單個固體顆粒促進薄液膜破裂的格子Boltzmann研究

劉學文，李金京，全曉軍，熊偉

（上海交通大學機械與動力工程學院，工程熱物理研究所，上海200240）

引 言

深入理解納米或微米顆粒和泡沫之間的相互作用在很多領域有重要意義。在粉塵抑制領域，更好地理解粉塵顆粒與泡沫相互作用的基本原理是生產具有更高粉塵抑制性能的泡沫的關鍵[1]，對顆粒氣泡或顆粒液膜相互作用的研究是膠體化學領域的研究熱點[2-3]。此外，隨著納米流體在沸騰換熱中的應用，納米顆粒在沸騰現象中越來越重要[4-5]，核態沸騰中納米顆粒會影響氣泡穩定性進而影響沸騰換熱，Quan等[6-7]和Binks等[8]關于納米流體的沸騰實驗中發現中等親水性納米顆粒可以吸附在氣泡的氣液界面上，因此可以減少氣泡聚結從而提高沸騰換熱性能。

當氣泡接觸另一個氣泡或液體表面時，會形成液體薄膜，泡沫或氣泡的穩定性與這些液膜的穩定性密切相關[9]。因此對單個納米顆粒與薄液膜之間相互作用的研究是深入理解顆粒和泡沫之間的相互作用的基礎，目前已經有很多文獻從理論和實驗方面對該現象進行了研究。

眾多的研究表明[1,10-20]，對于兩側皆為氣體的單層液膜，球形親水性顆粒會增強液膜的穩定性，而球形疏水性顆粒會促進液膜的破裂。然而，目前大多數研究注重親水顆粒對液膜穩定性增強的研究，針對疏水顆粒導致液膜破裂的研究極少。Frye 等[21]提出了一種針對單個顆粒與單層薄膜相互作用的理論模型，發現球形顆粒的接觸角需要大于90°才能促進膜破裂，但是該模型中疏水顆粒初始時刻便位于液膜中間，這顯然與實際不符。此外也有關于該現象的實驗研究，Dippenaar[9]使用疏水玻璃球形微米顆粒對單個顆粒與單層薄液膜之間的相互作用進行了實驗研究，結果表明接觸角為102°的微米顆粒會促進液膜破裂，在一定程度上證實了理論預測的液膜破裂機制。Zhu 等[1]則在納米尺度液膜上研究了單個球形玻璃顆粒與單層表面活性劑薄膜的相互作用，發現薄膜的壽命在加入親水性顆粒后延長，在添加疏水性顆粒時減小。這些研究中，液膜厚度都遠小于顆粒半徑。對于理論模型，難以研究顆粒接觸液膜并浸入液膜的過程，而實驗研究中難以對顆粒接觸角進行精確控制。

對于單個納米或微米顆粒促進液膜破裂的現象，其時間空間尺度小，實驗難以準確捕捉，單純的理論與實驗研究都不能直觀展示顆粒與液膜相互作用的詳細過程，在這方面模擬研究有其獨特的優勢。作為介觀方法，格子Boltzmann方法（LBM）已被證明是研究潤濕性對流體中固體顆粒運動影響的有效數值方法。Ladd[22-23]提出用于模擬固液懸浮液的2D 格子Boltzmann 模型，Joshi 等[24]改進Ladd 的模型[22-23]并與單組分/多相模型相結合，模擬懸浮在液體蒸氣表面上的2D顆粒的運動。

本文通過將Joshi 等[24]的顆粒模型與Gong 等[25]的單組分/兩相流模型結合，采用等溫格子Boltzmann 方法兩相流模型對單個顆粒與薄液膜之間的相互作用進行了研究，并對疏水顆粒促進液膜破裂的過程進行了詳細研究。

1 格子Boltzmann方法

1.1 格子Boltzmann方法兩相流模型

本文采用Gong 等[25]提出的Gong-Cheng 單組分/兩相流模型。

格子Boltzmann 方法主要分為碰撞和遷移兩個過程，采用BGK 碰撞算子的流體粒子分布函數的碰撞過程為：

結合顆粒運動模型之后其遷移過程有所不同，具體遷移過程的方程可參考文獻[26]，關于該二維兩相流模型各項的具體設置可參考文獻[25]。

1.2 顆粒運動模型

本文顆粒運動模型基于三個假設：(1)顆粒為球形，(2)忽略顆粒轉動，(3)忽略布朗運動。根據牛頓第二定律，每個顆粒的運動可以通過以下方程式描述：

式中，Up是粒子的速度，Mp是顆粒的質量，二維情況下由式(3)給出：

式中,Rp是粒子的半徑，ρp是粒子的密度，此處取為液體密度的1.5倍。

式（2）中的Fp是作用在粒子上的總作用力，由于本文只研究單個顆粒的行為且忽略重力的作用，因此總作用力包括來自周圍流體的撞擊力Fimp，附著力Fadh和動量交換力Fmom三部分，可以表示為：

其中Fimp可參考文獻[26]，Fadh是流體節點與粒子節點的相互作用力，表達式為[24]：

式中，b表示顆粒邊界相鄰的所有流體格點；Gsp是流固作用力強度系數，可用于調控顆粒表面潤濕性；sp(x+eiδt)為指示函數，顆粒內部固體格點取1，流體格點取0。關于LBM 方法中固液接觸角的更多計算可以參考文獻[27]。關于Fmom的計算可參考文獻[24]。

Gong-Cheng 模型相比普通單組分/多相模型具有更好的數值精度和數值穩定性[25,28]，將Gong-Cheng 單組分/兩相流模型與顆粒運動模型相結合，固體顆粒單個時間步Δt（Δt=1）的位移為UpΔt，通過顆粒內部格點和流體格點的相互轉化來實現顆粒位移。顆粒移動后，在t時刻由流體格點轉化為顆粒內部格點的格點密度可直接取為ρp，而由固體顆粒內部格點轉化為新流體格點的格點密度由周圍流體格點的平均密度來表示[26]：

式中，xa表示新流體格點周圍的流體點，Na表示周圍流體點的數量，ρa表示xa位置處流體格點的密度。由式（6）即可得到新的流體格點的密度。

關于顆粒運動模型的更多細節可參考文獻[24]。

2 顆粒親疏水性

本節討論在等溫條件下單個顆粒漂浮在水面上的穩態情況，格子Boltzmann 方法中顆粒在水蒸氣-水界面處的平衡位置取決于顆粒由于固液作用力引起的潤濕性[29]，LBM 中通過調節系數Gsp可得到不同顆粒接觸角。現在通過格子Boltzmann 方法(LBM)模擬單個粒子在無重力的情況下漂浮在液體表面的情況。圖1(a)給出了格子單位為Nx×Ny =400 × 400 的計算域的2D 示意圖，通過網格無關性測試[圖1(b)]發現這一格子計算區域可以保證計算精度，高度為Ny/2的液態水充滿下方區域，固體顆粒（半徑Rp=20 個格子單位，實際單位約為30.6 nm）最初放置在氣-液界面的中心，液體和水蒸氣都處于飽和溫度T0=0.85Tcr，在此溫度下，液體和水蒸氣的飽和密度分別約為6.63 和0.34。在x方向上施加周期性邊界條件，并且在計算區域的頂部（y=400）和底部（y= 0）施加無滑移壁面邊界條件。關于格子單位與實際物理單位轉換可參考Wang 等[30]的方法，本文中1格子單位約對應1.53 nm。

接觸角大于90°的疏水顆粒與接觸角小于90°的親水顆粒在液面不同位置如圖1 中所示，作用于氣-液界面處半徑為Rp的球形顆粒上的界面力（Fi）可表示為[11]：

圖1 液面上漂浮單個粒子的計算域示意圖(a);不同網格數下Gsp與顆粒接觸角關系圖(b)Fig.1 Schematic of the computation domain for a single particle floating on liquid surface (a);Relationship between Gsp and contact angle with different grid numbers(b)

式中，σ為液體的表面張力，J/m2；θ為固體顆粒的接觸角，(°)；x為顆粒浸入液體中的相對深度，等于其絕對浸入深度h與顆粒半徑之比：x=h/Rp。如果Fi> 0，則向量Fi指向液相。在沒有其他力的情況下，如果Fi= 0，則顆粒將在氣-液界面處于平衡位置。此時可得顆粒平衡位置浸入液體深度為：

如式（8）所示，接觸角唯一地確定了顆粒在液-氣界面處的平衡位置。

3 結果與討論

3.1 計算域設置

3.2 顆粒接觸角對液膜破裂的影響

圖2 單個固體顆粒與薄液膜相互作用的計算域示意圖Fig.2 Schematic diagram of the computational domain simulating the interaction between a single solid particle and thin liquid film

式中，R1和R2是描述顆粒附近彎曲的氣-液界面的兩個曲率半徑，σ是水蒸氣-水的表面張力。上下的氣液界面會在該毛細力驅動下會沿著顆粒表面移動，當上下的氣液界面接觸時，顆粒與液膜接觸極不穩定，液膜便會脫離顆粒表面而破裂[21]。

圖3 液面彎曲產生毛細力示意圖Fig.3 Schematic diagram of capillary force generated by liquid surface bending

模擬發現顆粒導致液膜破裂的整個過程如圖4所示，液膜破裂現象與理論分析[32]和實驗現象[9]基本一致。模擬發現疏水納米顆粒導致液膜的破裂可以細分為兩個階段，階段1 是顆粒接觸液膜并在界面力（Fi）的作用下向液膜內部移動直至顆粒恰好接觸下氣液界面的過程，階段2 是上下氣液界面被毛細力驅動在顆粒表面移動的過程。

顆粒接觸角越大，液膜在顆粒表面的彎曲程度越大，所產生的毛細力越大，液面線在顆粒表面移動的速度越大，上下氣液界面會更快相遇從而導致液膜破裂，因此階段2 時間大大縮短。但是顆粒接觸角越大，由式（7）可知使顆粒向液體內部運動的界面力Fi越小，因此顆粒從接觸液膜到接觸液膜下界面的移動速度減小，而這卻會導致階段1 時間大大延長，階段1 所耗費的時間遠長于階段2。圖5 是不同接觸角顆粒導致定厚度液膜破裂兩個階段的時間分布模擬結果，其中破裂時間為顆粒接觸液膜直到液膜恰好脫離顆粒表面的時間間隔，圖5表明，在顆粒接觸角為106.7°附近時兩個階段綜合耗費的時間最短，因此在此接觸角附近顆粒導致液膜破裂時間最短。

圖4 球形疏水顆粒導致液膜破裂的兩個階段（接觸角θ=106.7°，液膜厚度=0.4）Fig.4 Two stages of liquid film rupture caused by spherical hydrophobic particle(contact angle θ=106.7°,liquid film thickness=0.40)

圖5 不同接觸角顆粒導致定厚度液膜破裂的兩個階段的時間分布(液膜厚度 =0.4)Fig.5 Time distribution of two stages of liquid film rupture caused by particle with different contact angle at a given thickness(liquid film thickness=0.4)

3.3 液膜厚度的影響

當顆粒接觸液膜時，顆粒會在界面力的作用下向液膜內部移動，此時會有兩種情況，一種是液膜的厚度小于顆粒在氣液界面平衡時進入液體的深度，另一種是大于。

當第一種情況發生時，顆粒會在界面力的作用下直接穿透液膜并接觸液膜下界面，然后開始圖4所示的液膜破裂的第二個階段。

第二種情況多發生于顆粒接觸角過大即過于疏水的情況，此時界面力的作用不足以使顆粒穿透液膜并接觸下界面，模擬結果如圖6所示，此時顆粒下部液體不斷向兩側排開，隨著液體不斷向兩側排開下液面則會不斷向上移動，直到顆粒下部液面線接觸顆粒，此后的現象與第一種情況相同。在這種情況下，前期顆粒排開液體向兩側運動的過程極為緩慢，因此顆粒導致液膜破裂的時間大大延長。

圖6 展示的是當顆粒半徑網格數為20、30 和40時導致液膜排水的示意圖，液膜厚度均為=0.45，可見隨顆粒半徑網格數增加依然會出現排水現象，因此可以排除網格數量的影響。

圖6 疏水顆粒導致液膜排水示意圖（接觸角θ=150.5°，液膜厚度=0.45）Fig.6 Schematic diagram of liquid film drainage caused by particle(contact angle θ=150.5°,liquid film thickness=0.45)

圖7是不同接觸角顆粒導致不同厚度的液膜的破裂時間的模擬結果。對于接觸角為90°和106°的顆粒而言，其平衡時進入液體的深度極大，并不會產生圖6 的排水現象，因此液膜破裂時間隨液膜厚度近似線性增長。對于接觸角為125.7°的顆粒，當液膜厚度大于等于0.45 時，顆粒導致液膜破裂的時間大大延長，這是因為接觸角為125.7°的顆粒平衡時能夠浸入液體的深度為=1+cosθ=0.42，當液膜厚度大于0.42 時，顆粒僅依靠界面力無法穿透液膜，達到穩定的深度heq后(圖6)，顆粒下部的液體不斷向兩側排開，下方液相線逐漸靠近顆粒，直到接觸顆粒表面，這個過程遠遠慢于顆粒依靠界面力運動的過程，因此耗費的時間呈現突然的增長。而對于接觸角為150.5°和161.2°的顆粒而言，其能深入液膜的深度極小，因此在液膜厚度為0.13 的時候便已經是圖6破裂機理，因此隨液膜厚度增加，其導致液膜破裂的時間呈近似線性增長，并不會因為破裂模式的轉變而導致破裂時間的突變。當液膜厚度為0.5 時，接觸角為125.7°、150.5°以及161.2°的顆粒無法依靠界面力浸入液膜，因此會對液膜產生圖6的排水現象，此時接觸角越大排水越快，因此接觸角161.2°的顆粒反而比125.7°和150.5°的顆粒更快導致液膜破裂。從圖7 可以看出，當液膜厚度小于顆粒半徑時，接觸角為106.7°的疏水顆粒導致液膜破裂的時間總是最短。

圖7 液膜破裂時間與液膜厚度及顆粒接觸角關系Fig.7 Time distribution of liquid film rupture of different thickness caused by particle with different contact angles

4 結 論

采用等溫格子Boltzmann 方法兩相流模型結合顆粒運動模型對單個顆粒導致液膜破裂的現象進行了數值模擬研究，得到如下結論。

（1）疏水性球形顆粒會導致液膜破裂，顆粒促進液膜破裂可以細分為兩個階段，一是顆粒接觸液膜并在界面力的作用下向液膜內部移動直至顆粒恰好接觸液膜下界面的階段，二是上下氣液界面在毛細力驅動下沿顆粒表面移動并接觸的階段。綜合兩個階段的時間，發現顆粒接觸角為106.7°附近時導致液膜破裂時間最短。

（2）液膜厚度與顆粒接觸角的相對關系對液膜破裂時間有很大影響，當液膜的厚度大于顆粒在氣-液界面平衡時浸入液體的深度時，此時界面力的作用不足以使顆粒穿透液膜并接觸液膜下界面，液膜將會發生排水現象直至顆粒接觸液膜下氣液界面，在這種情況下，疏水顆粒導致液膜破裂的時間會延長。當不同接觸角下均處于排水狀態時，接觸角越大則液膜排水越快。

由于缺少通用的理論分析與詳細的實驗數據，僅能對該現象進行模擬分析，模擬現象與理論和實驗基本一致，但缺少定量對比，這將是下一步的研究重點。