三角函數的值域和最值問題求解策略

王雷 葛艷

[摘要]探討三角函數的值域和最值問題的求解策略，以全面鞏固學生的基礎知識，提高學生的數學思維能力和數學運算的核心素養.

[關鍵詞]三角函數;值域;最值

[中圖分類號]G633.6

[文獻標識碼] A

[文章編號]1674-6058（2020）14-0018-02

有關三角函數值域和最值問題，素來是高考命題熱點之一，求解這類問題涉及化歸、數形結合等重要的數學思想方法，有關三角函數的值域和最值問題，通常可采用哪些基本的解題策略呢？

一、利用三角函數的圖像

圖像法能讓函數性質徹底“曝光”，三角函數也是如此，當三角函數圖像容易畫出時，它的圖像會直接顯示它的值域或最值，所以圖像法是求三角函數的值域和最值問題的首選.

[例1]已知函數f（x）=（sinx+cosx）+|sinx-cosx|，則f（x）的值域是______

分析：去掉絕對值符號，f（x）就是一個分段函數，再分段畫出圖像.

二、利用正余弦函數的有界性

正余弦函數的值域具有有界性，即sinx，cosx∈;[-l，1]，利用這個特征可以解一些與正余弦函數復合的三角函數的值域或最值.

[例2]求下列兩個函數的值域.

（1）y=（cosx-3）/（cosx+3）;（2）y=（sinx）/（cosx+2）

分析：本題兩個函數都是與正余弦函數復合的分式型三角函數，可考慮利用三角函數的有界性來求解.

三、轉化為二次函數最值問題

轉化，是數學解題的主旋律，當三角函數比較復雜，依靠三角函數本身無法求真，真值域或最值時，可把它轉化為其他函數來解決，轉化為二次函數最為常見.

[例3]（1）已知sinx+siny=1/3，求siny-cos²x的最大值與最小值.

（2）求函數y=sinx·cosx+sinx+cosx的最大值.

分析：（1）消去siny后可直接看成關于sinx二次函數.（2）通過換元后轉化為二次函數求最值問題.

四、利用函數y=Asin（ωx+φ）+B求最值

對于一個含有sinx與cosx的二次齊次的三角函數來說，利用三角恒等變換公式，一般都可化成y=Asin（ωx+φ）+B形式，即將二次式轉化為一次式，繼而利用三角函數的有界性就可求出它的最值與值域.

[例4]已知函數f（x）=Asin （ωx+φ）（A>O，ω〉0，φ∈[0，π））的圖像如圖2所示.

（1）求函數f（x）的解析式;

（2）求函數g（x）=f（x）+√3 f（x+2）在X∈[-1，3]上的最大值和最小值.

分析：（1）根據圖像給㈩的關鍵點的位置與坐標求出f（x）的解析式;（2）將函數g（x）表達式y=Asin（ωx+φ）+B的形式.

當然，求解三角函數的值域與最值問題，還有許多方法，這些方法的根本是轉化，把原來無法解決的問題轉化為熟知的問題來解決.

（責任編輯 黃桂堅）