兩次消元巧求直徑方程

付建

[摘要]將直線和二次曲線方程聯立，消元兩次，就可以得到圓的直徑方程，這種思路清晰，過程看似煩瑣，實則簡潔.

[關鍵詞]直徑方程：二次曲線：消元：直線

[中圖分類號]G633. 6

[文獻標識碼] A

[文章編號]1674-6058（2020）14-0017-02

在解決與以直線和二次曲線相交的弦為直徑的網有關問題時，常規解法是將直線方程和二次曲線方程聯立，消元一次，即消去x或y，使用根與系數關系，求出圓心坐標和半徑，但在解題中發現，可以消元兩次，既消去x，也消去y，將每次消元后的方程相加，即得圓的直徑方程，這種做法看似煩瑣，實則巧妙.

一、學生疑惑，一石激起千層浪

[例1]（蘇教版必修2）已知圓C：x²+y²-2x+4y-4=0，是否存在斜率為1的直線l，使以l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點？若存在，求出直線l的方程;若不存在，說明理由.

該生的解法是消元了兩次，對交點A，B的坐標采取了“不設不求”的方法，直接構造出了方程③，進而將原點代入，求出m的值.對此我們進行了討論，并且有如下疑惑：方程③是表示以弦AB為直徑的圓嗎？為什么要將原點坐標代入方程③，理由是什么？

二、解法感悟，妙手偶得也艱辛

三、延伸拓展，二次曲線統一解

上述例題中，是直線l與圓C相交于A，B兩點，如果直線l與圓錐曲線相交于A，B兩點，上述過程是否也可以得到以弦AB為直徑的圓的方程呢？

四、應用舉例，消元兩次有路徑

[例2]設A，B為曲線y=（x²）/4上兩點，A與B的橫坐標之和為4.

（I）求直線AB的斜率;

（Ⅱ）設M為曲線C上的一點，曲線C在M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程.

[例3]已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1.

（I）求橢圓C的標準方程;

（Ⅱ）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標.（責任編輯 黃桂堅）