結合克拉默法則求解齊次多元隱函數方程組的偏導數

龍彩燕

(廣州工商學院 基礎部，廣州510000)

0 引言

克拉默法則在求解非齊次線性方程組中起著非常重要的作用，是一個計算簡便的方法，特別是對于二元、三元的齊次線性方程組的求解可以利用行列式計算表示。關于一元隱函數求導的研究成果有很多，對于多元隱函數求偏導數也有比較顯著的成果，是高等數學教學的一個重點，也是難點。而多元隱函數方程組的偏導數求解則是難中之難。下面，利用克拉默法則求解齊次多元隱函數方程組的偏導數。

1 回顧克拉默法則定理及例題應用

定理1：

(克拉默法則)如果線性方程組(1)

的系數行列式

則方程組(1)有唯一解且解為

其中Dj是將系數行列式D中j列的元素用方程組右端的常數項代替后所得到的n階行列式，即

例1：用克拉默法則求解線性方程組：

2 利用克拉默法則求解多元齊次隱函數偏導數方程組

多元齊次隱函數偏導數方程組是指隱函數關于其中一個自變量的偏導個數與方程的個數相同。

定理2：

隱函數方程組

兩邊同時對x(或y)求導且整理為

其中a11,a12,a21,a22,b1,b2為關于x,y,u,v的函數，只要

例2 ：

解：將方程組兩邊同時對x求導，得

則令a11=x2,a12=-y3,a21=y,a22=x,b1=-2xu,b2=-v，只要系數行列式

同理得