不確定美式算術一籃子看漲期權定價研究

尹曉芳 封韶波 劉昕鑫

【摘?要】美式一籃子期權是一個關于多個標的資產的投資組合，其收益取決于執行時這些資產的平均價格或加權平均價格。該期權賦予投資者一個權利，同時這個權利是可以放棄的。然而，這個權利的獲取需要付出一定的“代價”，即期權的價格。考慮到一籃子期權的價格通常要比關于單一標的資產的期權組合的價格要便宜，該期權很快收到了投資者的青睞。因此，文章主要探討了在不確定的金融環境中美式算術一籃子看漲期權的定價。假設股票價格之間是相互獨立的，并且服從相應的不確定微分方程，進而推導出美式算術一籃子看漲期權的定價公式，并且通過數值算例說明期權定價公式的可行性。

【關鍵詞】期權定價;美式算術一籃子看漲期權;不確定微分方程;不確定環境

引言

隨著經濟全球化與市場經濟地快速發展，金融衍生品為金融市場的發展開啟了一個新的篇章。作為一種金融衍生品，期權可以更好地發揮出規避風險、提高收益以及套期保值的功能。期權是一份合約，持有人在規定的時間內以敲定價格購買或銷售一定數量的原生資產的合同，但是期權的持有人卻不需要承擔必須購買或銷售的義務[1]。由此可以看出，期權是一個權利，并不是必須要去履行的義務。然而，期權的獲取并不是白白得到的，需要付出一定的價格，也就是期權的價格。期權的價格與買賣雙方的收益息息相關的，那么為期權進行合理的定價就顯得至關重要。

在B-S模型下，Hanbali和Linders[2]通過求解偏微分方程來研究美式一籃子期權的定價問題，同時也使用了有限差分法討論分析了歐式一籃子期權的定價。馬琴[3]在該模型下探討了歐式一籃子期權的定價問題，同時也在跳擴散模型和分數B-S模型下分析了該期權的定價。淡靜怡[4]是在雙分數布朗運動環境下分析了一籃子期權的定價問題。Liang和Xu[5]則是假定標的資產服從不同的隨機波動過程進而探討了歐式一籃子期權的定價問題。此外，在Heston模型下，李方琦[6]則是使用深度學習的方法來討論分析歐式一籃子期權的定價問題，以此來規避一籃子期權的多維度問題。在同一模型下面，張敏等[7]則是探討了關于兩個標的資產的歐式一籃子看漲期權的定價問題。上述模型均是使用概率論的方法，這就要求我們應該獲取到大量的樣本數據。然而，在現實當中考慮到技術等眾多實際方面的因素，也許無法收集到樣本數據或收集到的樣本數據是不可使用的。比如，市場上剛推出一款新型產品，然而該產品對于大眾的受歡迎程度則是不確定的，沒有歷史數據可供參考。再者，2019年新型冠狀病毒肺炎的迅速傳播，口罩成為一種必不可缺的防護產品，甚至成為疫情期間的必需品。2020年口罩的需求量明顯要遠遠高于往年的需求量。這對于研究2020年口罩的需求量是不具有任何參考價值的。在此情況下，我們需要找到相關的專家估計出事件發生的可能性，即專家信度[8]，以此來預測股票價格的發展走向。然而，由于人類預測的結果通常較為保守，給出的預測結果總是要比真實結果的范圍要大一些[9]。如果我們繼續使用概率論的方法來處理專家信度，甚至可能會出現違反人類直覺的結果[10]。因此，Liu[11]于2007年開創了不確定理論并于2009年進一步完善，Liu的不確定理論為解決期權定價這一問題開辟了一條全新的思路。

另外，Liu[12]在2009年首次將不確定理論運用到金融領域當中，假設股票的價格服從一個微分方程，進而構造出不確定股票模型，并推導出歐式期權的定價公式。在此模型下，Gao等[13]假設股票的價格服從不確定微分方程討論了4種美式障礙期權的定價問題。在不確定均值回歸股票模型下，Tian等[14]探討了四種歐式障礙期權的定價問題，同時也設計出算法來計算期權的價格。Gao等[15]則是假設股票的價格是一個帶跳躍的不確定過程，繼而探討了歐式多資產期權的定價問題。在不確定多因素股票的模型下，徐建強和彭錦[16]將彩虹期權的定價問題分為4種，并推導出相應的期權定價公式。此外，Huang和Wang[17]在不確定均值—機會模型下對期權組合投資進行了分析。

1 基礎理論

定義1.[11]假設是非空集合Γ上的σ-代數，每一個事件。若集函數M滿足：

3 結語

文章主要討論分析了在不確定金融環境中美式算術一籃子看漲期權的定價的問題。假設股票價格之間是相互獨立的，并且服從對應的不確定微分方程，進而推導出美式算術一籃子看漲期權的定價公式。在以后的研究內容中，可以探討在不確定金融環境中其他的美式多資產期權以及新型期權的定價問題。

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作者簡介：

尹曉芳，1995年出生，女，漢族，河北石家莊人，在讀碩士，研究方向：期權定價;

封韶波，1995年出生，女，漢族，河北邯鄲人，在讀碩士;

劉昕鑫，1993年出生，女，漢族，河北唐山人，在讀碩士。