例談高中數學中數列遞推問題的處理方法

◇ 安徽 黃振東

數列是高中數學的重要知識點，但學生遇到較為復雜的遞推問題時，常常不知道如何下手，失分率較高.為避免這一情況的發生，教學中應注重篩選經典的例題，為學生講解數列遞推問題的處理方法，使學生掌握相關的解題技巧，實現快速解題.

1 新定義遞推問題

這類問題在高考中經常出現，主要考查學生的分析應用能力.解題時應深入理解題干，根據要求解的問題靈活應用數列通項公式的遞推方法.

例1設數列｛an｝滿足a1=2，an+1=an+2（n+1），若［x］表示不超過x 的最大整數（如［1.6］=1，［-1.6］=-2），則

A.2020 B.2019 C.2018 D.2017

解析

由已知條件an+1=an+2（n+1），可推出an+1-an=2（n+1），又因為a1=2，則an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=2n+2（n-1）+2（n-2）+…+4+2=n（n+1），則因此=2+1+1+…+1=2019，故選B.

2 奇偶項通項公式不同問題

高中數列問題中有一部分數列奇偶項的通項公式不同，問題難度較大.解答時需要進行分類，找到奇數項與偶數項之間的關系，再正確求解奇數項與偶數項的通項公式.

例2已知數列｛an｝的前n 項和Sn滿足Sn-則S100=（ ）.

解析

很多學生看到該題不知如何下手.事實上在突破該類問題時仍然需要應用所學的基礎知識，找到奇數項與偶項數之間的遞歸關系.

因為數列｛an｝的前n 項和Sn滿足

當n≥2時，得

①-②得an-（-1）nan+（-1）n-1an-1=2-，所以當n 為偶數 時即n=102時，當n 為奇數時101時，2a101+a100=，因此，，即S100=a100+200-6+=200，故選B.

3 兩個數列問題

高中數列的部分習題涉及兩個數列，解答該類問題有時需要求解出其中一個數列的通項公式，有時則需要找到兩個數列之間的關系.

例3已知數列｛an｝滿足a1==+3an+1，若，設數列｛bn｝的前n 項和為Sn，則使得｜S2019-k｜最小的整數k 的值為（ ）.

A.0 B.1 C.2 D.3

解析

由an+1=an2+3an+1，可得an+1-an=+2an+1=（an+1）2≥0，故數列｛an｝為遞增數列，而an+1+1=+3an+2=（an+1）（an+2），因 此，，則，則

高中數列遞推問題難度較大，教學中教師應注重篩選經典例題，為學生深入細致地講解，同時組織學生開展相關的訓練活動，使學生真正地掌握相關的解題技巧，提升學習能力.