對斜面模型非完全彈性碰撞能量損失的定量計算

何長

【摘?要】為了解斜面模型非完全彈性碰撞能量的損失情況，本研究以一道斜面模型物理題目為研究對象，利用動量定理對其能量損失情況進行分析與定量計算.研究發現：（1）從光滑斜面下滑的物體與粗糙水平地面碰撞的瞬間，豎直方向和水平方向均有能量損失，為非完全彈性碰撞.（2）斜面傾角的臨界值為.當時，碰撞的能量損失為100%;當時，碰撞的能量損失為.

【關鍵詞】斜面模型;非完全彈性碰撞;動量定理;能量損失

碰撞在物理學中表現為兩粒子或物體間在短暫時間內很強的相互作用，是物理學研究的重要對象.在斜面模型題目中，碰撞問題觸目皆是，如果此時不預設能量守恒即無能量損失的條件，則斜面模型會發生非完全彈性碰撞，必有能量損失.對于這種碰撞問題，利用動量定理來分析與定量計算其能量的損失情況，具有重要意義.

1 題目呈現

如圖1所示，傾角為θ的斜面體固定在水平地面上，斜面體高為H，質量為m的滑塊P（可視為質點）從斜面最高點A由靜止開始沿斜面滑下，一段時間后到達斜面最低點B.求：（g取10?m/s2）

這是一道典型的斜面模型題目，通過對該題目的解答，給大家提供一種運用動量定理計算斜面模型非完全彈性碰撞能量損失的方案.

2 常見的錯誤解法

滑塊到達斜面底端的速度為，方向沿斜面向下，該速度在水平方向的分量為，豎直方向的分量為，當滑塊在斜面底端與水平地面連接處碰撞發生時，豎直方向的速度由減小到0，能量損失

3 錯解剖析

其一，該題目未說明滑塊P在斜面體與水平地面連接處碰撞時無能量損失，則要考慮滑塊與水平地面發生碰撞時的能量損失，即該碰撞應為非完全彈性碰撞，而不應簡單的把該情況視為完全彈性碰撞.

其二，滑塊P與水平地面發生非完全彈性碰撞產生能量損失，豎直方向上的分速度在彈性形變力的作用下損失為零，而任何力總在一段時間內作用，所以在這段時間內，水平方向的分速度也在水平地面摩擦力的作用下減小.

因此，上述解法一的錯誤之處在于：未考慮滑塊在斜面與水平地面連接處碰撞時的能量損失，即認為水平方向運動的初速度為斜面底端的末速度.上述解法二的錯誤之處在于：雖然考慮了碰撞時滑塊豎直方向的能量損失，但未考慮水平方向的能量損失，即認為水平方向運動的初速度為.

4 題目分析

把滑塊看成質點，滑塊由斜面體頂端沿斜面體斜面滑下，滑塊與斜面之間無摩擦力，則滑塊由斜面頂端滑下的過程中機械能守恒.滑塊滑到斜面體底端時，滑塊的速度方向平行于斜面向下，如圖2.

此時，滑塊的速度可分解為水平向右的速度與豎直向下的速度，如圖3.

滑塊與水平地面發生非完全彈性碰撞，豎直方向上的分速度和水平方向上的分速度分別會在彈性作用力與摩擦力的作用下產生損失.在豎直方向上，滑塊P與水平地面間除了有相互作用的彈性力之外，盡管有其他力的作用，但相對于彈性形變力可忽略不計[2].若豎直方向的分速度減為零后，滑塊水平方向上的分速度未減為零，則滑塊緊接著沿水平地面減速運動，若滑塊水平方向的速度已經減為零了，則滑塊將停在斜面體與水平地面的連接處.由此，該題目的解答可分為三個階段進行：滑塊在斜面上運動階段、滑塊在斜面與水平面連接處的非完全彈性碰撞階段以及滑塊在水平面運動階段.

5 正確解法

滑塊與粗糙地面撞擊，會在地面的彈性作用力FN作用下減為零，而損失為零的過程中，水平方向的速度也在損失，假設損失為零的時間間隔為，損失為零的時間間隔為，如圖4為滑塊的受力分析.

因為，極短，在豎直方向上，mg相對于彈性作用力FN來說可忽略，則豎直方向上的作用力FN為豎直方向上的合力，而為水平方向上的合力，取豎直向下、水平向右為正方向，根據動量定理， 即質點動量的增量等于這段時間內作用于質點合力的沖量.

從以上分析可以看出，斜面模型中非完全彈性碰撞有能量損失，當其它條件相同，斜面傾角不同時，能量損失不同，滑塊在水平面上停留的地方也不同.且能量損失占比均很大，不可忽略.那么，斜面傾角為何值時，由于非完全彈性碰撞，滑塊恰好停留在斜面與水平面的連接處呢？即的臨界值為多少呢？

6?的臨界值

根據前面分析可知，在斜面與水平面的連接處，當滑塊y方向的分速度與x方向的分速度恰好都同時減為0時，有此處表示的臨界值，計算得.本例中，.當時，滑塊將停留在斜面與水平面的連接處，此時能量損失為100%;當時，滑塊將在水平面滑行一段距離后再停下來，此時能量損失為.

7?結論

通過對斜面模型非完全彈性碰撞的研究可以發現，在不預設連接處無能量損失時，若研究對象之間發生非完全彈性碰撞，且能量損失不可忽略時，就必須考慮非完全彈性碰撞所造成的能量損失.本研究主要是利用動量定理對斜面模型非完全彈性碰撞能量損失進行定量計算，提供一種計算能量損失的方案.

參考文獻：

[1]王偉民，辛存良.一道高考模擬題目的錯因剖析和修正[J].物理教師，2020，41（06）：93-94+97.

[2]孟憲強.物體的非完全彈性碰撞解析[J].邢臺職業技術學院學報，2004（03）：29-30+55.

[3]漆安慎、杜嬋英.普通物理學教程.力學[M].包景東，修訂.3版.北京：高等教育出版社，2012：93-151.