師范類本科院校《高等代數》教學的幾點思考

【摘要】根據師范類本科院校的培養目標，對《高等代數》在課程內容的選取、教學等方面提出幾點思考。通過本課程的教學，使學生把握高等代數課程的內部聯系和主線，有益于從本源上提升學生對該課程的理解，培養學生對《高等代數》的學習興趣，達到培養優秀師范生人才的目標。

【關鍵詞】師范類本科院校? 高等代數? 教學方法

【基金項目】湖南省自然科學基金青年項目（2017JJ3044）;湖南省教育廳一般項目（17C0333）。

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2020）25-0124-02

《高等代數》是數學專業的最主要、最基礎課程之一。教育部在《關于進一步加強高等學校本科教學工作的若干意見》中指出“要繼續推進課程體系、教學內容、教學方法和手段的改革，構建新的課程結構。鼓勵教師開展教學理論研究、教學實踐探索和優質教學資源開發。加強教材建設，確保高質量教材進課堂。要大力錘煉精品教材，并把精品教材作為教材選用的主要目標”。為適應當前教學改革和素質教育的需要，解決同學們在高等代數學習中遇到的問題，本文結合師范類本科院校的培養目標對傳統高等代數教學做一些探索。

1.優化教材，注重高等代數的內部聯系

根據師范類本科院校培養目標以及學生的實際水平，我們課程教材選用了王萼芳編著的《高等代數教程》（上下冊），此教材共有十章，其中上冊是第一章至第五章，下冊是第六章至第十章[1]。另外，我們選用了北京大學數學系前代數小組編著的《高等代數》（第四版）作為配套叢書，其中部分內容穿插到主講課程教材中[2]。在教學大綱的基本要求下，本著重基礎、突重點原則，基于對師范生后續發展的考慮，我們對教材內容進行了如下劃分：將對稱多項式、拉普拉斯定理、？姿-矩陣、最小二乘法作為選學內容，教師只利用2～3課時給學生作簡單的指導。將多項式、行列式、矩陣、線性方程組、二次型、線性空間、線性變換、歐式空間作為重點講授內容，它們是高等代數的核心部分。基于學生后續研究生階段學習考慮，補充了雙線性函數和辛空間相關知識。整個課程按章節具體授課安排如下：

第一章主要研究行列式。由于行列式與線性方程組、向量組的線性相關性、矩陣是否可逆、特征值等知識有著緊密聯系，因此教學過程中需要學生理解行列式的定義，重點掌握行列式的計算、性質和展開公式及其應用。

第二章講授線性方程組時，先從初中學過的三元一次方程組講起，自然延伸到n元一次方程組的解法——消元法化階梯型方程組。為了使方程組書寫簡便，自然地引入系數矩陣及矩陣的初等變換等概念。重點要求學生會用初等變換判別方程組是否有解、以及會求通解。由于線性方程組可以等價于矩陣方程，矩陣又可以分成向量，因此，講授方程組有解判別定理與解的結構性質時，授課內容建議與第三章矩陣的運算等內容相結合，利用矩陣理論證明線性方程組解的結構。另外，本章講授向量組線性相關性時要與方程組的解相聯系，把向量組線性相關等價于線性方程組有非零解，把向量組線性無關等價于線性方程組只有零解。

第三章研究矩陣，主要討論矩陣的加減乘運算和運算性質、矩陣的秩和性質、以及一些常見的特殊矩陣。由于多個向量可以組合成一個矩陣，一個矩陣也可以分塊成多個向量，建議把第三章的矩陣與第二章的向量結合起來講授。同時需要指出，向量也是一個特殊的矩陣：一個n維行向量可以看成是一個1行n列的矩陣，一個n維列向量可以看成是一個n行1列的矩陣，因此矩陣的加減乘運算及性質對向量都成立。

第四章講授矩陣的對角化，主要研究矩陣的特征值和特征向量以及它們的運算及性質，再由特征值和特征向量給出矩陣相似的定義和矩陣可對角化所需的條件。

第八章和第十章主要研究線性空間和歐式空間，其中歐式空間是一個特殊的線性空間，它只是在空間中定義了內積。在講第十章歐式空間時，補充對偶空間和辛空間[2]。

第九章線性變換可以與第四章矩陣的特征值與特征向量結合起來處理。由于線性變換在基下可以定義矩陣，因此線性變換的特征值與特征向量問題可以等價于矩陣的特征值與特征向量問題[2]。另外，本章末尾補充線性函數等相關知識[2]，該部分知識在很多重點大學研究生入學考試試題中都會出現，本部分內容的補充旨在為學生后續研究生深造打下基礎。

綜上，高等代數本質上是以行列式、矩陣、向量作為工具，研究線性變換、線性空間、線性方程的解的一門課程。行列式、矩陣、向量、線性方程組、特征值和特征向量、線性空間和線性變換等概念之間有著緊密聯系。

2.高等代數課程學習興趣的培養

師范類院校的數學教育更應重視對學生學習興趣的培養。因為對于大部分數學專業的師范生來說，他們以后走上工作崗位將是數學教師。如果連自身對數學的學習都毫無興趣，他們又怎么能培養下一代學生樹立正確的數學觀呢？初高中學生對數學的興趣，更多的源于外界的刺激。例如家長經常教育學生：數學學得好、考高分，將來更有希望考上好大學，考上大學你就輕松了，等等類似的言論。考上大學之后，這種刺激急劇減少，加上大學數學本身的抽象性更強，這時學生對大學數學的學習動機充滿了困惑，不再以升學作為主要目的，學生對數學的興趣自然明顯減弱。本文認為，師范生的數學教育必須重視對學生學習興趣的培養。當同學們知道學習某門課有巨大用途和價值的時候，自然更樂于學習。高等代數在數學專業的碩士研究生入學考試中占150分，分值占比非常高。對于非數學專業的理工科學生來說，線性代數也是研究生入學考試的必考科目之一。因此，學好高等代數或者線性代數是理工科學生后續攻讀碩士研究生的重要保障。

培養學生學習興趣的關鍵因素是：要使學生聽得懂、會應用，只有聽得懂的東西大家才會更感興趣。這就需要教師授課時啟發同學們從最基礎、最熟悉的知識點講起。例如，在中學代數課程中，我們解二元一次方程組、三元一次方程組都是采用加減消元法和代入消元法。自然的，學生會問：大學高等代數中解線性方程組的方法和初中有什么區別與聯系呢？通過對比，學生發現高等代數中解方程組的方法和初中數學消元法在本質上是相同的，只是大學高等代數引入了矩陣和初等變換等概念，其目的是為了解方程組時書寫更簡便，同時也為了計算機可以輸入矩陣并且識別矩陣的運算。換句話說，如果學生會初中的消元法解二元一次方程組，那么平行的推廣知識點至更高維，學生就可以掌握高等代數中線性方程組的求解方法。把大學復雜抽象的數學內容簡化為初中較容易理解的知識點，可以使絕大多數同學更容易理解高等代數這門課程，進而增加學生對高等代數課程的學習興趣。

本人查閱相關資料得出：高等代數在經濟學、空間解析幾何、數學建模、計算機等課程中都有著廣泛前沿的應用[3-5]。考慮到當前已是信息化時代，計算機技術在高等代數的應用中非常廣泛，特別地，Matlab作為數學應用型工具使用更是相當簡便快捷。因此，在授課過程中，我們還補充了運用Matlab計算行列式、求解方程組、求矩陣的逆、求特征值與特征向量等相關知識，突出高等代數與計算機等學科的交叉應用價值，培養學生對高等代數的學習興趣。

3.高等代數課程教學環節的改革

（1）采取線上與線下相結合的授課模式

當前信息化時代，教師可以采取視頻課堂與線下課堂相結合的模式授課。教師提前把下周需要講的課程與教案上傳至超星學習通，讓學生先自行觀看視頻預習。視頻時間不宜太長，控制在15-20分鐘一節課，主要突出章節的重難點和解題思路，使得學生對知識點有個整體的把握。課后，教師建立QQ群，在群中布置QQ作業和發布群消息，在線批改作業。另外，教師還可以結合騰訊會議直播的形式每周特定一個時間段對學生進行在線答疑。通過實踐發現，線下課堂結合超星學習通、QQ群、騰訊會議等線上輔助教學，可以有利地提升學生的學習水平和學習興趣。

（2）以學生為主體，調動學生的積極性

課堂上，建議教師多引導學生積極參與討論，以學生為主體，充分調動學生的主觀能動性。把抽象枯燥的數學知識盡可能地生動化、趣味化、實際化。在此，本文簡單列舉高等代數與數學建模授課的一個片段，期望作為一案例供各位學者討論和提出有益指導。

老師：“假如讓你在長沙市建一個自來水廠，把自來水廠建到哪里最合適？請同學們思考回答。”

學生甲：“當然建在水最多的地方啦，自來水廠首先要能夠供水。”

老師：“這位同學回答得非常好。但是，請問建自來水廠只考慮水源嗎？比如咱們長沙，湘江邊上水源當然最豐富。但是，你可能把水廠建在市中心的湘江邊上嗎？那地方的地價那么貴。肯定不會，經濟上不劃算嘛。”

學生乙：“建在土地最便宜的地方，因為建水廠占地面積較大，土地越便宜成本越低。當然，前提是那塊地得有較充足的水源。”

老師：“這位同學回答地也很好。他考慮了兩個因素，水源和地價。既然說到了成本，同學們不妨再接著想，水廠還有哪些最基本的供水成本？”

同學丙：“水廠最基本的一個用途是給全市供水，而供水需要水管接通到家家戶戶。因此，可以把自來水廠想象成地圖上的某個點，把每個家庭、單位也都抽象成地圖上的密密麻麻的其它許多個點。那么這個問題就等效于在地圖上選一個點，使得該點與其它點的連線的距離之和最短。這應該是最優的，因為距離最短，管道成本最低。”

老師：“這位同學的思路非常經典，用到了數學建模的抽象思維。把這一實際問題抽象成最短路徑問題，從而借助方程組解出最優解。但是，這個方案仍然有不足之處。實際中，假設水廠離某戶家庭直線距離很短，但是恰好它們之間有一座山。你不可能為了使距離最短而把山挖個隧道用來通水管吧？所以，這位同學主要少了可行性分析這一環節。”

同學丁：“老師，您說到可行性我突然想起來還要考慮周圍的環境因素。選取的自來水廠周圍不能有太多污染源，最好遠離工廠。否則的話，即使經濟上再便宜也不可行。”

老師：“這位同學思考方向也很有參考價值。事實上，我們只需把幾位同學的思路綜合起來考慮就是一個較好的方案，需要考慮水源、地價、周圍的環境、管道成本、選取位置的可行性等多個因素，每一個因素都設成一個參數，找出這些參數之間的關系并且建立模型，然后求出最優解。高等代數課程中的最小二乘法恰好是處理優化問題的重要工具。當然，實際生活中還有許多其它因素，不可能盡善盡美地把所有因素都考慮進去。我們只需要盡可能地找到一個理論上的較合理的最優解即可。”

4.結語

作為本科師范類院校，《高等代數》的教學不僅關系到學生專業課學習，也關系到學生后續的研究生階段的深造。我們期望通過本課程的教學，使學生能夠對高等代數課程有著較全面、深刻的理解，同時使學生更深刻地理解數學的思維與應用，從而達到培養優秀師范生人才的目標。

參考文獻：

[1]王萼芳.高等代數教程（上、下冊）[M].北京：清華大學出版社，1997：1-267.

[2]北京大學數學系前代數小組.高等代數（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2013：273-290.

[3]王建軍.線性代數及其應用[M].上海：上海交通大學出版社，2005：146-166.

[4]曾令淮，段輝明，李玲.高等代數與解析幾何[M].北京：清華大學出版社，2014：34-76.

[5]周誓達.線性代數與線性規劃[M].北京：中國人民大學出版社，2005：14-17.

作者簡介：

盧霖（1987-），男，漢族，安徽阜南人，博士，研究方向：常微分方程與動力系統。