一種基于非正態分布市場的期權定價模型

張鵬飛

摘 要：很長時間以來，布萊克-斯科爾斯（Black-Scholes）公式一直是期權定價的基礎模型。但是，B-S公式假設回報分布服從正態分布，回報的波動率σ也是常數。正態分布的對稱性和快速下降的尾部特征也意味著正態分布無法準確的描述資產回報的經驗分布的偏度和肥尾性。另外，當今的期權市場波動率很高，這也就無法假定波動率σ是常數。因此，本文提出一種經典調和分布模型，并提出數值計算方法。經過校正，經典調和分布有著比正態分布更貼合實際的概率密度曲線。這個結果表明經典調和分布可以更好的替代正態分布。

關鍵詞：期權定價，經典調和分布，數值模擬

經典調和分布的理論基礎

正態分布的對稱性以及快速下降尾部的特征意味著正態分布無法很好地描述資產回報概率密度分布的偏度和肥尾特征。經典調和分布可以在模擬實際回報率中作為正態分布的一種替代選擇，因為其允許一定的偏度和肥尾性。

假設隨機變量為X，經典調和分布的特征函數可以寫作：

由于經典調和分布有5個參數，經典調和分布比正態分布更加靈活，也更適合模擬非對稱、高峰值、重尾分布的數據。

數據和數值模擬

本文以交易所常見的歐式期權：標準普爾500指數（S&P 500，NYSE：SPX）為例，選取時間為01/01/2006至04/01/2016，計算期間每日的對數回報，然后分別使用正態分布和經典調和分布來擬合指數的對數回報曲線。其中，正態分布的參數μ（平均對數回報）以及σ（平均對數回報的標準差）很容易計算。對于經典調和分布的參數，我們使用最小二乘法來估計：

兩個分布最終的參數擬合結果如下：

顯然，由于λ+> λ-，經典調和分布的概率密度函數是左偏的，左尾下降速度更快。S&P500對數回報曲線（黑線）、經典調和分布曲線（藍色）以及正態分布曲線（紅色）如下圖所示：

如圖所示，經典調和分布更加擬合S&P500的對數回報曲線，與實施更加符合。相比于正態分布的兩個參數，經典調和分布的5個參數更加貼合真實的曲線，在期權定價上，也會比使用正態分布的B-S公式更加準確。

參考文獻：

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