一道最值題的解法研究與思考

方積糧

[摘要]研究典型題目的解法，尋找一題多解，以培養學生的發散思維能力.

[關鍵詞]最值;研究;思考

[中圖分類號]G633.6

[文獻標識碼] A

[文章編號]1674-6058（2020）14-0015-02

題目：如圖1，已知A、B分別是X軸和y軸上兩個動點，滿足|AB|=2，點P在線段AB上，且→AP=t→PB（t是不為0的常數），設點P的軌跡方程為C，求點P的軌跡方程C，且若t=2，點M、N是C上關于原點對稱的兩個動點，點Q的坐標為（3/2，3）（如圖2），求△QMN的面積S的最大值.

點評：上述解法將三角形面積轉化為關于斜率k的函數，然后利用分離變量借助基本不等式求出三角形的最大值.

點評：上述解法充分利用橢圓對稱性，將△MNQ面積分割成兩個面積相等的三角形，從而先求S²_△MNQ的最大值，最后得到（S_△MNQ）_max=2（√2）.

點評：上述解法主要利用坐標系變換，將橢圓變為一個單位圓，求出在新坐標系下的三角形最大值，然后利用行列式得到新舊坐標系下三角形面積關系，從而求出在原坐標系下三角形的最大值.

點評：上述方法根據橢圓的對稱性，以及弦長公式和點到直線距離公式得到△MNQ面積關于點M坐標的二元函數，然后借助橢圓的參數方程，利用三角函數中輔助角公式直接求出（S_△MNQ）_max=2（√2）.

點評：上述方法利用平面點的坐標以及行列式表示三角形面積，然后利用橢圓參數方程和三角函數中輔助角公式，很容易就求出了（S_△MNQ）_max=2（√2）.

點評：上述方法先將△MNQ面積分割成兩個面積相等的△MOQ和△NOQ，而△MOQ和△NOQ的底邊OQ的長度為定值，從而只需在橢圓上找到動點M、N在何處△MOQ和△NOQ的底邊OQ的高為最大值時S_△MNQ才有最大值.數形結合易知過點M、N分別作橢圓切線平行于OQ，此時兩切線距離就是高的最大值.

點評：上述方法先構造三角形MNQ的面積表達式為。x，y的多元函數，然后借助利用高中線性規劃知識，通過平移直線求出目標函數的最值.

（責任編輯 黃桂堅）