拉普拉斯變換及其在物理學中的應用研究

唐鴿 劉桂香 賈久峰

【摘?要】拉普拉斯變換又被稱為拉氏變換，是拉普拉斯總結當時所有的概率論之后提出的，是一種非常重要的數學工具。本文研究分析了拉普拉斯變換在解線性常微分方程、電路分析、阻尼振動中的應用。研究表明傅里葉積分變換大大減少了復雜的數學運算，對物理學的發展有著顯著的促進作用。

【關鍵詞】拉氏變換;解線性常微分方程;電路分析;阻尼振動

1812年法國的分析學家概率論學家和物理學家Pierre-Simon Laplace，（1749-1827）總結了當時所有有關概率論的研究，在《概率的分析理論》中導入了拉普拉斯變換并在科學技術的各個領域中有著廣泛的應用。經過嚴格論證之后于19世紀末期被英國工程師物理學家Oliver?Heaviside，（1850-1925）稱之為算子法，在電路分析學中有著廣泛應用。

1拉普拉斯變換【1】

拉普拉斯變換是一種重要的積分變換，它建立傅里葉變換的基礎上，比傅里葉變換的范圍更廣。

一個函數f（t）進行拉普拉斯變換為F（s）定義如下：

2 拉普拉斯變換的應用

2.1求解線性常微分方程

在求解線性常微分方程中拉普拉斯變換是一種分非常重要是數學工具，出可將實變量函數轉換為虛變量函數，對線性常微分方程進行拉普拉斯變換，可以轉換成含有s的代數方程，最終可得到其在s域上的解，并對其進行拉普拉斯逆變換即可得線性常微分方程的通解和特解，十分方便。

例如有一個二階線性常微分方程：

我們可以通過上面的計算可以看出，若求一個線性常微分方程的解運用拉普拉斯運算是十分簡便的。只需要對其進行拉氏變換，求出X（s）后對其進行拉普拉斯反變換就可以得到我們想要的通解了。

2.2電路分析【2-3】

在電路分析中拉普拉斯變換也有著重要應用，在電路分析中的向量法是一種變換域的分析方法，可將電壓電流等物理量在時域中的單一頻率正余弦波變換為頻域的向量中來。通過分析計算得出相量形式的電壓和電流，最后對其進行拉普拉斯反變換變為時城正余弦電壓電流。相量法實質是將電路中一些的物理量在時域正余弦交流變化中求解微分方程的計算，從而轉化為在頻域中求解復數代數方程問題，從而簡化數學計算。

對于動態電路的分析，一般情況下有兩種方法，即變換域分析法和時域分析法，我們可以對其進行拉普拉斯變換從而得到復頻域分析，是一種非常重要的變換域分析法。而時域分析法經常用于處理簡單的二階電路的問題和一些一階電路問題。對于高階電路來說采用時域分析法來求解電路時，確定初始條件和積分常數的計算十分復雜，不利于簡化問題。如果，這時如果對電路進行運用拉普拉斯變換的復頻域分析法即對電路進行拉普拉斯變換就可以簡化計算。

拉普拉斯變換是積分變化，它可以將動態電路過程中描述時域的常系數線性微分方程變轉換為復頻域下的復數代數方程，在復頻域的求解這，可以解得對應量的復頻域函數，最后經拉普拉斯反變換可以求解到在時域下的對應量。在動態電路的分析中這種時域和復頻域相互轉換的變換分析方法，實質就是時域問題變換為復頻域來求解，簡化了計算。

2.3 阻尼振動方程

在研究物理學的阻尼振動中，由于系統受阻尼影響振幅會隨時間的增大而逐漸減小，且在同一種阻尼下阻尼的大小與運動的速度成正比，所以可以加一個周期的策動力，策動力按周期的余弦變化規律且初相位為零。記為：

研究表明傅里葉積分變換大大減少了復雜的數學運算，對物理學的發展有著顯著的促進作用。

參考文獻：

[1]南京工學院數學教研室編.積分變換第三版[M].北京高等教育出版社.

[2]徐美進，陳永衡.積分變換的電學應用[J].學院學報2006，26（02）：136-138

[3]Duhamel P，Vetterli M. Fast Fourier transform：a tutorial review and a state of the art. Signal processing，19：259-299，1990.

作者簡介：

唐鴿，1981年10月出生，女，湖南省邵陽市，漢族，碩士研究生，講師，研究方向：凝聚太物理。