一元函數(shù)定積分的計算方法及策略

武文娟

(廣州工商學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，廣州510850)

0 引言

不定積分和定積分是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，定積分既是不定積分內(nèi)容的延拓，又是求平面圖形面積、弧長、旋轉(zhuǎn)體體積等幾何物理量的重要方法，也是復(fù)變函數(shù)、概率統(tǒng)計等相關(guān)課程的知識工具。一元定積分的計算方法有很多，主要有幾何意義法、奇偶性法、直接積分法、換元法和分部積分法。除了要掌握這些基本的求解方法外，還要講究一定的策略，以便方便快速地求解。這個策略指的是解決問題時應(yīng)考慮求解方法的順序，這個順序決定了解題的難易、耗時的多少。以下將給出一元函數(shù)定積分的各種計算方法及策略，即各種計算方法及考慮使用這些方法的順序，并通過各種題型、各種計算方法的比較來具體闡釋。

1 定積分的計算方法

1.1 奇偶性法

奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分等于0，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分等于正數(shù)區(qū)間的2倍。用奇偶性法應(yīng)看積分區(qū)間是否為對稱區(qū)間，然后再看被積函數(shù)的奇偶性。

1.2 幾何意義法

1.3 直接積分法

根據(jù)Newton—Leibniz公式，利用基本不定積分公式得出一個原函數(shù)，算出原函數(shù)在積分上下限函數(shù)值之差即是所要求的定積分。

1.4 換元法

換元法是通過引入一個新變量來簡化積分運算。在定積分求解過程中，可以根據(jù)所設(shè)變量與原變量的關(guān)系相應(yīng)變換積分的上下限。

1.5 分部積分法

2 定積分的計算策略

定積分的計算方法共有五種，定積分的計算策略就是按一定的順序依次使用這些方法，方法的順序為奇偶性法、幾何意義法、直接積分法、換元積分法、分部積分法。下面將舉例闡釋定積分的計算方法及策略。根據(jù)本研究給出的解法順序去計算定積分，發(fā)現(xiàn)這個策略對于求解定積分是行之有效的，會大大簡化運算過程。

例1 計算下列定積分

分析：按照計算策略，應(yīng)該先考慮奇偶性法，積分區(qū)間是對稱區(qū)間，再看被積函數(shù)是奇函數(shù)，根據(jù)奇偶性法，此積分結(jié)果應(yīng)等于0。

備注：如果此題不按順序考慮求解方法，就容易漏掉奇偶性法而選用第二換元法，大大增加了題目求解難度。

分析：按照計算策略，應(yīng)該先考慮奇偶性法，但積分區(qū)間不對稱，所以不能用奇偶性法，考慮使用第二種幾何意義法，定積分等于上半圓(x-1)2+y2=1與x軸所圍成圖形的面積。

備注：如果此題不按順序考慮求解方法，就容易忽略幾何意義法而選用第二換元法，大大增加了題目求解難度。

備注：如果被積函數(shù)是分式形式且分子分母都是多項式，通常把被積函數(shù)裂項成兩項之和再求積分。

分析：按照計算策略，先考慮奇偶性法，由于積分區(qū)間不對稱，故不符合，再考慮幾何意義法，不是常見圖形，不易畫出，然后考慮第三種直接積分法，但被積函數(shù)不是基本初等函數(shù)，不能直接用基本積分公式積出，接著考慮換元積分法，引入中間變量u=cosx，則du=-sinxdx，這樣就可以算出積分。

備注：被積函數(shù)是兩個式子乘積，先從最復(fù)雜的式子下手，本題復(fù)雜的是cos5x，對照基本積分表，與x5比較相似，故可嘗試u=cosx，換成對u的積分。

分析：按照計算策略，先考慮奇偶性法，由于積分區(qū)間不對稱，故不符合，再考慮幾何意義法，不是常見圖形，不易畫出，然后考慮第三種直接積分法，但被積函數(shù)不是基本初等函數(shù)，不能直接用基本積分公式積出，接著應(yīng)考慮換元積分法，但不易找出中間變量，又看到被積函數(shù)是兩個基本初等函數(shù)乘積，所以應(yīng)該用分部積分法，根據(jù)反對冪三指的順序確定u和v。

備注：如果被積函數(shù)是兩個基本初等函數(shù)的乘積，常用分部積分法，根據(jù)反對冪三指的順序，兩個函數(shù)哪個在前哪個看成u。

分析：按照計算策略，先考慮奇偶性法，由于積分區(qū)間是對稱區(qū)間，再看被積函數(shù)不具有奇偶性，但該被積函數(shù)可以裂成兩項之和，每一項都具有奇偶性，奇函數(shù)部分結(jié)果為0，偶函數(shù)部分求積分有根式先根式有理化，化解被積函數(shù)，最后用幾何意義法即可求出結(jié)果。

3 結(jié)語

通過例1各題詳細演示了用本研究提到的方法及策略計算定積分可以簡化運算，降低計算難度，而且也不易忽略最簡單的計算方法。例2是個綜合題，用到了三種計算方法，根據(jù)本研究提到的計算策略能方便快速地計算出結(jié)果。