點(diǎn)；如果有，有幾個(gè)．(1)f(x)=x2-2；(2)f(x)=lnx+2x-6．

圖2

生3：?jiǎn)栴}(2)可畫(huà)出g(x) = lnx和h(x) = -2x+ 6的圖象(圖2)，這兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)f(x)=lnx+ 2x- 6的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，由圖2可知該函數(shù)有零點(diǎn)．

師(追問(wèn))：什么情況下你會(huì)想到將函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題？轉(zhuǎn)化的依據(jù)是什么？

生4：當(dāng)函數(shù)模型較復(fù)雜且是兩個(gè)基本初等函數(shù)組合而成時(shí)，可以將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題通過(guò)分離，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題．

生5：轉(zhuǎn)化的依據(jù)是函數(shù)f(x) = lnx+2x-6的零點(diǎn)就是方程lnx+ 2x- 6 = 0的解，也是方程lnx=-2x+ 6的解，可以看做函數(shù)g(x) = lnx和h(x)=-2x+ 6的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

(板書(shū))函數(shù)的零點(diǎn) ? 方程的解 ? 兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題．

師：(追問(wèn))如何說(shuō)明該函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)呢？

生6：函數(shù)f(x) = lnx+ 2x- 6是增函數(shù)，因此它只能有一個(gè)零點(diǎn)．

(板書(shū)圖3)

圖3

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)兩個(gè)小題復(fù)習(xí)了判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的三種常見(jiàn)方法——解方程法、圖象法和轉(zhuǎn)化法．也說(shuō)明了解決函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題需要考慮兩個(gè)方面：是否存在，是否唯一．前者可以借助函數(shù)圖象直觀感知，既能感知零點(diǎn)是否存在，也能大致判斷出零點(diǎn)所在的區(qū)間；后者常常需要利用函數(shù)單調(diào)性說(shuō)明零點(diǎn)的唯一性．

該問(wèn)題可以進(jìn)一步幫助學(xué)生熟悉研究新函數(shù)的一般思路方法：當(dāng)遇到一個(gè)新的函數(shù)時(shí)，非常自然的做法是畫(huà)出它的圖象，觀察圖象的形狀，挖掘圖象特點(diǎn)，并借助圖象研究函數(shù)性質(zhì)．

圖4

師：這是從形的角度做出的判斷，你能用數(shù)的方法解決這個(gè)問(wèn)題么？

師：怎么說(shuō)明該函數(shù)在區(qū)間(e, e2)上只有一個(gè)零點(diǎn)？

師：你是怎么想到求f(e)和f(e2)的呢？

生9：因?yàn)楹瘮?shù)中出現(xiàn)了lnx，只有x取e, e2, e3, e-1, …這樣的數(shù)，lnx才能等于有理數(shù)，便于計(jì)算．

師：在區(qū)間(0, 1)內(nèi)，你選擇了哪兩個(gè)數(shù)進(jìn)行計(jì)算？

師：我們發(fā)現(xiàn)，通過(guò)畫(huà)出函數(shù)圖象，借此大致判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)和區(qū)間，再通過(guò)合理取值、計(jì)算，確定零點(diǎn)所在的區(qū)間．

(板書(shū) 形——確定方向，數(shù)——確定區(qū)間)

圖5

師：剛才幾位同學(xué)利用函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)圖象，從形的角度明確了研究的方向，下一步應(yīng)該從數(shù)的角度確定零點(diǎn)所在的區(qū)間．

師：(追問(wèn))零點(diǎn)所在區(qū)間的右端點(diǎn)找到了，左端點(diǎn)怎么處理呢？(學(xué)生討論未果)

設(shè)計(jì)意圖本題改編自2015年全國(guó)文科數(shù)學(xué)Ⅰ卷21題第(1)問(wèn)：設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-alnx，討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．本題有一定難度，在問(wèn)題解決的過(guò)程中需要用到函數(shù)的有界性和極限思想，恰恰是這兩個(gè)難點(diǎn)打開(kāi)了學(xué)生的視野，將本節(jié)課推向高潮．

2 教學(xué)啟示

2.1 回歸教材是根本

教材是打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、形成基本技能的“藍(lán)本”，所以高考復(fù)習(xí)必須重視教材這一寶貴資源，真正地回到教材中去.不少教師雖深知回歸教材的重要性，卻不知道該如何做．如果只是簡(jiǎn)單地再重復(fù)一次，學(xué)生必然會(huì)感到索然無(wú)味，激不起對(duì)教材再學(xué)習(xí)的興趣，又談何復(fù)習(xí)效果？學(xué)生在學(xué)習(xí)新課時(shí)，受知識(shí)能力的限制，學(xué)到的內(nèi)容往往是零散的，既缺少系統(tǒng)系、整體性，又缺乏必要的深度和高度．而高三復(fù)習(xí)中回歸教材需要站在整體的高度重新審視教材、架構(gòu)知識(shí)體系，從而對(duì)于原來(lái)的知識(shí)點(diǎn)有新的理解、新的發(fā)現(xiàn)、新的感悟．

(1)回歸基本概念.復(fù)習(xí)中常常會(huì)遇到這樣的情況，學(xué)生已經(jīng)能熟練地背誦出概念，能默寫(xiě)出公式，但遇到問(wèn)題依舊束手無(wú)策．其原因主要是學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)僅僅停留在接受和表面理解上，不清楚概念的產(chǎn)生，不重視概念的辨析，不理解概念的功能，從而把概念和數(shù)學(xué)問(wèn)題割裂開(kāi)，這種單純地通過(guò)背誦進(jìn)行概念復(fù)習(xí)是低效或無(wú)效的．同樣，學(xué)生不關(guān)注公式的形式特點(diǎn)、不重視公式的價(jià)值，就會(huì)出現(xiàn)拿著公式不會(huì)用的情況！基礎(chǔ)概念的復(fù)習(xí)中，“會(huì)背”和“會(huì)用”是兩回事.本節(jié)課通過(guò)解決簡(jiǎn)單問(wèn)題(問(wèn)題1)復(fù)習(xí)概念，可以檢驗(yàn)出學(xué)生對(duì)零點(diǎn)的概念是“真懂”還是僅停留在“會(huì)背”的層面上．

(2)回歸例習(xí)題.問(wèn)題2改編自人教版數(shù)學(xué)必修1第88頁(yè)例1[1]：求函數(shù)f(x) = lnx+ 2x- 6的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．教材中利用信息技術(shù)作出x,f(x)的對(duì)應(yīng)值表和函數(shù)圖象，利用表(代數(shù)直觀)和圖(幾何直觀)引導(dǎo)學(xué)生直觀感知到函數(shù)存在零點(diǎn)，通過(guò)計(jì)算f(2)·f(3)<0說(shuō)明函數(shù)在區(qū)間(2, 3)內(nèi)有零點(diǎn)，通過(guò)單調(diào)性說(shuō)明零點(diǎn)的唯一性．利用該題明確了“直觀感知、操作確認(rèn)”是解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的一般流程．一輪復(fù)習(xí)再次選擇這道題，沒(méi)有了信息技術(shù)做支撐，需要學(xué)生有化歸與轉(zhuǎn)化的意識(shí)，能將非基本初等函數(shù)f(x)=lnx+2x-6轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本初等函數(shù)g(x)=lnx和h(x) =-2x+ 6．同一道題在不同的學(xué)習(xí)背景下可以具有不同的教育價(jià)值.高一時(shí)，該題的價(jià)值是鞏固零點(diǎn)存在性定理；高三時(shí)，該題的價(jià)值是考查學(xué)生的直觀感知素養(yǎng)和化歸與轉(zhuǎn)化的思想．一輪復(fù)習(xí)的選題要注意回歸教材上的典型例題，形成學(xué)生解高考試題的關(guān)鍵能力．備課時(shí)要注重對(duì)教材中典型例題的挖掘，只有對(duì)一個(gè)題目不斷地、多角度地審視，才能發(fā)現(xiàn)它所承載的核心素養(yǎng)，發(fā)揮它的最大價(jià)值．

2.2 研究真題明方向

高考是教學(xué)的指揮棒，這是一個(gè)不爭(zhēng)的事實(shí)，所以高考的導(dǎo)向作用始終是高中數(shù)學(xué)教學(xué)最為關(guān)心的問(wèn)題，無(wú)論從學(xué)生學(xué)的角度，還是從教師教的角度，高考都起到積極的導(dǎo)向作用．不少教師存在認(rèn)識(shí)上的誤區(qū)，認(rèn)為高考題都是考過(guò)的試題，今后不可能再拿過(guò)來(lái)考查學(xué)生，況且受復(fù)習(xí)資料及模擬試卷的牽制，根本沒(méi)有精力和時(shí)間研究高考題，于是教師整天就圍繞資料、模擬試題轉(zhuǎn)，這種只顧低頭拉車(chē)、不抬頭看路的做法帶有很大的盲目性，缺乏針對(duì)性.為了提高復(fù)習(xí)的有效性、少走彎路，研究歷年高考題實(shí)為必要.上述案例中的問(wèn)題3和問(wèn)題4都選自高考真題.研究高考題是教師備課的重要一環(huán)，脫離高考題的復(fù)習(xí)課猶如紙上談兵，即使是前幾年的高考題在一輪復(fù)習(xí)中也都很有參考價(jià)值.一輪復(fù)習(xí)中可以適當(dāng)改編高考題，讓老題發(fā)新芽，讓高考題在高考復(fù)習(xí)中奏出華美的樂(lè)章．

近年來(lái)年的高考試題通過(guò)規(guī)避題型、強(qiáng)化概念、注重基礎(chǔ)、著意思維的做法，旨在向一線教師宣示“題海戰(zhàn)術(shù)可休矣”的教學(xué)理念，對(duì)有力推進(jìn)“立德樹(shù)人”的教育理念起到一定的導(dǎo)向作用，體現(xiàn)“以人為本”命題理念．筆者認(rèn)為教師必須摒棄盲目題海戰(zhàn)術(shù)模式，順應(yīng)課改潮流，改變落后的教學(xué)理念．不僅要深化基礎(chǔ)知識(shí)的理解與應(yīng)用，而且還要深化學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，有意識(shí)地運(yùn)用素質(zhì)教育的方法去提升考生的應(yīng)試水平，做到科學(xué)、高效、理性備考．