基于未確知數學理論的基坑抗隆起穩定分析

楊 帆

(巴中市勘察設計咨詢服務部，四川巴中 636600)

自然界中存在著眾多的不確定性因素，由于認識水平的局限性，對這些不確定性因素往往不能全面認識或了解。例如，巖土體的性質非常復雜，其性質需要眾多物理力學參數來描述，而且這些計算參數往往不是定值。這就給地基基礎的設計帶來了很大的難度和不確定性。在常規設計中大多是按照經驗，對計算參數的未確知性加以忽略，將不確定性問題作為確定性問題考慮。

不確定性信息包括了隨機信息、模糊信息、灰信息等。隨機性由概率統計來表達和處理，模糊性由模糊數學處理，灰性由灰色數學方法處理。但是，由于實際條件的限制和地質情況的復雜性而使得很難對巖土體進行大量、準確的試驗，從而難以得到參數的準確值或概率分布。因此，在使用模糊數學等方法的過程中，難以確定參數值合理的隸屬函數，給求解帶來了不便。灰色理論中多采用區間型灰數來表達部分已知、部分未知的灰信息，但區間型灰數多是定義在一個區間內，且在補充信息較少的情況下灰數的白化相當困難。同理在使用可靠性分析方法時，也需要大量的資料來確定參數的變異性和不確定性[1]。

考慮到以上問題，以及土體參數在客觀上是確定性的，但決策者由于主觀原因而認識不清，即屬于一種不完整信息。這類信息是部分已知部分未知的未確知信息，而且已知部分多于未確知部分。設計者在使用這類信息或參數進行設計、計算時，應該充分考慮它的未確知性，而不能簡單的將其作為確定性信息處理。

用于處理未確知信息的數學工具是未確知數學，它是實數的推廣，能精細地刻劃和表達客觀存在的“未確知量”，從而避免使用定值表示帶來的信息遺漏和失真[2]。

1 未確知數學基本理論

簡單來說，如果已知一個數落在區間[a,b]上，那么這是一個灰數；如果既知道這個數落在區間[a,b]上，同時還知道它在區間上取值的可能，就是一個未確知數。

1.1 未確知有理數[3]

對任意閉區間[a,b]，a=x1

(1)

1.2 未確知有理數運算法則

設*表示g(I)中的一種運算，可以是+、-、×、÷中的任何一種。設未確知有理數A、B為：

A=[[x1,xk],f(x)]，其中：

(2)

B=[[y1,ym],g(y)]，其中：

(3)

表1為盲數A關于B的可能值帶邊*矩陣；x1,x2,L,xk和y1,y2,L,ym分別為A與B的可能值序列。互相垂直的兩條直線叫縱軸和橫軸。第一象限元素構成的k×m階矩陣叫做A關于B在*運算下的可能值*矩陣，簡稱可能值*矩陣。

表2為A關于B的可信度帶邊積矩陣；α1,α2,L,αm，和β1,β2,L,βn，分別是A和B的可信度序列。互相垂直的兩條直線叫縱軸和橫軸。第一象限元素構成的m×n階矩陣叫做A關于B的可信度積矩陣，簡稱可信度積矩陣。

表1 A關于B的可能值*矩陣

表2 A關于B的可信度帶邊積矩陣

A關于B的可能值*矩陣與可信度積矩陣中元素aij,bij(i=1,2,L,n)叫做相應元素，其所在的位置稱為相應位置。

(4)

當*分別代表+、-、×、÷時，則分別代表A+B、A-B、A×B、A÷B。

2 基坑抗隆起穩定分析

基坑穩定驗算是基坑支護設計重要內容之一，其中包括整體穩定、抗隆起穩定、抗滲流穩定驗算等。基坑的抗隆起穩定分析對保證基坑穩定和控制基坑變形具有重要意義，現行的規范中也給出了具體的驗算方法[4]。但規范給出的公式僅適用于純黏性土(φ=0)，很難同時考慮土體的抗剪強度c、φ對抗隆起的影響。因此參照Prandtl的地基承載力公式進行抗隆起安全系數的驗算[5]：

(5)

式中：d為墻體入土深度；h為基坑開挖深度；γ1,γ2為墻體外側及坑底土體重度；q為地面超載；Nc、Nq為地基承載力系數。

采用Prandtl公式計算時，Nc、Nq分別為：

Nq=tan2(45°+φ/2)eπtanφ

(6)

Nc=(Nq-1)/tanφ

(7)

使用該方法驗算抗隆起安全系數時，要求Ks≥1.6。

從以上的分析可以看出，抗隆起安全系數同土的物理性質指標和抗剪強度密切相關。由于土的重度一般離散性較小，也便于測量，所以抗剪強度c、φ對計算結果影響較大。常規方法將c、φ當作定值處理，雖然簡便，但難免與實際不符，計算結果有時也不全面。下面通過一個算例來說明使用未確知有理數和一般實數對抗隆起穩定分析帶來的影響。

3 算例研究

某基坑開挖深度為8m，采用鋼筋混凝土支護樁，嵌固深度為2m，基坑表面作用的均布荷載q=40kPa。基底以上土層為粉質黏土，γ=19.8kN/m3、c=27kPa、φ=38°，基坑底至支護樁底端(圖1中的CB段)土層為黏性土混砂，γ=18kN/m3，三組試驗測得的黏聚力分別為：12kPa、13kPa、17kPa；測得的內摩擦角為：18°、17°、23°。現對該基坑進行抗隆起穩定分析。

圖1 基坑抗隆起計算示意

用常規確定性分析方法，坑底土的平均黏聚力為14kPa，平均內摩擦角為19°，代入式(5)～式(7)可得，抗隆起安全系數Ks=1.72>1.6，滿足規范要求。

下面使用未確知有理數來描述黏聚力和內摩擦角的試驗結果。

根據資料，黏聚力有三個測值，其中12kPa、13kPa兩個值比較接近，可以都取較小的12kPa。因此可以得到其未確知有理數表達式為:

(8)

同理可得φ的未確知有理數表達式為:

(9)

將c、φ的表達式代入式(6)、式(7)，可以得到地基承載力系數的未確知有理數表達式為：

(10)

根據式(8)和式(10)可以看出抗隆起安全系數的分子的兩項cNc,γ2dNq都是未確知有理數，根據未確知有理數的運算法則可以得到：

(11)

(12)

由式(11)、式(12)可以根據未確知有理數的運算法則進行安全系數Ks的分子的計算，具體過程見表3和表4。

表3 cNc關于r2dNq的可能值帶邊和矩陣

表4 cNc關于r2dNq的可信度帶邊積矩陣

安全系數Ks的分母為一定值，因此表3和表4和已知數據，可以計算得到Ks的表達式，經整理后如下：

(13)

由式(13)可以看出，抗隆起安全系數Ks小于1.6的可能性為8/27，，即抗隆起驗算不滿足要求的概率為將近1/3。

對比不考慮參數未確知性的計算結果和將參數作為未確知有理數進行處理后得到的計算結果，可以發現結論不盡相同。常規的設計方法分析得到的結論是基坑抗隆起安全系數滿足要求，即支護樁的嵌固深度足夠。但如果考慮了參數取值的不確定性，將這些難以用定值描述的參數用未確知有理數表達及運算，可以發現地基承載力不能滿足要求的概率近1/3，這說明該基礎的地面尺寸并不是在任何情況下都滿足承載力的要求。設計人員對基礎的安全性應有更充分的認識，如果出于安全的考慮，建議增加支護樁嵌入基坑底部的深度。

4 結 論

(1)設計中不可避免的會涉及到難以確定或離散性較強的計算參數，常規的處理方法一般是給參數取一個定值(如平均值或者經驗值)，然后采用相應的方法進行分析計算。這類常規設計方法在一定程度上忽略了隱含于參數中的未確知性，分析結果不夠全面，有時甚至會得出錯誤的結論。

(2)與以往的確定性分析方法相比，未確知有理數可以將難以用定值描述的參數用可信度表示，對影響因素考慮周全，從而得到更詳實全面的結果。

(3)在未確知有理數的計算過程中，取值區間越多，進行運算所得的可能值區間就越多，計算量就越大。而過多、過密的取值區間對計算結果是毫無意義的。因此，在計算中應盡可能地根據現場的實際情況來確定參數的未確知性，并在運算中注意區間的合并，以使計算結果的表達清晰明了。